Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Различайте арифметическую разность и геометрическую прогрессию
- Найдите член последовательности или конечную сумму, сохраняя согласованность индексации
- Преобразуйте логарифмические уравнения в показательную форму на допустимой области определения
Предварительные требования: Запись степеней; свойства показателей степени; конечные последовательности.
Объясните и выберите метод
Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность d: aₙ=a₁+(n-1)d. Её конечная сумма равна n(a₁+aₙ)/2. Геометрическая прогрессия имеет постоянный множитель r: aₙ=a₁r^(n-1). При r≠1 конечная сумма равна a₁(1-rⁿ)/(1-r); когда r=1 она просто равна n·a₁. Сопоставьте требуемый член или общую сумму.
Экспоненциальная модель A b^t представляет умножение на b за указанный временной интервал. Процентный рост r использует множитель 1+r; повторяющиеся изменения перемножают множители, а не складывают проценты. Если удвоение занимает несколько временных единиц, разделите t на этот интервал в показателе степени.
Для основания b>0 при b≠1 равенство log_b(a)=c означает b^c=a и требует a>0. Решите логарифмическое уравнение, переведя его в показательную зависимость, затем проверьте аргумент логарифма. Логарифмы произведения складываются при допустимых положительных аргументах; логарифмы не распределяются относительно сложения.
Используйте точные степени, если они доступны. ACT может проверить простую логарифмическую зависимость без необходимости использования числовых таблиц логарифмов. Рассчитанное приближение должно все равно соответствовать представлению вопроса и области определения. Сохраняйте концептуальное разделение индекса последовательности, времени в экспоненциальной модели и аргумента логарифма.
Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$. Её сумма равна $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Геометрическая прогрессия: $a_n=a_1r^{n-1}$ и $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ для $r\ne1$. Логарифм является обратной операцией к возведению в степень: $\log_b a=c$ означает $b^c=a$, где $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Worked example. Arithmetic 4,7,10,… has a₅=16 and sum of first five=5(4+16)/2=50. Geometric 3,6,12,24 has four-term sum 45. log₂(x-1)=4 gives x-1=16, so x=17, which satisfies x>1. A population 50·2^(t/3) reaches 200 after six time units.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Количество мест в последовательных рядах равно 12,16,20,… . Найдите количество мест в восьмом ряду и общую сумму мест в первых восьми рядах. Укажите предположение модели.
Обоснование. Постоянная разность составляет 4 мест в ряду. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ мест. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ мест. Это предполагает одинаковое увеличение на четыре места во всех восьми рядах.
Практика 2
Геометрическая прогрессия начинается с 5,15,45,… . Найдите её пятый член и сумму первых пяти членов. Объясните, что изменится, если знаменатель равен 1.
Обоснование. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. При значении $r=1$ знаменатель дроби обращается в ноль, а правильная сумма равна $na_1$, здесь это 25 для пяти одинаковых слагаемых.
Практика 3
Решите $\log_2(x-3)=5$ и объясните, почему $\log_2(x+3)$ обычно нельзя представить как сумму $\log_2x+\log_23$.
Обоснование. Область определения требует выполнения условия $x>3$. Показательная форма дает $x-3=32$, следовательно, $x=35$ и аргумент положителен. Сумма логарифмов соответствует произведению $3x$, а не $x+3$; при значении $x=1$ предполагаемое равенство сопоставляет 2 со $\log_23$.
Тренировка 4
Модель культуры начинается с 120 клеток и увеличивается в 1.5 раза каждые два часа. Запишите формулу $N(t)$ для времени $t$ часов, найдите значение $N(4)$ и различайте множитель роста и процентный рост.
Обоснование. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ клеток. $N(4)=120(1.5)^2=270$ клеток. Рост составляет 50% каждые два часа, а не 150%; четырехчасовой множитель равен 2.25. Часовой множитель составил бы $\sqrt{1.5}$.
Ограничения и дальнейшее применение
Не используйте n вместо n-1 для n-го члена, не путайте конечную сумму с её последним слагаемым и не раскрывайте log(a+b) как log a + log b.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.