Последовательности, конечные суммы, экспоненты и логарифмы ⟦number⟧
Введено| English | Значение |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | логарифм |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель геометрической прогрессии |
Решение перед ответом
- Пятый член последовательности использует четыре шага после первого. Путаница между номером члена и количеством промежутков приводит к ошибке на единицу.
- Ваша цель: различать арифметическую разность и геометрическую прогрессию.
Прочитайте соотношение
- Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность d: aₙ=a₁+(n-1)d. Её конечная сумма равна n(a₁+aₙ)/2. Геометрическая прогрессия имеет постоянный знаменатель r: aₙ=a₁r^(n-1). При r≠1 конечная сумма равна a₁(1-rⁿ)/(1-r); при r=1 она просто равна n·a₁. Сопоставьте запрашиваемый член или сумму.
- Найдите член или конечную сумму, сохраняя согласованность индексации.
Arithmetic sequence starts at 5 with difference 4. Fourth term:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
5+3·4=17.
Используйте определяющее правило
- Экспоненциальная модель A·b^t представляет умножение на b за указанный временной интервал. Процентный рост r использует множитель 1+r; повторяющиеся изменения перемножают множители, а не складывают проценты. Если удвоение занимает несколько временных интервалов, разделите t на этот интервал в показателе степени.
- Преобразуйте логарифмические уравнения в показательную форму на допустимой области.
log₃ 81 equals:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
3⁴=81.
Проверьте условия
- Для основания b>0 при b≠1, log_b(a)=c означает b^c=a и требует a>0. Решите логарифмическое уравнение, переведя его в показательное соотношение, затем проверьте аргумент. Логарифмы произведений складываются при допустимых положительных аргументах; логарифмы не распределяются над сложением.
- Преобразуйте логарифмические уравнения в показательную форму на допустимой области.
Арифметическая 4,7,10,… имеет a₅=16 и сумму первых пяти =5(4+16)/2=50. Геометрическая 3,6,12,24 имеет сумму четырёх членов 45. Уравнение log₂(x-1)=4 даёт x-1=16, следовательно x=17, что удовлетворяет условию x>1. Популяция 50·2^(t/3) достигает значения 200 после шести временных интервалов.
The first three terms 2,6,18 have sum ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Add the three terms; 18 alone is the last term.
Применяйте формат задания
- Используйте точные степени там, где это возможно. ACT может тестировать простую логарифмическую зависимость без необходимости использования таблиц числовых логарифмов. Вычисленное приближение должно всё равно соответствовать представлению вопроса и его области определения. Сохраняйте концептуальное разделение индекса последовательности, времени экспоненциальной модели и аргумента логарифма.
- Преобразуйте логарифмические уравнения в показательную форму на допустимой области.
Не используйте n вместо n-1 для n-го члена, не путайте конечную сумму с её последним слагаемым и не раскрывайте log(a+b) как log a + log b.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Различать арифметическую разность и геометрическую прогрессию (отношение)
log(a+b)=log a+log b for all positive a,b.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The product rule concerns ab, not a+b.
Сохраняйте различия
- знаменатель — фиксированный множитель между последовательными членами геометрической прогрессии.
- логарифм — показатель степени, необходимый для получения аргумента из указанного основания.
- Различайте арифметическую разность и геометрический знаменатель.
- Найдите член или конечную сумму, сохраняя согласованность индексации.
- Преобразуйте логарифмические уравнения в показательную форму на допустимой области.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.