Energia e Momento de Sistemas Rotacionantes

Objetivo de Aprendizagem 6.1.A: Descrever a energia cinética rotacional de um sistema rígido em termos da inércia rotacional e da velocidade angular desse sistema rígido.

• 6.1.A.1 A energia cinética rotacional de um objeto ou sistema rígido está relacionada à inércia rotacional e à velocidade angular do sistema rígido e é dada pela equação $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$.
  • Equação: $K_{\text{rot}} = \dfrac{1}{2} I \omega^2$
  • 6.1.A.1.i A inércia rotacional de um objeto em relação a um eixo fixo pode ser usada para mostrar que a energia cinética rotacional desse objeto é equivalente à sua energia cinética translacional, que é sua energia cinética total.
  • 6.1.A.1.ii A energia cinética total de um sistema rígido é a soma de sua energia cinética rotacional devido à rotação em torno de seu centro de massa e da energia cinética translacional devido ao movimento linear de seu centro de massa.
• 6.1.A.2 Um sistema rígido pode ter energia cinética rotacional enquanto seu centro de massa está parado devido aos pontos individuais dentro do sistema rígido terem velocidade linear e, portanto, energia cinética.
• 6.1.A.3 A energia cinética rotacional é uma quantidade escalar.

Objetivo de Aprendizagem 6.2.A: Descrever o trabalho realizado sobre um sistema rígido por um torque dado ou conjunto de torques.

• 6.2.A.1 Um torque pode transferir energia para dentro ou para fora de um objeto ou sistema rígido se o torque for exercido durante um deslocamento angular.
• 6.2.A.2 A quantidade de trabalho realizado sobre um sistema rígido por um torque está relacionada à magnitude desse torque e ao deslocamento angular pelo qual o sistema rígido gira durante o intervalo em que esse torque é exercido.
  • Equação: $W = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$
• 6.2.A.3 O trabalho realizado sobre um sistema rígido por um torque dado pode ser encontrado pela área sob a curva de um gráfico do torque em função da posição angular.

Objetivo de Aprendizagem 6.3.A: Descrever o momento angular de um objeto ou sistema rígido.

• 6.3.A.1 A magnitude do momento angular de um sistema rígido em relação a um eixo específico pode ser descrita pela equação $L = I\omega$.
  • Equação: $L = I\omega$
• 6.3.A.2 O momento angular de um objeto em relação a um ponto dado é $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
  • Equação: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
  • 6.3.A.2.i A seleção do eixo em relação ao qual um objeto é considerado em rotação influencia a determinação do momento angular desse objeto.
  • 6.3.A.2.ii O momento angular medido de um objeto movendo-se em linha reta depende da distância entre o ponto de referência e o objeto, da massa do objeto, da velocidade do objeto e do ângulo entre a distância radial e a velocidade do objeto.

Objetivo de Aprendizagem 6.3.B: Descrever o impulso angular fornecido a um objeto ou sistema rígido por um torque.

• 6.3.B.1 O impulso angular é definido como o produto do torque exercido sobre um objeto ou sistema rígido e o intervalo de tempo durante o qual o torque é exercido.
  • Equação: $\text{angular impulse} = \displaystyle\int \tau \, dt$
• 6.3.B.2 O impulso angular tem a mesma direção do torque que o produz.
• 6.3.B.3 O impulso angular fornecido a um objeto ou sistema rígido por um torque pode ser encontrado pela área sob a curva de um gráfico de torque em função do tempo.

Objetivo de Aprendizagem 6.3.C: Relacionar a mudança no momento angular de um objeto ou sistema rígido ao impulso angular dado a esse objeto ou sistema rígido.

• 6.3.C.1 A magnitude da variação do momento angular pode ser descrita comparando as magnitudes dos momentos finais e iniciais do objeto ou sistema rígido.
  • Equação: $\Delta L = L - L_0$
• 6.3.C.2 Uma forma rotacional do teorema do impulso-momento relaciona o impulso angular fornecido a um objeto ou sistema rígido e a mudança no momento angular desse objeto ou sistema rígido.
  • 6.3.C.2.i O impulso angular exercido sobre um objeto ou sistema rígido é igual à mudança no momento angular desse objeto ou sistema rígido.
    • Equação: $\Delta L = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \tau \, dt$
  • 6.3.C.2.ii A forma rotacional do teorema do impulso-momento é resultado direto da segunda lei de Newton para casos em que o momento de inércia rotacional é constante.
    • Equação: $\tau_{\text{net}} = \dfrac{dL}{dt} = I\dfrac{d\omega}{dt} = I\alpha$
• 6.3.C.3 O torque líquido exercido sobre um objeto ou sistema rígido é igual à inclinação do gráfico do momento angular de um objeto em função do tempo.
• 6.3.C.4 O impulso angular fornecido a um objeto ou sistema rígido é igual à área sob a curva de um gráfico do torque externo líquido exercido sobre um objeto em função do tempo.

Objetivo de Aprendizagem 6.4.A: Descrever o comportamento de um sistema usando a conservação do momento angular.

• 6.4.A.1 O momento angular total de um sistema em relação a um eixo de rotação é a soma dos momentos angulares das partes constituintes do sistema em relação a esse eixo de rotação.
• 6.4.A.2 Qualquer mudança no momento angular de um sistema deve ser devida a uma interação entre o sistema e seus arredores.
  • 6.4.A.2.i O impulso angular exercido por um objeto ou sistema sobre um segundo objeto ou sistema é igual e oposto ao impulso angular exercido pelo segundo objeto ou sistema sobre o primeiro. Este é um resultado direto da terceira lei de Newton.
  • 6.4.A.2.ii Um sistema pode ser selecionado de modo que o momento angular total desse sistema seja constante.
  • 6.4.A.2.iii A velocidade angular de um sistema não rígido pode mudar sem que o momento angular do sistema mude se o sistema alterar sua forma movendo massa para mais perto ou mais longe do eixo de rotação.
  • 6.4.A.2.iv Se o momento angular total de um sistema mudar, essa mudança será equivalente ao impulso angular exercido sobre o sistema.

Objetivo de Aprendizagem 6.4.B: Descrever como a seleção de um sistema determina se o momento angular desse sistema muda.

• 6.4.B.1 O momento angular é conservado em todas as interações.
• 6.4.B.2 Se o torque externo líquido exercido sobre um objeto ou sistema rígido selecionado for zero, o momento angular total desse sistema será constante.
• 6.4.B.3 Se o torque externo líquido exercido sobre um objeto ou sistema rígido selecionado for diferente de zero, o momento angular será transferido entre o sistema e o ambiente.

Objetivo de Aprendizagem 6.5.A: Descrever a energia cinética de um sistema que possui movimento translacional e rotacional.

• 6.5.A.1 A energia cinética total de um sistema é a soma das energias cinéticas translacional e rotacional do sistema.
  • Equação: $K_{\text{tot}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$

Objetivo de Aprendizagem 6.5.B: Descrever o movimento de um sistema que está rolando sem deslizamento.

• 6.5.B.1 Durante o rolamento sem deslizamento, o movimento translacional do centro de massa de um sistema está relacionado ao movimento rotacional do próprio sistema pelas seguintes equações:
  • Equação: $\Delta x_{\text{cm}} = r\Delta\theta$
  • Equação: $v_{\text{cm}} = r\omega$
  • Equação: $a_{\text{cm}} = r\alpha$
• 6.5.B.2 Para casos ideais, o rolamento sem deslizamento implica que a força de atrito não dissipará nenhuma energia do sistema em rotação.

Objetivo de Aprendizagem 6.5.C: Descrever o movimento de um sistema que está rolando enquanto desliza.

• 6.5.C.1 Quando há deslizamento, o movimento do centro de massa de um sistema e o movimento rotacional do sistema não podem ser diretamente relacionados.
• 6.5.C.2 Quando um sistema rotativo está deslizando em relação a outra superfície, o ponto de aplicação da força de atrito cinético exercida sobre o sistema move-se em relação à superfície, portanto a força de atrito cinético dissipará energia do sistema.

Declaração de Escopo: A atrito de rolamento está fora do escopo da AP Physics C: Mecânica.

Objetivo de Aprendizagem 6.6.A: Descrever os movimentos de um sistema composto por dois objetos ou sistemas interagindo apenas por meio de forças gravitacionais.

• 6.6.A.1 Em um sistema composto apenas por um objeto central massivo e um satélite orbitante com massa desprezível em comparação à massa do objeto central, o movimento do próprio objeto central é desprezível.
• 6.6.A.2 O movimento de satélites em órbitas é limitado por leis de conservação.
  • 6.6.A.2.i Em órbitas circulares, a energia mecânica total do sistema, a energia potencial gravitacional do sistema e o momento angular e a energia cinética do satélite são constantes.
  • 6.6.A.2.ii Em órbitas elípticas, a energia mecânica total do sistema e o momento angular do satélite são constantes, mas a energia potencial gravitacional do sistema e a energia cinética do satélite podem variar.
  • 6.6.A.2.iii A energia potencial gravitacional de um sistema constituído por um satélite e um objeto central massivo é definida como zero quando o satélite está a uma distância infinita do objeto central.
    • Equação: $U_g = -G\dfrac{m_1 m_2}{r}$
• 6.6.A.3 A energia total de um sistema composto por um satélite orbitando um objeto central em uma trajetória circular pode ser escrita em termos da energia potencial gravitacional desse sistema ou da energia cinética do satélite.
  • Equação: $K = -\dfrac{1}{2}U$
  • Equação: $E_{total} = \dfrac{1}{2}U = -\dfrac{GMm}{2r}$
• 6.6.A.4 A velocidade de fuga de um satélite é a velocidade tal que a energia mecânica do sistema satélite-objeto central é igual a zero.
  • 6.6.A.4.i Quando a única força exercida sobre um satélite é a gravidade de um objeto central, um satélite que atinge a velocidade de fuga se afastará do corpo central até que sua velocidade alcance zero a uma distância infinita do corpo central.
  • 6.6.A.4.ii A velocidade de fuga de um satélite de um corpo central de massa $M$ pode ser derivada usando leis de conservação de energia.
    • Equação: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$