M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, seção M (Probabilidade), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas de ensino originais.

Pré-requisitos: árvores de probabilidade GCSE e diagramas de Venn.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Duas fichas saem de uma saca contendo 3 vermelhas e 2 azuis, uma após outra. As probabilidades do segundo sorteio são diferentes das do primeiro — isso é um erro ou o ponto?
• Antes de ler, diga o que "sem reposição" altera e como uma árvore o mostra.

O método

• Multiplique ao longo de um ramo da árvore e some ramos disjuntos para um resultado. Probabilidade condicional restringe o espaço amostral: P(A dado B) = P(A ∩ B)/P(B) para P(B) > 0. Sem reposição, a composição muda para o próximo sorteio.
• Mutuamente exclusivos significa sem sobreposição; independente significa saber que um evento não altera a probabilidade do outro. Dois eventos disjuntos com probabilidade positiva nunca são independentes: se A acontece, P(B) cai para 0.
• probabilidade condicional: Probabilidade de um evento dentro do grupo selecionado por informações dadas; mutuamente exclusivos: Eventos que não podem ocorrer juntos; independentes: Eventos em que saber um não altera a probabilidade 2019 do outro.

Verificando seu trabalho

• Preencha um diagrama de Venn do OVERLAP para fora: com 18 nadando, 12 nadando e 7 fazendo ambos, as únicas regiões são 11 e 5, então pelo menos um é 23 e nenhum é 7 de 30. Adicionar 18 + 12 duplica a contagem dos 7.
• Uma probabilidade condicional usa o total do grupo condicionado como denominador: P(nata dado ciclista) = 7/18, não 7/30. Inverter a condição geralmente altera o valor.

Caso resolvido

• Conhecido: 3 vermelhos e 2 azuis, duas extrações sem reposição. P(dois vermelhos) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(um de cada) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Os ramos multiplicam e as rotas disjuntas somam.

Exemplo:

Dado P(A ∩ B) = 0.12 e P(B) = 0.3, encontre P(A dado B) usando a mesma sequência: identifique o grupo condicionado → divida → interprete. (Resposta: P(A dado B) = 0.12/0.3 = 0.4. O denominador é a probabilidade de B, não do espaço todo.)

Limites e armadilhas

• Independência e exclusividade respondem a perguntas diferentes: eventos disjuntos com probabilidade positiva são sempre dependentes. Contagens esperadas (np) são médias de longo prazo, não garantias para uma única execução.

Atenção:

Eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas devem ser independentes. Esta afirmação é falsa: se A e B não podem acontecer juntos, então P(B dado A) = 0 ≠ P(B) — saber que A aconteceu altera completamente a probabilidade de B, o oposto da independência.

Chave:

Probabilidade: multiplique ao longo dos ramos, some rotas disjuntas; probabilidade condicional divide pelo grupo condicionado; sem reposição as probabilidades evoluem; disjuntos com probabilidade positiva significam dependente, nunca independente.