RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

Dois observadores podem discordar sobre qual de dois eventos aconteceu primeiro, e ambos podem estar certos.

Pré-requisitos: 22.

• Transforme separações de eventos e identifique comprimento próprio versus leituras simultâneas das extremidades
• Aplique adição de velocidade relativística e verifique um invariante de quatro-vetor
• Classifique o sinal do intervalo para ordenar eventos e excluir contato causal

Use a transformação de Lorentz com velocidade declarada do referencial: se o referencial S′ move-se a +v ao longo de x em relação a S, então x′=γ(x−vt) e t′=γ(t−vx/c²) com γ=1/sqrt(1−v²/c²). Aplique-o às separações de eventos Δx e Δt, não apenas a coordenadas individuais. Dois eventos simultâneos em S (Δt=0) em locais diferentes têm Δt′=−γvΔx/c²: o evento mais distante na direção +x ocorre antes em S′. A simultaneidade é dependente do referencial, não um erro de contabilidade.

O comprimento de uma haste em movimento deve ser lido das posições das extremidades no mesmo instante do laboratório (Δt=0). Então Δx′=γΔx resulta em L=L0/γ, com L0 sendo o comprimento próprio (no repouso). Ler as extremidades simultaneamente no referencial da haste não produz o comprimento do laboratório; as duas condições de leitura respondem a perguntas diferentes. Declare o referencial e a condição de leitura antes de citar qualquer comprimento.

O intervalo s²=c²Δt²−Δx² (convenção mostly-minus, declarada uma vez) é invariante. s²>0 é do tipo temporal: existe um referencial onde os eventos ocorrem no mesmo local, e Δτ=s/c é o tempo próprio entre eles. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Velocidades colineares somam-se como u=(u′+v)/(1+u′v/c²); o denominador mantém u<c para qualquer u′,v<c, e u′=c resulta exatamente em u=c. Energia e momento formam um quatro-vetor com invariante E²−p²c²=m²c⁴: calcule-o em qualquer referencial conveniente. Verifique cada resultado no limite não relativista, onde a regra de adição se reduz a u=u′+v e o invariante se reduz à energia de repouso.

Dois eventos laboratoriais têm Delta x = 900 m e Delta t = 2 microssegundos. Seu intervalo espaço-temporal é tipo-espaço porque c Delta t = 600 m é menor que Delta x. Um referencial que os torne simultâneos satisfaz

Sua separação nesse referencial é $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Nenhum referencial pode posicionar esses eventos espaciais no mesmo lugar.

Citar L=L0/γ sem a condição de extremos simultâneos, ou somar velocidades como u=u′+v em velocidades relativísticas. A diferença de simultaneidade é física, não um erro.

intervalo espaço-temporal: A combinação invariante c²Δt²−Δx² sob a convenção de sinal declarada, cujo sinal classifica a separação entre eventos.

comprimento próprio: A separação das extremidades medida no referencial de repouso do objeto; qualquer outro referencial deve ler ambas as extremidades simultaneamente em seu próprio tempo.