Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Выберите эквивалентные развёрнутые, факторизованные или канонические формы для задачи
- Решайте линейные и полиномиальные уравнения, используя структуру
- Определяйте области квадратичных неравенств по знакам, а не только по корням
Предварительные требования: Приводить подобные слагаемые; подставлять упорядоченные пары; арифметику со знаками.
Объясните и выберите метод
Переводите зависимости в выражения перед их преобразованием. Фиксированная плата плюс плата за единицу — это аффинная линейная модель, а произведение измерений может создать квадратичную функцию. Эквивалентная форма должна сохранять исходное выражение на своей области определения. Выносите общие множители и распознавайте тождества перед раскрытием каждого произведения.
После упрощения линейное уравнение может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений; перед делением проверьте нулевые коэффициенты. Умножение или деление неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Произведение многочлена равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Сохраняйте все множители, включая вынесенный x, чтобы не потерять корень.
Факторизованная форма квадратного трехчлена раскрывает корни, а каноническая — экстремум. Для неравенства расположите вещественные корни по порядку и определите знак на каждом интервале. Границы включаются только для ≤ или ≥. Парабола, направленная ветвями вверх, принимает отрицательные значения между двумя различными вещественными корнями и положительные вне их.
Используйте подстановку в исходное соотношение для проверки кандидатов. В задаче с расширенными коэффициентами может потребоваться объединить несколько слагаемых при одной степени. Кубический многочлен не обязательно требует применения общей формулы кубического уравнения: общий множитель или известный корень могут свести его к более простым множителям. Выбирайте метод в зависимости от структуры выражения.
Тождество выполняется для каждого допустимого входа. Начните с $ax+b=cx+d$. Сгруппируйте слагаемые: $(a-c)x=d-b$. Проверьте $a-c$ перед делением. Если выполняются условия $a=c$ и $b=d$, любое вещественное значение является решением. Если выполняется только условие $a=c$, решений нет. В противном случае $x=(d-b)/(a-c)$ дает одно решение.
Разбор примера. x²-5x+6=(x-2)(x-3), поэтому x²-5x+6<0 даёт 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), что даёт корни -2,0,2. Выражение 2(x-3)²+5 имеет минимум 5 при x=3. В (2x+1)(x-4) коэффициент при x равен -8+1=-7.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Решите систему $x^3-9x=0$ и $(x+2)(x-5)\ge0$. Объясните, почему деление кубического уравнения на $x$ в начале приводит к потере решения.
Reasoning. Factor $x(x-3)(x+3)=0$, giving $-3,0,3$. Dividing by $x$ improperly removes the allowed zero root. For the inequality, roots are $-2,5$; the product is nonnegative outside the roots, including endpoints, so $x\le-2$ or $x\ge5$.
Практика 2
Представьте $2x^2-12x+23$ в канонической форме и укажите его минимум. Найдите коэффициент при $x$ в выражении $(2x-3)(x+4)$.
Обоснование. Выделение полного квадрата даёт $2(x-3)^2+5$, минимум 5 при $x=3$. Раскрытие произведения равно $2x^2+5x-12$, значит коэффициент равен 5.
Практика 3
Принтер взимает 25 юаней за организацию задания и 0.40 юань за страницу. Запишите общую стоимость для $n$ страниц и решите неравенство бюджета в 65 юаней относительно целого числа страниц. Сравните это с выражением площади прямоугольника со сторонами $x$ и $x+3$ метров.
Обоснование. $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. Бюджет $25+0.40n\le65$ даёт $0\le n\le100$, где целое число $n$. Стоимость линейно зависит от $n$. Прямоугольник имеет площадь $A=x(x+3)=x^2+3x$ квадратных метров для числовых длин в метрах и $x>0$; умножение двух переменных длин создаёт квадратичную зависимость, а не фиксированную плату плюс тариф.
Ограничения и дальнейшее применение
Не пропускайте извлечённый множитель, не указывайте границу строгого неравенства и не сообщайте координату x вершины, если в вопросе требуется найти минимальное значение.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.