Рациональные уравнения, корни радикалов и системы ⟦number⟧
Введено| English | Значение |
|---|---|
| extraneous solution/ekˈstreɪnɪəs səˈluːʃn/ | посторонний корень |
| feasible region/ˈfiːzɪbl ˈriːdʒn/ | область допустимых решений |
Решение перед ответом
- Кандидат, полученный возведением в квадрат, является лишь кандидатом. Исходное уравнение может его отклонить.
- Ваша цель: зафиксируйте ограничения знаменателя и подкоренного выражения перед решением.
Прочитайте соотношение
- Для рациональных выражений определите нули знаменателя перед сокращением множителей или умножением уравнения на знаменатель. Упрощение может убрать видимый множитель, но его исходное ограничение останется. Сокращайте целые множители, а не отдельные слагаемые в сумме.
- Проверяйте кандидаты, полученные из преобразованного уравнения, в исходном.
Which solves √(x+2)=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only nonnegative 2 satisfies the original equation.
Используйте определяющее правило
- Изолируйте квадратный корень и учитывайте его неотрицательность перед возведением в квадрат. Возведение в квадрат сохраняет решения, но может добавить ложных кандидатов, поэтому подставьте каждого кандидата в исходное уравнение. Та же осторожность применяется при умножении на выражение, которое может быть равно нулю. Значение, удовлетворяющее преобразованному полиному, но не исходному, является посторонним.
- Найдите и интерпретируйте совместные решения или допустимые области.
(x²-1)/(x-1) has the original restriction:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The denominator is zero at 1.
Проверьте условия
- Система требует, чтобы одна и та же упорядоченная пара удовлетворяла каждому уравнению. Подставьте прямую в окружность или параболу, решите полученное квадратное уравнение и восстановите вторую координату. Линейные системы могут иметь одну точку пересечения, нет точек пересечения или совпадающие прямые. Не путайте два алгебраических корня с двумя отдельными системами.
- Найдите и интерпретируйте совместные решения или допустимые области.
√(x+6)=x означает x≥0. Возведение в квадрат дает x²-x-6=0 с кандидатами 3 и -2; подходит только 3. Для x²+y²=25 и y=x+1, подстановка дает x²+x-12=0, откуда (3,4) и (-4,-3). (x²-4)/(x-2) упрощается до x+2 при x≠2, сохраняя ограничение.
For x+y=9 and x-y=3, x=____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding gives 2x=12; y=3.
Применяйте формат задания
- Для систем неравенств каждое условие задает допустимую область, а решением является их пересечение. Точка на строгой границе исключается, даже если она удовлетворяет другому неравенству. Проверьте предполагаемую точку, подставив её в каждое исходное неравенство, включая знак равенства.
- Найдите и интерпретируйте совместные решения или допустимые области.
Ограничения сохраняются после упрощения. В совместной системе проверьте обе координаты в каждом исходном соотношении.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Записывать ограничения знаменателя и радикала до решения
A point satisfying one inequality must satisfy their whole system.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Every condition must hold simultaneously.
Сохраняйте различия
- постороннее решение — Корень преобразованного уравнения, который не удовлетворяет исходному уравнению.
- допустимая область — Множество, удовлетворяющее всем условиям совместных неравенств.
- Зафиксируйте ограничения знаменателя и радикала перед решением.
- Проверяйте кандидаты, полученные из преобразованного уравнения, в исходном.
- Найдите и интерпретируйте совместные решения или допустимые области.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.