Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Складывайте векторы и масштабируйте их компонентно
- Умножайте матрицу и вектор с совпадающими размерами
- Интерпретируйте элементы и единицы в количественной модели
Предварительные требования: Упорядоченные пары; теорема Пифагора; умножение и сложение.
Объясните и выберите метод
Двумерный вектор записывает упорядоченное перемещение или другую парную величину. Складывайте соответствующие компоненты и умножайте обе на скаляр. Вектор от A до B равен B-A, а не A-B. Его модуль составляет √(u²+v²) в евклидовой координатной плоскости; направление и модуль — это разные сведения.
Матрица организовывает элементы по строкам и столбцам. Складывать можно только матрицы одинаковой формы поэлементно. Для умножения число столбцов первого множителя должно совпадать с числом строк второго. Матрица размера 2-на-3, умножённая на вектор размера 3-на-1, даёт результат размера 2-на-1: каждый элемент результата — это скалярное произведение одной строки на вектор.
Порядок имеет значение: умножение матриц в целом не коммутативно. Если произведение A на B определено, то произведение B на A может быть неопределённым или дать другой результат. Для строки, содержащей количество предметов, и столбца, содержащего цены за единицу одного и того же порядка, скалярное произведение даёт общую стоимость. Несоответствие порядка предметов приводит к численно верному, но бессмысленному ответу.
Подписывайте каждую компоненту и единицу измерения перед вычислением. Вектор перемещения использует единицы расстояния, тогда как элемент матрицы может быть количеством, стоимостью или скоростью. После умножения интерпретируйте единицы измерения результата. Задачи ACT могут предоставлять определение операции; следуйте этому определению, а не предполагайте, что незнакомый символ всегда означает обычное умножение.
Матрица использует пронумерованные строки и столбцы. Строка количества $(2,3)$ и столбец цен $(4,5)^T$ дают стоимость $2(4)+3(5)=23$. Внутренние размерности должны совпадать до существования произведения матриц. Вектор смещения от $A$ до $B$ равен $B-A$.
Разобранный пример. Перемещения (3,4) и (-1,2) в сумме дают (2,6); первое имеет модуль 5. Две строки покупок (2,1) и (1,3) с ценами (4,5) дают затраты $2\times4+1\times5=13$ и $1\times4+3\times5=19$. Матрица [[2,1],[1,3]], умноженная на столбец [4,5], даёт столбец [13,19]. Элементы представляют собой количество, умноженное на цену за единицу товара.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Точки A и B в метрах равны $(1,-2)$ и $(7,6)$. Найдите перемещение от A до B и его модуль. Затем найдите конечную точку после добавления перемещения $(-3,2)$ метров к точке B.
Рассуждение. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. Модуль $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. Новая конечная точка находится на расстоянии $B+(-3,2)=(4,8)$ метров. Направление не должно быть изменено на противоположное.
Практика 2
Два заказа магазина имеют строки количества $(3,2)$ и $(1,4)$ для ручек и тетрадей. Цены составляют 2 и 7 юаней соответственно. Найдите произведение матриц и стоимость обоих заказов.
Рассуждение. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ юаней за единицу. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ юаней. Порядок предметов должен соответствовать порядку цен.
Практика 3
A имеет размер 2 на 3, а B — размер 3 на 4. Укажите размер AB и определено ли BA.
Reasoning. AB has matching inner dimension 3 and outer dimensions 2 by 4. BA would require 4=2, so it is undefined. Reversing a product is not harmless.
Ограничения и дальнейшее применение
Сохраняйте явную форму строк/столбцов и порядок элементов. Модуль вектора не равен сумме его компонент.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.