Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Интерпретировать амплитуду 振幅, период и вертикальный сдвиг в синусоидальном правиле
- Использовать знаки единичной окружности и основные тождества
- Выбрать соотношение синуса, косинуса или площади для произвольного треугольника
Предварительные требования: Радианы; отношения сторон прямоугольного треугольника; координаты на единичной окружности.
Объясните и выберите метод
Для прямоугольного треугольника синус — противолежащий/гипотенуза, косинус — прилежащий/гипотенуза, тангенс — противолежащий/прилежащий относительно выбранного угла. Подобие треугольников объясняет зависимость этих отношений от угла, а не от размера. На единичной окружности координаты равны (cos θ, sin θ), что распространяет эти соотношения на другие квадранты с соответствующими знаками.
sin²θ+cos²θ=1 и tan θ=sin θ/cos θ при cos θ≠0. Для функции y=A sin(Bx)+D при x в радианах амплитуда равна |A|, период 2π/|B|, средняя линия D. Отрицательное A отражает волну; D сдвигает её по вертикали. Перед использованием графика проверьте, задан ли входной аргумент в радианах или градусах.
Для общего треугольника теорема косинусов 余弦定理 c²=a²+b²-2ab cos C использует угол 夹角 C между сторонами a и b. Теорема синусов сравнивает каждую сторону с синусом противолежащего угла. Площадь равна ab sin C/2, когда известны две стороны и угол между ними. Выберите соотношение, соответствующее предоставленным данным.
Не делайте вывод о наличии прямого угла по эскизу. Уравнение на основе синуса может иметь более одного значения угла в допустимом интервале; сохраняйте информацию о квадранте и любое условие суммы углов треугольника. Отличайте амплитуду от полного пикового расстояния, которое равно удвоенной амплитуде.
Амплитуда равна половине расстояния от пика до минимума. В функции $y=A\sin(Bx)+D$ амплитуда равна $|A|$; период в радианах составляет $2\pi/|B|$. Для непрямоугольного треугольника сопоставьте известные стороны и угол между ними перед выбором формулы косинусов. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Worked example. y=3 sin(2x)+1 has amplitude 3, period π and values between -2 and 4. A triangle with sides 5 and 7 around a 60° angle has third side $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ and area 35√3/4. At 150°, sine is 1/2 and cosine -√3/2.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Для входного значения в радианах $y=-4\sin(2x)+3$ укажите амплитуду, период, диапазон значений и значение функции в точке $x=\pi/4$.
Обоснование. Амплитуда равна 4, период $2\pi/2=\pi$, область значений $-1\le y\le7$. При значении $x=\pi/4$ функция принимает значение $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. Отрицательный коэффициент отражает волну; он не делает амплитуду отрицательной.
Практика 2
У треугольника стороны 6 см и 10 см заключают угол 60°. Найдите его третью сторону и площадь, не предполагая, что он прямоугольный.
Обоснование. Значение равно $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, поэтому результат составляет $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. Также верно $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
Практика 3
Найдите все углы в $0^\circ\le\theta<360^\circ$ со значениями $\sin\theta=1/2$. Для каждого укажите косинус и тангенс.
Обоснование. Углы равны 30 и 150 градусам. Косинусы равны $\sqrt3/2$ и $-\sqrt3/2$; тангенсы равны $1/\sqrt3$ и $-1/\sqrt3$. Синус положителен в I и II четвертях, поэтому один острый ответ был бы неполным.
Тренировка 4
A right triangle has legs 9 and 12 cm. Find the hypotenuse and sine/cosine of the angle opposite 9 cm. A different triangle has angles 30° and 45° and side 8 cm opposite 30°. Find the side opposite 45°, explaining why the sine rule fits.
Reasoning. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Thus $\sin\theta=9/15=3/5$ and $\cos\theta=12/15=4/5$; their squares sum to 1. In the second triangle a known opposite side-angle pair permits $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Hence $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. This triangle is not assumed right-angled; its third angle is 105°.
Ограничения и дальнейшее применение
Укажите единицы измерения углов и определите включенный угол. Максимальное значение равно середине графика плюс амплитуда, а не просто амплитуда.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.