Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Применять число и количество, алгебру и функции
- Использовать координатную и евклидову геометрию, а также тригонометрию
- Интерпретировать статистику, теорию вероятностей и модели базовых навыков
Предварительные требования: Распределительное свойство; главные корни; $i^2=-1$.
Объясните и выберите метод
Подготовка к высшей математике охватывает числа, алгебру, функции, геометрию и статистику/вероятность. Базовые навыки включают отношения, единицы измерения и пропорции.
Для функции отслеживайте входные и выходные данные. При композиции сначала применяется внутренняя функция.
Координатная геометрия связывает угловые коэффициенты, расстояния и уравнения. Отношения прямоугольного треугольника требуют правильного опорного угла.
Создайте модель контекста с указанными допущениями, затем проверьте, является ли результат разумным. Калькулятор помогает в вычислениях, но не может выбрать за вас модель.
Комплексно-сопряжённое число меняет знак мнимой части. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ для вещественных $a,b$. Таким образом, $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Знаменатель не равен нулю; различайте точное значение и его десятичное приближение.
Пример решения. Если f(x)=2x+1 и g(x)=x², то f(g(3))=f(9)=19. Но g(f(3))=g(7)=49. Порядок имеет значение. Для проверки вероятности при двух независимых бросках честной монеты P(две орла)=1/2×1/2=1/4.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Это обобщение знакомит с навыками. Каждый из них имеет отдельную раздаточную карточку и рабочий лист: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18. Проработайте их в указанном порядке.
Практика 1
Вычислите $(3-2i)/(1+i)$ в форме $a+bi$.
Рассуждение. Умножьте обе части на $1-i$. Числитель равен $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Знаменатель равен 2. Ответ — $1/2-(5/2)i$. Обратное умножение на $1+i$ вернёт результат к $3-2i$.
Практика 2
Оцените $32^{2/5}$ и $\sqrt{(-7)^2}$. Решите $z^2+16=0$ над комплексными числами.
Рассуждение. Корень пятой степени из 32 равен 2, следовательно $32^{2/5}=2^2=4$. Главный квадратный корень равен $|-7|=7$. Для уравнения $z^2=-16$ даёт значения $z=4i,-4i$, оба комплексные.
Практика 3
Приведите один пример, показывающий, что произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным, и один, где оно иррационально.
Рассуждение. $\sqrt2\sqrt2=2$ является рациональным числом. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ является иррациональным числом. Из одного лишь признака «иррациональное» не следует ни замкнутость, ни незамкнутость для всех произведений.
Тренировка 4
Отнесите $\sqrt{50}$ и $\sqrt{50}\sqrt2$ к рациональным или иррациональным числам. Вычислите $32^{2/5}$ и $2^{-3}$. Используйте $\sqrt2$ и $-\sqrt2$, чтобы проверить, должна ли сумма иррациональных чисел быть иррациональной.
Рассуждение. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ является иррациональным числом, тогда как $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ является рациональным числом. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ и $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Сумма двух иррациональных чисел равна нулю, что является рациональным числом; иррациональные числа не замкнуты относительно сложения. Эти произведения корней чётной степени используют неотрицательные вещественные подынтегральные выражения.
Ограничения и дальнейшее применение
Расширенная часть ACT по математике использует четыре варианта ответа. Пятибалльная задача старого формата может отработать навык, но не должна определять текущий темп теста.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.