Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Различайте рациональные и иррациональные числа, не предполагая, что их суммы сохраняют тип
- Применяйте правила степеней и корней на разрешенной области
- Выполняйте вычисления с комплексными числами, используя i²=-1 и сопряженные числа
Предварительные требования: Распределительное свойство; главные корни; $i^2=-1$.
Объясните и выберите метод
Рациональное число — это отношение целых чисел с ненулевым знаменателем; конечная или периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Ирациональное вещественное число не является таким отношением. Замкнутость множества рациональных чисел относительно сложения и умножения не влечет замкнутости множества иррациональных чисел. Точные корни могут упрощаться: √18=3√2 остается иррациональным, тогда как √16=4 является рациональным.
Для положительного основания a^(m/n) объединяет корень n-й степени и целую степень. Отрицательная степень образует обратную величину и требует ненулевого основания. Различайте √(x²)=|x| от x. При involvement четного корня соблюдайте действительную область и главный неотрицательный корень. Распределяйте степени по произведениям, а не по суммам: (a+b)² включает перекрестный член.
Комплексная арифметика использует i²=-1. Складывайте действительные и мнимые части отдельно, умножайте по распределению перед упрощением i². Чтобы разделить на a+bi, умножьте числитель и знаменатель на a-bi; resulting знаменатель равен a²+b², когда исходное выражение не равно нулю. Комплексные корни позволяют находить решения уравнений, таких как x²=-9, которые не имеют действительных корней.
Расширенный ACT все еще включает некоторые продвинутые темы, и лист формул не предоставляется. Изучайте определяющие правила, а не гадайте по дисплею калькулятора. Проверяйте, спрашивает ли вопрос о действительных или комплексных решениях, точном корне или десятичном приближении. Местные проверки здесь носят формирующий характер, а не являются официальной оценочной формой.
Комплексно-сопряжённое число меняет знак мнимой части. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ для вещественных $a,b$. Таким образом, $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. Знаменатель не равен нулю; различайте точное значение и его десятичное приближение.
Разобранный пример. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Для (1+i)/(1-i), умножение на 1+i дает (1+i)²/2=2i/2=i. Решениями уравнения x²+9=0 являются ±3i; ни одно из них не является действительным.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Вычислите $(3-2i)/(1+i)$ в форме $a+bi$.
Рассуждение. Умножьте обе части на $1-i$. Числитель равен $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. Знаменатель равен 2. Ответ — $1/2-(5/2)i$. Обратное умножение на $1+i$ вернёт результат к $3-2i$.
Практика 2
Оцените $32^{2/5}$ и $\sqrt{(-7)^2}$. Решите $z^2+16=0$ над комплексными числами.
Рассуждение. Корень пятой степени из 32 равен 2, следовательно $32^{2/5}=2^2=4$. Главный квадратный корень равен $|-7|=7$. Для уравнения $z^2=-16$ даёт значения $z=4i,-4i$, оба комплексные.
Практика 3
Приведите один пример, показывающий, что произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным, и один, где оно иррационально.
Рассуждение. $\sqrt2\sqrt2=2$ является рациональным числом. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ является иррациональным числом. Из одного лишь признака «иррациональное» не следует ни замкнутость, ни незамкнутость для всех произведений.
Тренировка 4
Отнесите $\sqrt{50}$ и $\sqrt{50}\sqrt2$ к рациональным или иррациональным числам. Вычислите $32^{2/5}$ и $2^{-3}$. Используйте $\sqrt2$ и $-\sqrt2$, чтобы проверить, должна ли сумма иррациональных чисел быть иррациональной.
Рассуждение. $\sqrt{50}=5\sqrt2$ является иррациональным числом, тогда как $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ является рациональным числом. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ и $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Сумма двух иррациональных чисел равна нулю, что является рациональным числом; иррациональные числа не замкнуты относительно сложения. Эти произведения корней чётной степени используют неотрицательные вещественные подынтегральные выражения.
Ограничения и дальнейшее применение
Не делайте вывод о том, что сумма двух иррациональных слагаемых должна быть иррациональной, не распределяйте квадрат на сумму и не заменяйте √(x²) на x, когда x может быть отрицательным.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.