Линейные, квадратичные и полиномиальные зависимости ⟦number⟧
Введено| English | Значение |
|---|---|
| sign interval/saɪn ˈɪntəvl/ | знаковый интервал |
| polynomial degree/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl dɪˈɡriː/ | степень многочлена |
Решение перед ответом
- Корни квадратного уравнения отмечают границы. Они сами по себе не говорят вам, какой интервал делает выражение отрицательным.
- Ваша цель: выбрать эквивалентные развёрнутые, факторизованные или вершинные формы для задачи.
Прочитайте соотношение
- Переводите зависимости в выражения до их преобразования. Фиксированная плата плюс тариф за единицу — это аффинно-линейная модель, а произведение измерений может дать квадратичную функцию. Эквивалентная форма должна сохранять исходное выражение на его области определения. Вынесите общие множители и распознайте тождества перед раскрытием каждого произведения.
- Решайте линейные и полиномиальные уравнения, используя структуру.
x(x-5)=0 has solutions:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Either factor may be zero.
Используйте определяющее правило
- Линейное уравнение после упрощения может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений; проверяйте нулевые коэффициенты перед делением. Умножение или деление неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Произведение полинома равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Сохраняйте все множители, включая вынесенный x, чтобы не потерять корень, равный нулю.
- Определяйте области квадратичного неравенства по знакам, а не только по корням.
(x-1)(x-4)<0 holds on:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The factors have opposite signs strictly between the roots.
Проверьте условия
- Факторизованная форма квадратичной функции выявляет корни, а вершинная форму暴露ывает экстремум. Для неравенства упорядочьте вещественные корни и проверьте знак на каждом интервале. Границы включаются только для ≤ или ≥. Парабола, направленная ветвями вверх, принимает отрицательные значения между двумя различными вещественными корнями и положительные значения вне них.
- Определяйте области квадратичного неравенства по знакам, а не только по корням.
x²-5x+6=(x-2)(x-3), поэтому x²-5x+6<0 даёт 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), что дает корни -2,0,2. Выражение 2(x-3)²+5 имеет минимум 5 при x=3. В (2x+1)(x-4) коэффициент при x равен -8+1=-7.
The minimum of (x+2)²+7 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The squared term is nonnegative and can equal zero.
Применяйте формат задания
- Используйте подстановку в исходную зависимость для проверки кандидатов. Вопрос с коэффициентами развёрнутой формы может потребовать суммирования нескольких вкладов в одну и ту же степень. Полином третьей степени не обязательно требует применения общей кубической формулы: общий множитель или известный корень могут свести его к более простым множителям. Выбирайте метод, исходя из структуры.
- Определяйте области квадратичного неравенства по знакам, а не только по корням.
Не пропускайте извлечённый множитель, не указывайте границу строгого неравенства и не сообщайте координату x вершины, если в вопросе требуется найти минимальное значение.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Выбирайте эквивалентные развёрнутые, факторизованные или вершинные формы для задачи.
Dividing an inequality by -2 leaves its direction unchanged.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A negative multiplier reverses order.
Сохраняйте различия
- знаковый интервал — область между корнями, на которой выражение сохраняет один и тот же знак.
- степень полинома — наивысшая степень переменной с ненулевым коэффициентом после упрощения.
- Выберите эквивалентные развёрнутые, факторизованные или вершинные формы для задачи.
- Решайте линейные и полиномиальные уравнения, используя структуру.
- Определяйте области квадратичного неравенства по знакам, а не только по корням.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.