O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, secção O (Teste de hipóteses estatísticas), versão 1.3 (primeira avaliação 2018). Notas originais de ensino.

Pré-requisitos: os modelos binomial e normal da secção N.

Estes são exemplos originais de ensino, não material oficial da AQA.

A pergunta

• Uma fábrica afirma uma taxa de defeito de 10%, e uma amostra de 10 apresenta 3 defeitos. Um aluno diz "3 defeitos provam que a taxa está acima de 10%." Qual é a forma correta de testar essa afirmação?
• Antes de ler, declare a afirmação nula, a alternativa e qual probabilidade a evidência precisa superar para ser julgada.

O método

• Enuncie a hipótese nula H₀ e a hipótese alternativa H₁ nos parâmetros populacionais ANTES de inspecionar o resultado. Calcule a probabilidade, sob H₀, de obter um resultado pelo menos tão extremo quanto o observado — a probabilidade da cauda.
• Compare com o nível de significância escolhido (como 5%). Se a cauda estiver abaixo do nível, rejeite H₀; caso contrário, declare a evidência INSUFICIENTE, nunca que H₀ foi provada. Significância estatística não informa sobre a magnitude prática de um efeito.
• Hipótese nula: A afirmação padrão sobre um parâmetro populacional, testada contra a evidência; hipótese alternativa: A afirmação aceita se a evidência contra H₀ for forte o suficiente; nível de significância: O limiar de probabilidade escolhido para rejeitar a hipótese nula.

Verificando seu trabalho

• Escolha a cauda baseada em H₁, não naquela que resulta em um número menor: H₁: p > 0.1 exige P(X ≥ observado), uma cauda superior. Testes bicaudais duplicam a cauda quando a afirmação é "diferente", não "maior".
• As hipóteses referem-se ao PARÂMETRO (a taxa real de defeitos), não à amostra; e devem ser fixadas antes dos dados serem observados, senão o teste fica viciado.

Caso resolvido

• Conhecido: H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, e 3 defeitos observados. Sob H₀, X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. No nível 5%, 0.0702 > 0.05: evidência insuficiente de que a taxa de defeitos excede 10%.

Exemplo:

Um p-valor de cauda única correto é 0.03 no nível de 5%. Declare a conclusão usando a mesma sequência: compare com o nível → conclua no contexto. (Resposta: 0.03 < 0.05, rejeite H₀: as evidências apoiam a afirmação alternativa no nível de 5%.)

Limites e armadilhas

• Falhar em rejeitar H₀ não é prova de que é verdadeira — a amostra pode ser simplesmente muito pequena para detectar uma diferença real. Um nível de 5% significa 1 em 20 reivindicações inocentes serão "rejeitadas" por acaso em muitos testes; significância não mede importância.

Atenção:

Falhar em rejeitar uma hipótese nula prova que ela é verdadeira. Esta afirmação é falsa: o teste apenas mede se as evidências contra H₀ superam o limiar. Evidências fracas deixam H₀ sem comprovação, não provada — "evidência insuficiente" e "comprovado verdadeiro" são conclusões totalmente diferentes.

Chave:

Testes de hipóteses estatísticas: declare H₀ e H₁ em parâmetros primeiro, calcule a probabilidade da cauda sob H₀, compare com o nível de significância pré-definido e conclua no contexto — nunca afirme que a nula foi comprovada quando sobrevive.