Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Зафиксируйте ограничения знаменателя и подкоренного выражения перед решением
- Проверьте преобразованные кандидаты в исходном уравнении
- Найдите и интерпретируйте совместные решения или допустимые множества
Необходимые знания: Разложение на множители; подстановка; ограничения области определения.
Объясните и выберите метод
Для рациональных выражений определяйте нули знаменателя перед сокращением множителей или умножением уравнения на знаменатель. Упрощение может убрать видимый множитель, но первоначальное ограничение сохранится. Сокращайте целые множители, а не отдельные слагаемые в сумме.
Выделите квадратный корень отдельно и учитывайте его неотрицательность перед возведением в квадрат. Возведение в квадрат сохраняет решения, но может добавить посторонние корни, поэтому каждый кандидат нужно подставить в исходное уравнение. Та же осторожность применяется при умножении на выражение, которое может быть равно нулю. Значение, удовлетворяющее преобразованному многочлену, но не исходному, является посторонним.
Система требует, чтобы одна и та же упорядоченная пара удовлетворяла каждому уравнению. Подставьте прямую в окружность или параболу, решите полученное квадратное уравнение и найдите вторую координату. Линейные системы могут иметь одно пересечение, нет пересечений или совпадающие прямые. Не путайте два алгебраических корня с двумя отдельными системами.
Для систем неравенств каждое условие определяет допустимую область, а решением является их пересечение. Точка на строгой границе исключена, даже если она удовлетворяет другому неравенству. Проверьте предполагаемую точку, подставив её в каждое исходное неравенство, включая знак равенства.
Кандидат в корни должен удовлетворять исходному уравнению. В $\sqrt{x+6}=x$ правая часть должна быть неотрицательной. Возведение в квадрат даёт $x^2-x-6=0$, поэтому кандидаты — $3,-2$. Только $3$ проходит проверку исходного уравнения: $\sqrt9=3$.
Разобранный пример. √(x+6)=x означает x≥0. Возведение в квадрат даёт x²-x-6=0 с кандидатами 3 и -2; только 3 подходит. Для x²+y²=25 и y=x+1 подстановка даёт x²+x-12=0, откуда получаем (3,4) и (-4,-3). Выражение (x²-4)/(x-2) упрощается до x+2 при x≠2, сохраняя ограничение.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Решите одновременно $x^2+y^2=25$ и $y=x-1$. Проверьте каждую упорядоченную пару в обоих уравнениях.
Обоснование. Подставив, получаем $x^2+(x-1)^2=25$ или $x^2-x-12=0$. Корни равны $4,-3$, что даёт $(4,3)$ и $(-3,-4)$. Оба значения дают квадрат суммы 25 и удовлетворяют условию $y=x-1$.
Практика 2
Решите $\sqrt{3x+4}=x$ и опишите все точки, удовлетворяющие $y\ge x+1$ и $y<4-x$.
Обоснование. Возведение в квадрат с учётом $x\ge0$ приводит к $(x-4)(x+1)=0$; подходит только $x=4$. Область расположена на/выше кривой $y=x+1$ и ниже кривой $y=4-x$. Она существует только при условии $x+1<4-x$, следовательно $x<3/2$; точка их пересечения исключена.
Практика 3
Упростите $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. Укажите все исходные ограничения и объясните, почему $F$ не идентично $x/(x+4)$ на всей области определения последней формулы.
Обоснование. Разложим числитель на множители $x(x-4)$, а знаменатель на множители $(x-4)(x+4)$. Исходная область допустимых значений исключает $x=4,-4$. Сокращение даёт выражение $F(x)=x/(x+4)$ при $x\ne4,-4$. Последняя формула допускает значение $4$, где она принимает вид $1/2$, в то время как для значения $F(4)$ функция не определена.
Ограничения и дальнейшее применение
Ограничения сохраняются после упрощения. В совместной системе проверьте обе координаты в каждом исходном соотношении.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.