Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Вычисляйте значения и преобразуйте между правилами функций, таблицами и графиками
- Отслеживайте порядок входа и область определения через композицию
- Ограничить область определения функции так, чтобы она стала взаимно-однозначной, затем найти обратную функцию
Предварительные требования: Обозначения функций; подстановка; решение уравнений.
Объясните и выберите метод
Функция даёт один выход для каждого допустимого входа. График, пересекающий вертикальную линию в двух разных точках выхода, не является функцией от x. Область определения перечисляет допустимые входы; область значений — полученные выходы. Преобразуйте таблицу в правило только если связь подтверждена, и интерпретируйте роль каждой переменной.
В f(g(x)) внутренняя функция g действует первой, и её выход должен принадлежать области определения f. Для f(u)=1/(u-1) и g(x)=x²+1 композиция даёт 1/x² и исключает x=0. Проверка области определения относится к исходным функциям, а также к упрощённому результату.
Изменение выхода f(x)+k сдвигает график вертикально на k; f(x-h) сдвигает его вправо на h. Внешний множитель меняет масштаб выхода, а внутренний множитель влияет на скорость достижения входом старых точек. Определите известную точку для проверки преобразования вместо того, чтобы гадать направление по знаку.
An inverse exchanges input and output and requires a one-to-one relationship on the chosen domain. Solve y=f(x) for x, then exchange names. A quadratic must usually be restricted to one side of its vertex. The inverse function f⁻¹ is not the reciprocal 1/f. Check composition in both directions on the allowed domain.
Композиция функции применяет правило внутренней функции сначала. Если $f(u)=1/(u-2)$ и $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, при $x\ne0$. Обратная функция меняет местами входные и выходные значения на взаимно однозначной области определения. Ограничьте $h(x)=(x-1)^2$ до $x\ge1$ перед вычислением $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Разобранный пример. f(x)=2x+3 и g(x)=x² дают f(g(x))=2x²+3, но g(f(x))=(2x+3)². Для h(x)=(x-2)², ограниченной условием x≥2, обратной функцией является 2+√x с областью определения x≥0. Вертикальный сдвиг h на величину 4 перемещает вершину в точку (2,4); неограниченная квадратичная функция не имела бы однозначной обратной.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Пусть $f(u)=1/(u-3)$ и $g(x)=x^2+3$. Найдите $f(g(x))$ с областью определения. Найдите $g(f(4))$ и объясните, почему эти композиции различаются.
Обоснование. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, исключая $x=0$. Для другого порядка — $f(4)=1$ и $g(1)=4$. Порядок композиции изменяет как операцию, так и, возможно, область определения; $f(g(4))=1/16$ отличается.
Практика 2
Ограничьте $h(x)=(x+2)^2$ до $x\le-2$. Найдите обратную функцию, включая область определения и множество значений. Объясните, почему ветвь с положительным корнем неверна.
Обоснование. Решите $y=(x+2)^2$ с $x+2\le0$, чтобы получить $x=-2-\sqrt y$. Следовательно, $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, область определения $x\ge0$, область значений $y\le-2$. Ветка «плюс» возвращает значения вне выбранной исходной области определения.
Практика 3
График функции $f(x)=x^2$ преобразован в $g(x)=3f(x+4)-2$. Найдите её вершину и множество значений, проверив один отображаемый элемент.
Обоснование. $g(x)=3(x+4)^2-2$ имеет вершину $(-4,-2)$ и область значений $y\ge-2$. Старая точка $(1,1)$ отображается в $(-3,1)$, поскольку $3(1)-2=1$; подстановка подтверждает $g(-3)=1$.
Ограничения и дальнейшее применение
Сохраняйте порядок композиции и ограниченную ветвь обратной функции. Надпись -1 в обозначении функции не означает обратное число.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.