Физика элементарных частиц

Рассеяние α-частиц Гейгера–Марсдена

Альфа-частицы α, направленные на тонкую золотую фольгу, наблюдались следующим образом:

• большинство пролетали прямо, претерпевая крайне малое отклонение,
• иногда отклонялись под небольшими углами,
• редко (примерно $1$ из $8000$) отклонялись под углами, превышающими $90°$.

На основании этого Резерфорд вывел следующее:

• атом состоит преимущественно из пустого пространства (большинство α-частиц пролетает прямо),
• в центре находится крошечное, плотное, положительно заряженное ядро (редкие большие отклонения требуют сосредоточенного заряда, отталкивающего α-частицы),
• почти вся масса атома сосредоточена в этом ядре.

Порядок величины: диаметр атома $\sim 10^{-10}\ \text{m}$, диаметр ядра $\sim 10^{-15}\ \text{m}$ — ядро примерно в $10^{5}$ раз меньше атома.

Три результата и то, что каждый из них доказывает — ключи к ответам сопоставляют их именно так:

Также спрашивают три детали эксперимента: фольга тонкая, чтобы каждая α-частица встретила максимум одно ядро (и не поглощалась); камера является вакуумом, чтобы α-частицы не останавливались и не рассеивались воздухом; золото используется, потому что его можно раскатать в очень тонкий лист, и у него тяжелое, высокозаряженное ядро.

Разобранный пример. Объясните, почему очень малая доля α-частиц рассеивается под углами больше 90°.

Обратную траекторию приобретает только та α-частица, которая приближается к ядру практически в лоб. Ядро и α-частица оба имеют положительный заряд, поэтому электростатическое отталкивание очень велико при малом расстоянии, а ядро значительно массивнее α-частицы, поэтому отскакивает именно α-частица. Поскольку ядро микроскопически мало, лишь немногие α-частицы подходят так близко — отсюда и малая доля. По мере приближения α-частицы её кинетическая энергия преобразуется в электрическую потенциальную энергию; в точке ближайшего подхода она на мгновение останавливается, и вся её кинетическая энергия становится потенциальной.

Величина отклонения зависит от того, насколько близко траектория проходит к ядру: чем меньше расстояние, тем больше угол, а траектории симметричны относительно линии, проходящей через ядро.

Простая ядерная модель

Атом имеет:

• центральное ядро из протонов (положительные, заряд $+e$) и нейтронов (без заряда),
• электроны (заряд $-e$) вокруг ядра.

Масса протона и нейтрона почти одинакова ($\approx 1\ \text{u}$); масса электрона составляет примерно $\tfrac{1}{1836}$ от массы протона.

Разобранный пример. Опишите строение атома урана-238, $^{238}_{92}\text{U}$.

Ядро, содержащее 92 протона и $238 - 92 = 146$ нейтронов, с 92 электронами, вращающимися вокруг него. «Орбитальные электроны» — это термин программы экзамена; электроны находятся вне ядра, а нейтральный атом имеет столько же электронов, сколько протонов.

Обозначения и ключевые числа

Для нуклида, записанного как $^{A}_{Z}\text{X}$:

• протонное число $Z$ (также атомный номер): количество протонов. Оно определяет химический элемент.
• нуклонное число $A$ (также массовое число): общее количество нуклонов (протонов + нейтронов).
• количество нейтронов $N = A - Z$.

Нейтральный атом имеет такое же количество электронов, как и протонов.

Изотопы

Изотопы — это атомы одного элемента (одинаковое $Z$) с разным количеством нейтронов (различное $A$). Они ведут себя одинаково химически, но по-разному в ядре. Пример: $^{12}_{6}\text{C}$ и $^{14}_{6}\text{C}$ являются изотопами углерода.

Формулировка экзаменатора: изотопы — это ядра (или атомы) с одинаковым количеством протонов, но разным количеством нейтронов — эквивалентно, одинаковое протонное число $Z$ и различное нуклонное число $A$. У водорода есть три вида:

Разобранный пример. Тритий, $^{3}_{1}\text{H}$, является изотопом водорода. Укажите количество протонов, нейтронов и электронов в нейтральном атоме трития, а также состав кварков его ядра.

$Z = 1$ протон; $A - Z = 3 - 1 = 2$ нейтронов; 1 электрон (нейтрален, поэтому электроны $=$ протоны). Ядро состоит из одного протона (uud) и двух нейтронов (udd, udd): 4 верхних кварка и 5 нижних кварков. Проверка заряда: $4 \times \tfrac{2}{3} - 5 \times \tfrac{1}{3} = +1$, порядковый номер протона. «Подписанная схема» атома — это ядро (1 p, 2 n) с одним электроном, вращающимся вокруг него.

Законы сохранения в ядерных процессах

В любом ядерном процессе:

• нуклонное число $A$ сохраняется (суммарное $A$ до $=$ равно суммарному $A$ после),
• заряд сохраняется (это закон сохранения заряда).

Эти два правила позволяют балансировать уравнения распада и реакций.

Атомная единица массы

Атомная единица массы, обозначение $\text{u}$, определена так, что масса атома $^{12}_{6}\text{C}$ равна точно $12\ \text{u}$. Численно,

Масса протона составляет $\approx 1.007\ \text{u}$; нейтрона — $\approx 1.009\ \text{u}$; электрона — $\approx 5.5 \times 10^{-4}\ \text{u}$.

Разбор примера. Ядро X имеет 14 нуклонов и $p$ протонов. Его отношение заряда к массе равно $4.1 \times 10^{7}\ \text{C kg}^{-1}$. Найдите $p$ и определите X.

Заряд $= pe$; масса $\approx 14\ \text{u}$. Следовательно, $\dfrac{pe}{14\text{u}} = 4.1 \times 10^{7}$, что дает $p = \dfrac{4.1 \times 10^{7} \times 14 \times 1.66 \times 10^{-27}}{1.60 \times 10^{-19}} = 5.96 \approx 6$. Шесть протонов и 14 нуклонов: X — углерод-14, $^{14}_{6}\text{C}$. Сохраняйте все цифры до самого конца, затем округлите до ближайшего целого числа протонов.

Нестабильное ядро перестраивается и испускает один из трех видов излучения. Это радиоактивный распад. Каждый вид обладает собственными свойствами.

α-излучение

• Состав: ядро гелия-4, $^{4}_{2}\alpha$ (два протона + два нейтрона).
• Масса: $\approx 4\ \text{u}$.
• Заряд: $+2e$.
• Дальность в воздухе: несколько сантиметров. Останавливается листом бумаги.
• Ионизирующая способность: сильная — хорошо ионизирует среду.
• Энергетический спектр: дискретный (один акт распада дает α-частицы с одной или несколькими узкими энергиями).

Облачная камера делает треки видимыми: каждый α-частица оставляет короткий, прямой, толстый след из крошечных капелек при ионизации воздуха. Одинаковая малая длина треков показывает, что все α-частицы несут примерно одинаковую энергию.

β-излучение

Два вида бета-частиц β:

• $\beta^{-}$: быстрый электрон, испускаемый при превращении нейтрона в протон.
• $\beta^{+}$: позитрон (античастица электрона), испускаемый при превращении протона в нейтрон в богатом протонами ядре.

Свойства (для обоих видов):

• Масса: $\approx 1/1836\ \text{u}$ (намного меньше, чем у α).
• Заряд: $-e$ для $\beta^{-}$, $+e$ для $\beta^{+}$.
• Дальность в воздухе: около $1\ \text{m}$. Останавливается несколькими миллиметрами алюминия.
• Энергетический спектр: непрерывный вплоть до максимума (см. ниже).

γ-излучение

• Состав: высокоэнергетический фотон — часть электромагнитного спектра.
• Масса: ноль (масса покоя).
• Заряд: ноль.
• Дальность в воздухе: большая (подчиняется закону обратных квадратов). Сильно ослабляется несколькими сантиметрами свинца или метром бетона.
• Ионизирующая способность: самая слабая.
• Энергетический спектр: дискретный (гамма-луч γ испускается при переходе ядра между двумя ядерными энергетическими уровнями).

Ядро часто испускает γ-фотон как шаг "успокоения" после того, как α- или β-распад оставляют дочернее ядро в возбужденном состоянии.

Масса и заряд рядом — вопрос в таблице требует указать именно эти величины в единицах $\text{u}$ и $e$:

Разбор примера. Сравните α-частицу со частицей $\beta^{+}$ по их массам и зарядам (3 балла).

Оба положительно заряжены, но заряд α-частицы ($+2e$) вдвое больше заряда частицы $\beta^{+}$ ($+e$). Масса α-частицы ($4\ \text{u}$) примерно в $7300$ раз больше массы частицы $\beta^{+}$ ($5.5 \times 10^{-4}\ \text{u}$). Укажите соотношение, а не просто «тяжелее»: вдвое больший заряд и примерно в 7000 раз бо́льшая масса являются ключевыми моментами для оценки.

Поскольку они несут заряд, α- и β-частицы отклоняются электрическими и магнитными полями — в противоположных направлениях для противоположных знаков, легкая β-частица отклоняется гораздо сильнее, чем тяжелая α-частица, тогда как γ-лучи, будучи незаряженными, проходят прямо.

Античастицы, нейтрино и антинейтрино

У каждой частицы есть античастица с той же массой, но противоположным зарядом. Позитрон является античастицей электрона.

При β-распаде также всегда испускается третья частица:

• $\beta^{-}$ распад: антинейтрино $\bar{\nu}_{\text{e}}$.
• $\beta^{+}$ распад: нейтрино $\nu_{\text{e}}$.

Нейтрино и антинейтрино имеют нулевой заряд, очень маленькую массу и слабо взаимодействуют — их крайне сложно обнаружить, но они должны присутствовать, чтобы балансировать энергию, импульс и другие сохраняющиеся величины при β-распаде.

Почему β-спектр непрерывен (а α — нет)

При α-распаде выделяемая энергия распределяется между двумя частицами (дочерним ядром и α-частицей). Сохранение импульса и энергии фиксирует энергию α-частицы на одном значении (дискретная).

При β-распаде энергия распределяется между тремя частицами (дочерним ядром, β-частицей и (анти)нейтрино). β-частица может получить любую долю от нуля до максимума, поэтому её энергетический спектр непрерывен.

Разбор примера. Энергетический спектр $\beta^{-}$ частиц из источника непрерывен, от нуля до максимума. Объясните почему (3 балла).

Каждый распад высвобождает фиксированное количество энергии. Эта энергия распределяется между $\beta^{-}$ частицей, антинейтрино и отталкивающимся дочерним ядром. Антинейтрино может забрать любую долю, поэтому $\beta^{-}$ частице остается любая энергия от нуля до максимума — максимум достигается, когда антинейтрино уносит почти всю энергию. (Для α-частицы есть только два тела, поэтому сохранение импульса фиксирует долю, и энергия дискретна.)

Запись уравнений распада

Общий α-распад:

(проверка: $A = (A-4) + 4$, $Z = (Z-2) + 2$.)

Общий $\beta^{-}$ распад:

Общий $\beta^{+}$ распад:

Разбор примера. Уран-238, $^{238}_{92}\text{U}$, распадается путем α-излучения; углерод-14, $^{14}_{6}\text{C}$, распадается путем $\beta^{-}$-излучения. Найдите каждый дочерний нуклид.

α-распад снижает $A$ на 4 и $Z$ на 2; $\beta^{-}$-распад оставляет $A$ неизменным и увеличивает $Z$ на 1:

Определите количественные изменения. α-излучение: $A$ уменьшается на 4, $Z$ уменьшается на 2. $\beta^{-}$-излучение: $A$ не меняется, $Z$ увеличивается на 1. $\beta^{+}$-излучение: $A$ не меняется, $Z$ уменьшается на 1. γ-излучение: никаких изменений ни в одном параметре. Распадную цепь, оканчивающуюся известным нуклидом, решают по этим данным: число α-распадов равно $(A_{\text{start}} - A_{\text{end}})/4$, а затем число $\beta^{-}$-распадов приводит к правильному значению $Z$.

Разбор примера. Торий-230, $^{230}_{90}\text{Th}$, распадается поэтапно, через α- и $\beta^{-}$-излучение, в свинец-206, $^{206}_{82}\text{Pb}$. Найдите число каждого вида распада.

α-распады: $(230 - 206)/4 = 6$. Шесть α-распадов снизили бы $Z$ на 12, до 78; конечный $Z$ равен 82, значит, есть $82 - 78 = 4$ $\beta^{-}$-распадов.

Ядро в состоянии покоя отскакивает. Когда неподвижное ядро испускает α-частицу, импульс сохраняется: дочернее ядро и α-частица удаляются в противоположных направлениях с импульсами равной величины. Поскольку $p = mv$, более легкая α-частица движется гораздо быстрее, и поскольку $E_{\text{k}} = p^{2}/2m$ она также забирает большую часть кинетической энергии — доли обратно пропорциональны массам.

Разбор примера. Неподвижное ядро P массой $243\ \text{u}$ испускает α-частицу массой $4\ \text{u}$ со скоростью $1.5 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Найдите скорость дочернего ядра Q и отношение кинетической энергии α-частицы к кинетической энергии Q.

Ядро Q имеет массу $243 - 4 = 239\ \text{u}$. Импульс: $239 v_{\text{Q}} = 4 \times 1.5 \times 10^{7}$, следовательно $v_{\text{Q}} = 2.5 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$, направлен в сторону, противоположную α-частице. Кинетические энергии: $\dfrac{E_{\alpha}}{E_{\text{Q}}} = \dfrac{p^{2}/2m_{\alpha}}{p^{2}/2m_{\text{Q}}} = \dfrac{m_{\text{Q}}}{m_{\alpha}} = \dfrac{239}{4} \approx 60$. α-частица забирает около 98% высвобожденной энергии.

Некоторые частицы являются фундаментальными (точечные, без меньших составляющих, насколько нам известно); другие состоят из фундаментальных.

Определение на один балл: фундаментальная частица — это та, которую невозможно разделить на более мелкие частицы (у нее нет внутренней структуры). Электроны, нейтрино и кварки фундаментальны; протоны и нейтроны — нет.

Кварки

Кварк — это фундаментальная частица. Существует шесть вкусов:

• верхний (u), заряд $+\tfrac{2}{3}e$,
• нижний (d), заряд $-\tfrac{1}{3}e$,
• charmed (c), заряд $+\tfrac{2}{3}e$,
• strange (s), заряд $-\tfrac{1}{3}e$,
• верхний (t), заряд $+\tfrac{2}{3}e$,
• нижний (b), заряд $-\tfrac{1}{3}e$.

У каждого кварка есть антикварк с такой же величиной заряда, но противоположным знаком: $\bar{u}$ (заряд $-\tfrac{2}{3}e$), $\bar{d}$ (заряд $+\tfrac{1}{3}e$). Никакое другое свойство кварка не проверяется.

Записывается в виде таблицы, которую нужно заполнить:

Разобранное решение. Ссылаясь на состав из кварков, докажите, что заряд протона равен $+1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.

Протон состоит из uud: заряд $= \tfrac{2}{3}e + \tfrac{2}{3}e - \tfrac{1}{3}e = +e = +1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$. Запишите три дроби и их сумму — балл начисляется за арифметику, а не за ответ.

Адроны: барионы и мезоны

Частицы, состоящие из кварков, называются адронами. Два типа:

• барионы — три кварка. Примеры: протон (u u d), нейтрон (u d d). Проверка заряда: $\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = +1$ для протона; $\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0$ для нейтрона.
• мезоны — один кварк и один антикварк (например, $\pi^{+}$ это u$\bar{\text{d}}$).

Протоны и нейтроны не являются фундаментальными частицами — это барионы, сложенные из кварков.

"Сравните барионы и мезоны с точки зрения их составляющих частиц" (2 балла): оба являются адронами, сложенными из кварков; барион состоит из трех кварков (или трех антикварков для антибариона), а мезон — из одного кварка и одного антикварка. Любой заданный вами заряд должен получаться из зарядов кварков:

Разобранное решение. (a) Мезон имеет заряд $-1e$. Назовите возможный состав из кварков. (b) Мезон Q имеет заряд 0. Назовите возможный состав. (c) Барион состоит из трех кварков разных вкусов: u, d и s. Найдите его заряд. (d) Укажите состав антинейтрона и его заряд.

(a) d$\bar{\text{u}}$: $-\tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3} = -1$ (также подходит s$\bar{\text{u}}$). (b) u$\bar{\text{u}}$: $+\tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{3} = 0$ (или d$\bar{\text{d}}$). (c) uds: $\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0$. (d) Антинейтрон является античастицей для udd, поэтому он состоит из $\bar{\text{u}}\bar{\text{d}}\bar{\text{d}}$: $-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 0$ — та же масса и заряд, что и у нейтрона, поскольку обе частицы имеют нулевой заряд.

Изменения кварков при β-распаде

При $\beta^{-}$-распаде нейтрон превращается в протон; в терминах кварков: один down-кварк превращается в up-кварк:

При $\beta^{+}$-распаде протон превращается в нейтрон; один up-кварк превращается в down-кварк:

"Опишите распад $\beta^{+}$ с точки зрения участвующих фундаментальных частиц" (2 балл): up-кварк в протоне превращается в down-кварк, поэтому протон становится нейтроном, а испускаются позитрон и электронное нейтрино — $\text{u} \to \text{d} + \beta^{+} + \nu_{\text{e}}$. Для распада $\beta^{-}$ поменяйте роли местами: down-кварк превращается в up-кварк, испуская электрон и электронное антинейтрино. Назовите (анти)нейтрино: именно его требует вопрос как «другой лептон», и именно оно делает энергию β непрерывной.

Лептоны

Лептоны — это фундаментальные частицы, не состоящие из кварков. Вам нужны электрон и электронное нейтрино, их античастицы — позитрон и электронное антинейтрино. (Более тяжелые лептоны — мюон и тау — существуют, но не проверяются.) Если просят назвать «два различных лептона», укажите электрон и нейтрино.

Классификация частиц

Чтобы ответить на вопрос «какие являются фундаментальными?»: кварки и лептоны (электроны, позитроны, нейтрино, антинейтрино) являются фундаментальными; протоны, нейтроны, бароны, мезоны и адроны не являются такими — они построены из кварков.

Нейтрон и протон (по три кварка каждый). Антинейтрино и позитрон — это лептоны; $\beta^{+}$-частица есть позитрон. Тот же список, если бы был задан как «какие частицы не являются фундаментальными?», имел бы тот же ответ: нейтрон и протон.

Нейтрон и протон (по три кварка в каждом). Антинейтрино и позитрон — это лептоны; частица $\beta^{+}$ является позитоном. Тот же список, заданный как «какие не являются фундаментальными?», имеет тот же ответ: нейтрон и протон.

Антиматерия. У каждой частицы есть античастица той же массы и противоположного заряда; позитрон и электрон одинаковы по массе (и величине заряда) и различаются знаком заряда. Атом антиводорода состоит из антипротона (заряд $-e$, состоящего из $\bar{\text{u}}\bar{\text{u}}\bar{\text{d}}$) с позироном на орбите.

Движущееся ядро распадается

Используйте закон сохранения импульса вдоль каждой оси отдельно. Выберите $x$ вдоль начальной скорости материнского ядра, тогда начальный поперечный импульс равен нулю. Если продукты движутся по разные стороны от $x$, их поперечные импульсы компенсируются: $m_\alpha v_\alpha\sin\theta=m_dv_d\sin\phi$. Вдоль $x$ их импульсы в сумме равны начальному импульсу материнского ядра.

Разобранная задача. Продукты имеют импульсы $2.0\times10^{-20}$ и $1.0\times10^{-20}$ кг·м/с. Дочернее ядро движется под углом 30° ниже $x$. Сохранение поперечного импульса дает $\sin\theta=p_d\sin\phi/p_\alpha=(1.0\times10^{-20}\sin30^\circ)/(2.0\times10^{-20})=0.25$, поэтому альфа-частица движется под углом 14.5° выше $x$. Начальный суммарный импульс не равен нулю; нулевым является только его поперечная компонента.

Подсчет кварков во всем ядре

Ядро $^{A}_{Z}X$ содержит $Z$ протонов (uud) и $A-Z$ нейтронов (udd). Следовательно, $N_u=2Z+(A-Z)=A+Z$ и $N_d=Z+2(A-Z)=2A-Z$. Проверьте $N_u+N_d=3A$ и $q=(2N_u-N_d)e/3=Ze$.

Разобранная задача. Углерод-14 имеет шесть протонов и восемь нейтронов: $N_u=A+Z=14+6=20$ и $N_d=2A-Z=28-6=22$. При бета-минус распаде один d-кварк превращается в u-кварк, поэтому дочернее ядро содержит 21 u-кварков и 21 d-кварков.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Опишите ядерную модель атома (маленькое, плотное, положительно заряженное ядро) на основе данных опыта по рассеянию альфа-частиц — сопоставьте каждое наблюдение с соответствующим выводом.
• Сравните $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ по заряду, массе, ионизирующей способности и проникающей способности; когда просят сравнить две частицы, укажите соотношение (например, «заряд в два раза больше», «масса примерно в 7000 раз больше»).
• Используйте состав кварков (протон $uud$, нейтрон $udd$) и убедитесь, что заряд и массовое число сбалансированы в каждом уравнении.
• При $\beta^-$-распаде нейтрон превращается в протон, электрон и антинейтрино; при $\beta^{+}$-распаде протон превращается в нейтрон, позитрон и нейтрино. Называйте (анти)нейтрино каждый раз.
• Ядро в покое, которое распадается, передает своим двум продуктам равные по величине и противоположные по направлению импульсы, поэтому более легкая частица движется быстрее и несет большую часть кинетической энергии.
• Для цепи распада подсчитайте количество α-распадов по изменению $A$, затем скорректируйте $Z$ с помощью β-распадов $\beta$.

Распространенные ошибки

• Делать вывод «ядро положительно заряжено» на основе результата пролета сквозь. Этот результат показывает пустое пространство; отклонения под большими углами указывают на сосредоточенный положительный заряд.
• Определение изотопов только через «разную массу». Для получения балла нужно указать: одинаковое количество протонов, разное количество нейтронов.
• Написание $^{0}_{-1}\beta$ вместо $\beta^{+}$-распада. Позитрон — это $^{0}_{+1}\beta$, а $Z$ уменьшается на единицу.
• Забывание (анти)нейтрино в уравнении β-распада или добавление нейтрино к $\beta^{-}$. $\beta^{-}$ идет с антинейтрино, $\beta^{+}$ — с нейтрино.
• Утверждение, что протоны или нейтроны являются фундаментальными. Только кварки и лептоны являются фундаментальными.
• Обозначение мезона как «двух кварков». Это один кварк и один антикварк.
• Представление, что заряд антикварка имеет тот же знак, что и заряд кварка. $\bar{\text{u}}$ равен $-\tfrac{2}{3}e$, а $\bar{\text{d}}$ равен $+\tfrac{1}{3}e$.