Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Преобразуйте координаты, различая жесткие преобразования и растяжение (масштабирование)
- Используйте расстояние, середину отрезка и наклон как геометрические доказательства
- Применяйте обоснованные признаки равенства фигур и свойства углов, а не визуальное сходство рисунка
Предварительные требования: Разности координат; равенство треугольников; углы при параллельных прямых.
Объясните и выберите метод
Трансляция добавляет вектор перемещения к каждой точке; отражение относительно оси x переводит точку (x,y) в (x,-y). Поворот на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат переводит (x,y) в (-y,x). Эти жесткие преобразования сохраняют длины и углы. Дилатация с коэффициентом k относительно начала координат масштабирует координаты и длины в k раз при положительном k, сохраняя форму, но обычно изменяя размер.
Расстояние между двумя точками вычисляется по теореме Пифагора: возведите разности координат в квадрат, сложите и извлеките корень. Середина отрезка находится как среднее арифметическое координат. Угловой коэффициент характеризует отношение вертикального изменения к горизонтальному; перпендикулярные непараллельные осям прямые имеют произведение угловых коэффициентов, равное -1. Вертикальные и горизонтальные прямые требуют отдельного рассмотрения во избежание деления на ноль.
A geometric argument starts from stated or marked conditions. Vertical angles are equal; parallel lines give corresponding and alternate-angle relationships. Triangle angles sum to 180°. SSS, SAS and ASA/AAS can establish congruence with proper correspondence, while two equal angles establish similarity but not equal size.
Построительное рассуждение использует циркуль для переноса длин и построения дуг одинакового радиуса. Точка пересечения дуг, находящихся на равном расстоянии, позволяет найти серединный перпендикуляр; это не предположение середины отрезка по рисунку. Координатные данные могут служить доказательством, однако один специально выбранный случай не устанавливает общее утверждение для любого треугольника.
Жесткие преобразования сохраняют длины и углы. Поворот на 90° против часовой стрелки отображает $(x,y)$ в $(-y,x)$ относительно начала координат. Расстояние равно $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Равенство углов устанавливает подобие, но для равенства фигур необходимо также фиксировать размеры.
Worked example. Point (2,-1) translated by (3,4) becomes (5,3); rotated 90° counterclockwise about the origin it becomes (1,2). Between (1,2) and (7,10), distance is √(6²+8²)=10 and midpoint (4,6). Two triangles with matching side lengths 3,4,5 are congruent by SSS; triangles with equal angles may instead differ by scale.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Поверните A = $(2,-3)$ на 90° против часовой стрелки относительно начала координат, затем выполните параллельный перенос на $(4,1)$. Измените порядок действий и сравните конечные точки.
Обоснование. Сначала выполните поворот к положению $(3,2)$, затем трансляцию к положению $(7,3)$. Выполните сначала трансляцию к положению $(6,-2)$, затем поворот к положению $(2,6)$. Конечные точки различаются, поэтому порядок применения преобразований имеет значение.
Практика 2
A = $(-1,2)$ и B = $(5,10)$ являются концами отрезка. Найдите его длину, середину и уравнение серединного перпендикуляра.
Обоснование. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Середина $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. Наклон отрезка равен $8/6=4/3$, поэтому наклон перпендикуляра составляет $-3/4$. Биссектриса проходит через $y-6=-(3/4)(x-2)$.
Практика 3
Углы двух треугольников равны 40°, 60°, 80°. Длина наибольшей стороны одного треугольника составляет 9 см, другого — 15 см. Укажите, что доказано, и отношение площадей этих треугольников.
Reasoning. The triangles are similar by equal angles, not congruent because corresponding longest sides differ. Length ratio is $15/9=5/3$ and larger-to-smaller area ratio is $25/9$.
Тренировка 4
Опишите построение серединного перпендикуляра к отрезку AB с помощью циркуля и линейки. Приведите обоснование, справедливое для каждой построенной точки, и отличите его от измерения одного конкретного чертежа. Затем объясните, что доказывает признак SSS для треугольников с соответствующими сторонами 3,4,5 см.
Обоснование. Используйте одно и то же расстояние циркуля, большее половины AB, чтобы построить дуги с центрами в точках A и B, пересекающиеся в точках P и Q по разные стороны от отрезка. Проведите прямую PQ. Так как PA=PB и QA=QB (равные радиусы), обе точки P и Q лежат на множестве точек, равноудалённых от A и B; прямая PQ является серединным перпендикуляром. Альтернативно можно использовать равенство треугольников и общую хорду для доказательства перпендикулярности и деления пополам. Чтение показаний линейки на одном рисунке не доказывает общее свойство множества. Равенство SSS доказывает равенство двух указанных треугольников, фиксируя как форму, так и размеры; теорема Пифагора также показывает, что данные конкретные треугольники являются прямоугольными.
Практика 5
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один соответственный угол равен 68°. Найдите ему соответствующий угол и смежный угол на второй прямой. Объясните, какое из данных условий оправдывает каждый шаг.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
Ограничения и дальнейшее применение
Следуйте указанному центру и порядку преобразований. Не используйте визуально параллельную или перпендикулярную пару в качестве заявленного условия.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.