Конические сечения, свойства окружности и геометрические измерения ⟦number⟧
Введено| English | Значение |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | секущая |
| semiaxis/ˌsemɪˈæksɪs/ | полуось |
Решение перед ответом
- Уравнение эллипса с знаменателями 9 и 4 имеет полуоси 3 и 2, а не 9 и 4.
- Ваша цель: Определять и интерпретировать стандартные формы окружности, эллипса, параболы и гиперболы.
Прочитайте соотношение
- Окружность имеет вид (x-h)²+(y-k)²=r². Эллипс использует два положительных квадрата, делённых на квадраты полуосей; гипербола имеет разность таких членов. Парабола в стандартной выровненной форме содержит одну координату в квадрате. В уравнении y²=4px вершина находится в начале координат, а фокус — в точке (p,0); перед определением направления прочитайте знак и ось.
- Применяйте соотношения углов, касательных и секущих для окружности при соблюдении условий.
For x²/16+y²/9=1, horizontal semiaxis:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The denominator is the semiaxis squared.
Используйте определяющее правило
- Для уравнения (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 центр расположен в точке (1,-2), горизонтальная полуось равна 3, вертикальная полуось равна 2. Выделяйте полный квадрат, если центр скрыт в раскрытой формуле окружности. Коэффициенты и знаки уравнения различают типы конических сечений; грубый набросок не заменяет недостающей алгебраической информации.
- Вычисляйте площадь, площадь поверхности или объём, используя правильную размерность и единицы измерения.
A cone of radius 2 and height 9 has volume:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
π·2²·9/3=12π.
Проверьте условия
- Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Для двух секущих, проведённых из одной внешней точки, произведение внешнего отрезка на всю секущую одинаково для обеих; квадрат длины касательной равен этому произведению. Полная длина включает внешнюю часть, поэтому не перемножайте только внешний и внутренний отрезки.
- Вычисляйте площадь, площадь поверхности или объём, используя правильную размерность и единицы измерения.
Эллипс (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 имеет горизонтальные концы (-2,-2) и (4,-2). y²=8x имеет p=2 и фокус (2,0). Секущие с внешними/полными длинами 3/12 и 4/9 имеют произведение 36, поэтому касательная из той же точки имеет длину 6. Конус радиуса 3, высоты 8 имеет объем 24π.
Radius of (x-2)²+(y+1)²=25 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Radius squared is 25.
Применяйте формат задания
- Различайте меры границ и меры пространства. Длина окружности составляет 2πr, а площадь πr²; объём цилиндра равен πr²h; объём конуса равен πr²h/3; объём сферы составляет 4πr³/3. Площадь поверхности представляет собой сумму видимых граней. Если все соответствующие длины масштабируются в k раз, площадь масштабируется в k² раз, а объём — в k³ раз; изменение только одного измерения требует использования исходной формулы.
- Вычисляйте площадь, площадь поверхности или объём, используя правильную размерность и единицы измерения.
Извлекайте квадратные корни для радиусов и полуосей; используйте полные длины секущих и кубические единицы для объёма.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Идентифицировать и интерпретировать стандартные формы окружности, эллипса, параболы и гиперболы
A tangent-radius angle at contact is 90°.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
They are perpendicular at that point.
Сохраняйте различия
- полуось — Половина полной длины главной оси эллипса.
- секущая — Прямая, пересекающая окружность в двух точках.
- Определяйте и интерпретируйте стандартные формы окружности, эллипса, параболы и гиперболы.
- Применяйте соотношения углов, касательных и секущих для окружности при соблюдении условий.
- Вычисляйте площадь, площадь поверхности или объём, используя правильную размерность и единицы измерения.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.