WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Uma forma de onda pode conter muitos harmônicos sem nenhum termo senoidal. A simetria de reflexão indica quais coeficientes se anulam antes da integração.

Pré-requisitos: 3, 47.

• Use ortogonalidade para identificar coeficientes de Fourier
• Explore paridade par e ímpar sem descartar o termo constante
• Relacione as amplitudes dos componentes com interferência e formas de onda físicas

Para uma função real suficientemente regular e periódica de período 2π, escreva f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Os coeficientes são a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx e b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, com a0 usando n=0. Cossenos e senos são ortogonais sobre um período completo. A média é a0/2, não a0; mantenha o termo constante mesmo quando todos os coeficientes de frequência não nula de uma família se anularem.

Se f for par em relação à origem escolhida, f(x)sin(nx) é ímpar e sua integral simétrica é zero, logo todos os b_n se anulam. Se f for ímpar, sua média e todos os a_n se anulam. A simetria depende da origem: transladar o mesmo sinal físico pode misturar coeficientes de seno e cosseno enquanto mantém suas frequências harmônicas inalteradas. Uma forma de onda triangular não negativa simétrica em torno de x=0 pode, portanto, ter harmônicos de cosseno e média não nula sem qualquer harmônico de seno.

Para a extensão periódica de período 2π de f(x)=|x| em [−π,π], a média é π/2. Integrando x cos(nx) por partes em [0,π] obtém-se a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), logo coeficientes cosseno de n par são zero e os de n ímpar são −4/(πn²). Todos os coeficientes seno são zero. A decadência 1/n² reflete uma função contínua com descontinuidade de inclinação. Uma descontinuidade de salto frequentemente resulta em decadência mais lenta dos coeficientes e sobreposição de soma parcial; não infira o mesmo comportamento de convergência para cada forma de onda.

Uma soma de Fourier adiciona amplitudes com suas fases. Para amplitudes monocromáticas coerentes iguais A encontradas com diferença de fase φ, a amplitude resultante ao quadrado é 2A²(1+cosφ), logo a intensidade é 2I0(1+cosφ). É 4I0 em fase e zero em φ=π. A média incoerente remove o termo cruzado, resultando em 2I0. Harmônicos em frequências diferentes podem construir uma forma ao longo do tempo; sua soma instantânea não é a soma de suas intensidades individuais. Identifique se a questão trata de uma forma de onda, potência média temporal ou interferência coerente.

Para uma função periódica real, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. A simetria par anula todos os coeficientes seno porque o integrando é ímpar. Para $f(x)=|x|$ em $[-\pi,\pi]$,

A integração por partes fornece a segunda expressão. A média é $a_0/2=\pi/2$; apenas harmônicos cosseno ímpares permanecem. Um ponto anguloso não justifica a eliminação do termo constante.

Simetria par remove coeficientes de seno, não o termo constante ou todos os harmônicos cosseno. Verifique a origem da simetria e se os campos são coerentes antes de somar intensidades.

ortogonalidade: Integral nula do produto de funções base distintas sobre o intervalo especificado.

coeficiente de Fourier: Peso de um componente senoidal, cossenoidal ou constante em uma expansão periódica.