N · Statistical distributions

AQA A-level Mathematics 7357, secção N (Distribuições estatísticas), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: probabilidade da secção M.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Uma máquina enche garrafas com um pouco de dispersão em torno de 500 ml, enquanto uma contagem de defeitos por máquina é sempre um número inteiro. Um modelo usa áreas sob uma curva suave; o outro conta probabilidades discretas. Qual se adapta a qual?
• Antes de ler, diga o que torna uma contagem binomial e o que um modelo contínuo precisa.

O método

• Uma distribuição binomial precisa de n fixo, ensaios independentes, dois resultados e p constante: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, com E(X) = np e Var(X) = np(1 − p). O valor esperado é a média ponderada pela probabilidade.
• Uma quantidade contínua segue uma curva de densidade: a probabilidade é ÁREA, e P(X = x) = 0 para qualquer valor exato. A distribuição normal padroniza com z = (x − μ)/σ antes de ler uma probabilidade de cauda. Um modelo de Poisson conta eventos a uma taxa constante, com média igual à variância.
• distribuição binomial: A contagem de sucessos em n ensaios independentes de dois resultados com probabilidade constante p; valor esperado: A média ponderada pela probabilidade de uma variável aleatória; distribuição normal: O modelo simétrico em forma de sino para quantidades contínuas, padronizado por z = (x − μ)/σ.

Verificando seu trabalho

• Verifique as condições do modelo binomial antes de usar a fórmula: amostragem sem reposição torna os ensaios dependentes e altera p, fazendo com que o modelo falhe. Nem toda contagem segue uma distribuição binomial.
• Para uma variável contínua, nunca pergunte P(X = exatamente 130): calcule uma cauda ou um intervalo. Enuncie o evento antes de calcular e desenhe primeiro a região sombreada.

Caso resolvido

• Conhecido: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 e Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Para uma quantidade normal com μ = 100, σ = 15, o valor 130 tem z = (130 − 100)/15 = 2, logo está dois desvios padrão acima da média.

Exemplo:

Para X ~ binomial(5, 0.2), encontre P(X = 1) usando a mesma sequência: escolha o modelo → fórmula → substituição. (Resposta: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

Limites e armadilhas

• Os momentos binomiais só se aplicam quando todas as quatro condições são satisfeitas. Um modelo normal exige dados aproximadamente simétricos; a correção de continuidade é importante ao aproximar uma distribuição discreta por uma normal.

Atenção:

Toda contagem de sucessos tem distribuição binomial independentemente da dependência. Esta afirmação é falsa: o modelo requer ensaios independentes com p constante — amostragem sem reposição ou taxa de sucesso variável o invalidam, resultando em uma precisão enganosa na fórmula.

Chave:

Distribuições estatísticas: binomial para contagens fixas-n independentes (E = np, Var = np(1 − p)); normal para quantidades contínuas via z = (x − μ)/σ; probabilidades são áreas para modelos contínuos e termos exatos para discretos.