TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

Um gás pode ter velocidade média nula enquanto suas partículas possuem alta velocidade média. Direções opostas se cancelam na média vetorial; a velocidade escalar não tem sinal.

Pré-requisitos: 4, 35.

• Normalizar densidades contínuas de velocidade e interpretar suas unidades
• Distinguir médias vetoriais, médias de velocidade e velocidades mais prováveis
• Usar pesos de Boltzmann com degenerescência e função de partição

Para uma densidade de probabilidade de velocidade contínua f(v), f(v)dv aproxima a probabilidade em um intervalo estreito e ∫de 0a∞ f(v)dv=1. A densidade tem unidades inversas de velocidade e não é ela própria uma probabilidade. Se P(v)dv conta partículas naquele intervalo, sua área é a contagem N e f=P/N. Um trapézio que sobe ao longo da largura v0, permanece plano ao longo da largura 2v0, depois desce ao longo da largura v0 tem área 3av0 para altura a. Normalize pela área antes de calcular uma média ou interpretar uma altura plotada.

Em um gás isotrópico em equilíbrio sem fluxo macroscópico, cada distribuição de componente de velocidade é simétrica, logo ⟨v_vector⟩=0. A velocidade v=|v_vector| é não negativa e possui média positiva. Para um gás ideal clássico, a densidade de Maxwell é proporcional a v²exp[−mv²/(2kBT)]. Seu modo é sqrt(2kBT/m), sua média é sqrt(8kBT/(πm)) e sua velocidade quadrática média (rms) é sqrt(3kBT/m). São três quantidades diferentes. O fator v² faz a densidade de velocidade ser zero em v=0, mesmo que a densidade vetorial de velocidade seja máxima no vetor nulo.

Para uma distribuição contínua, a probabilidade de exatamente uma velocidade especificada é zero; probabilidades não nulas referem-se a intervalos. Esta afirmação não implica que não há partículas com velocidades arbitrariamente pequenas, nem que um detector de resolução finita não possa registrar um bin zero. A temperatura altera a escala da distribuição de Maxwell: as velocidades características são proporcionais a sqrt(T/m). Dobrar a temperatura não dobra a velocidade, e partículas mais pesadas têm velocidade média menor à mesma temperatura.

Em um ensemble canônico à temperatura T, um estado de energia E_i tem peso exp(−E_i/(kBT)). Divida pela função de partição Z=Σexp(−E_i/(kBT)) para obter probabilidades. Se um nível de energia possui degenerescência g_i, sua probabilidade de nível é g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Energia igual por estado não implica probabilidade igual por nível quando as degenerescências diferem. Para um nível fundamental de degenerescência 1 e um nível excitado de degenerescência 2 em Δ=kBT ln2, o peso total excitado é 2e^(−ln2)=1: ambos os níveis têm probabilidade 1/2. As suposições clássicas de Maxwell–Boltzmann diferem das ocupações quânticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac.

Um conjunto canônico tem degenerescência fundamental 1 e degenerescência excitada g em gap Delta.

Com g = 4 e $\Delta=k_BT\ln2$, Esta é a probabilidade para todo o nível excitado. Cada um de seus quatro estados tem probabilidade 1/6.

A altura de densidade não é uma probabilidade. A velocidade média, a rapidez média e a moda diferem; inclua a degenerescência antes de normalizar as probabilidades dos níveis.

densidade de probabilidade: Probabilidade por unidade de uma variável contínua, cuja integral fornece a probabilidade do intervalo.

função de partição: Soma dos pesos estatísticos usada para normalizar as probabilidades dos estados de equilíbrio.