Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция от февраля 2026. Оригинальные учебные кейсы не являются официальным бланком; сохраните границы оцененных/полевых тестов каждого исходного бланка.
- Определять и интерпретировать стандартные формы окружности, эллипса, параболы и гиперболы
- Использовать свойства углов, касательных и секущих окружности в соответствии с их условиями
- Вычислять площадь, площадь поверхности или объём с правильными размерностями и единицами измерения
Предварительные требования: выделение полных квадратов; квадрат полуосей; геометрия окружности; единицы объёма.
Объясните и выберите метод
Уравнение окружности имеет вид (x-h)²+(y-k)²=r². Эллипс содержит два положительных слагаемых, делённых на квадраты полуосей; гипербола — разность таких слагаемых. Парабола в стандартном виде содержит одну координату во второй степени. В уравнении y²=4px вершина находится в начале координат, а фокус — в точке (p,0); определите знак и ось перед интерпретацией направления.
Для уравнения (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 центр расположен в точке (1,-2), горизонтальная полуось равна 3, вертикальная полуось — 2. Выделяйте полный квадрат, если центр скрыт в развёрнутом уравнении. Коэффициенты и знаки различают типы кривых второго порядка; приблизительный эскиз не заменяет алгебраические данные.
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Для двух секущих из одной внешней точки произведение отрезка вне круга на всю секучно одинаково для обеих; квадрат длины касательной равен этому произведению. Полная длина включает внешнюю часть, поэтому не перемножайте только внешнюю и внутреннюю части.
Различайте линейные меры границы и меры пространства. Длина окружности равна 2πr, площадь — πr²; объём цилиндра — πr²h; объём конуса — πr²h/3; объём сферы — 4πr³/3. Площадь поверхности складывается из площадей видимых граней. Если все соответствующие длины увеличиваются в k раз, площадь увеличивается в k² раз, а объём — в k³ раз; изменение лишь одного измерения требует использования исходной формулы.
Эллипс $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ имеет центр $(h,k)$. Полуоси равны квадратным корням из положительных знаменателей. Парабола $y^2=4px$ имеет фокус $(p,0)$ и директрису $x=-p$. Отличайте эти уравнения от гиперболы, содержащей разность квадратов.
Существующий пример решения: эллипс (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 имеет горизонтальные крайние точки (-2,-2) и (4,-2). Уравнение y²=8x имеет p=2 и фокус (2,0). Секущие с внешними/полными длинами 3/12 и 4/9 дают одинаковое произведение 36, следовательно, длина касательной из той же точки равна 6. Конус с радиусом 3 и высотой 8 имеет объём 24π.
Завершите оригинальный контекст
Каждый вопрос на перенос данных содержит всю необходимую информацию.
Независимая практика и проверенное рассуждение
Перенос 1
Для уравнения $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$ укажите центр, горизонтальную и вертикальную полуоси, а также четыре крайние точки на осях. Для уравнения $y^2=-12x$ укажите вершину и фокус.
Рассуждение: центр находится в точке $(-2,1)$, полуоси равны 5 и 3, крайние точки — $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. Для параболы $4p=-12$, значит $p=-3$; вершина в точке $(0,0)$, фокус — в точке $(-3,0)$.
Перенос 2
Из одной внешней точки длина касательной составляет 6 см. Внешняя часть секучной равна 4 см. Найдите полную и внутреннюю длины.
Рассуждение: используйте соотношение касательной и секучной $t^2=ew$. Преобразуйте выражение $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. Внутренняя длина равна $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. Произведение вычисляется по полной длине, а не только по внутренней.
Перенос 3
Цилиндрический контейнер имеет радиус 3 см и высоту 8 см. Найдите его объём и полную замкнутую площадь поверхности. Что произойдёт с каждым значением, если все длины удвоятся?
Рассуждение: $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Удвоение всех длин увеличивает объём в 8 раза, а площадь — в 4 раза.
Перенос 4
Классифицируйте кривые $x^2/16-y^2/9=1$ и $x^2+y^2=16$. Найдите длину окружности и её площадь. Для двух секущих из одной внешней точки одна имеет внешнюю/полную длины 3/12 см, а внешняя длина другой равна 4 см: найдите её полную и внутреннюю длины.
Рассуждение: разность квадратов определяет гиперболу с центром в начале координат. Сумма с равными коэффициентами задаёт окружность радиуса 4. Её длина окружности равна $C=2\pi r=8\pi$, а площадь — $A=\pi r^2=16\pi$ в единицах координатной длины и площади соответственно. Произведения секучных совпадают: $e_1w_1=e_2w_2$. Следовательно, $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; внутренняя длина равна $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Перемножение внешней и внутренней частей приведёт к неверному соотношению.
Ограничения и дальнейшее применение
Извлекайте квадратные корни для радиусов и полуосей; используйте полные длины секущих и кубические единицы для объёма.
Все задачи здесь являются открытой оригинальной практикой с авторским руководством. Они не являются официальными вопросами или свежими диагностическими инструментами. Существующие защищённые тесты и тренировочные варианты остаются отдельными.