LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

Um detector com eficiência de dez por cento não registra exatamente dez fótons a cada cem. A contagem flutua mesmo com eficiência estável.

Pré-requisitos: 47.

• Use médias e flutuações de contagem binomial e de Poisson
• Propague pequenas incertezas com suposições de correlação declaradas
• Resolva restrições de expoentes dimensionais e verifique as unidades de um modelo

Para N partículas incidentes independentes detectadas cada uma com probabilidade p, a contagem X é binomial: média Np e variância Np(1−p). O desvio padrão é sqrt[Np(1−p)], não a própria variância. Com N grande e p pequeno, uma aproximação de Poisson tem média λ=Np e variância λ, logo desvio sqrt(λ). Para N=200 e p=0.05, a média exata é 10 e o desvio sqrt(9.5)≈3.08, enquanto Poisson dá sqrt(10)≈3.16. Nenhum modelo promete uma contagem fixa. Detecções correlacionadas ou tempo morto podem invalidar a independência.

Para uma função medida suave y(x1,…), linearize as variações usando suas derivadas parciais. Incertezas padrão pequenas independentes combinam em quadratura: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Entradas correlacionadas exigem termos cruzados de covariância. Para y=x^a, a incerteza padrão fracionária é aproximadamente |a|σ_x/|x|. Assim, a energia cinética K=½mv² com incerteza de massa desprezível tem incerteza fracionária o dobro daquela da velocidade. Com incerteza independente de massa, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Essas aproximações exigem erros pequenos e um modelo linear local adequado.

Espalhamento aleatório mede precisão; um viés comum de calibração afeta a acurácia e não desaparece ao repetir medições. Para leituras repetidas independentes, a incerteza padrão da média cai como 1/sqrt(n), mas erro sistemático compartilhado não. A incerteza de uma dispersão física e a incerteza de sua média estimada são quantidades diferentes. Especifique se uma porcentagem citada é incerteza padrão, intervalo de confiança ou limite de pior caso. Somar contribuições absolutas é um limite conservador, não a regra de quadratura do erro padrão independente.

Análise dimensional iguala potências de massa, comprimento e tempo, em vez de tamanhos numéricos. Para uma forma de comprimento de Planck G^a $\hbar$^b c^d, as dimensões são [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T e [c]=L/T. Exigindo comprimento, obtemos −a+b=0, 3a+2b+d=1 e −2a−b−d=0. Logo a=b=1/2 e d=−3/2, assim o comprimento é sqrt(G$\hbar$/c³). Análise dimensional não pode determinar um coeficiente adimensional arbitrário nem provar que as constantes escolhidas são fisicamente suficientes. Rejeite uma fórmula com unidades erradas antes de inserir números.

Para incertezas padrão pequenas independentes em $K=mv^2/2$, diferencie primeiro.

Com incertezas relativas 3% na massa e 2% na velocidade, Um limite de pior caso usaria uma soma, não esta quadratura. Correlações exigem termos de covariância.

Não confunda média de contagem com contagem garantida, variância com desvio padrão, ou erro padrão aleatório com viés de calibração. A consistência dimensional é necessária, mas não suficiente.

incerteza padrão: Incerteza expressa como desvio padrão sob um modelo de medição declarado.

aproximação de Poisson: Modelo de contagem de eventos raros independentes com variância igual à média.