Torque e Dinâmica Rotacional

Objetivo de Aprendizagem 5.1.A: Descrever a rotação de um sistema em relação ao tempo usando deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular.

• 5.1.A.1 Deslocamento angular é a medida do ângulo, em radianos, através do qual um ponto em um sistema rígido gira em torno de um eixo especificado.
  • Equação: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
  • 5.1.A.1.i Um sistema rígido é aquele que mantém sua forma, mas em que diferentes pontos do sistema se movem em direções diferentes durante a rotação. Um sistema rígido não pode ser modelado como um objeto.
  • 5.1.A.1.ii Uma direção de deslocamento angular em torno de um eixo de rotação — horária ou anti-horária — geralmente é indicada como matematicamente positiva, sendo a outra direção matematicamente negativa.
  • 5.1.A.1.iii Se a rotação de um sistema em torno de um eixo puder ser bem descrita usando o movimento do centro de massa do sistema, o sistema pode ser tratado como um único objeto. Por exemplo, a rotação da Terra em torno de seu eixo pode ser considerada desprezível ao considerar a revolução da Terra em torno do centro de massa do sistema Terra-Sol.
• 5.1.A.2 A velocidade angular é a taxa na qual a posição angular muda em relação ao tempo.
  • Equação: $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$
• 5.1.A.3 A aceleração angular é a taxa na qual a velocidade angular muda em relação ao tempo.
  • Equação: $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$
• 5.1.A.4 Deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular em torno de um eixo são análogos ao deslocamento linear, velocidade e aceleração em uma dimensão e demonstram as mesmas relações matemáticas.
  • 5.1.A.4.i Para aceleração angular constante, as relações matemáticas entre deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular podem ser descritas pelas seguintes equações:
    • $\omega = \omega_0 + \alpha t$
    • $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
    • $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
  • 5.1.A.4.ii Gráficos de deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular como funções do tempo podem ser usados para encontrar as relações entre essas quantidades.

Declaração de limite: AP Physics C: Mecânica espera que os alunos consigam manipular matematicamente as magnitudes do deslocamento angular, da velocidade angular e da aceleração angular usando convenções vetoriais. No entanto, as direções desses vetores não serão avaliadas no exame.

As descrições das direções das quantidades de cinemática rotacional para um ponto ou corpo rígido são limitadas aos sentidos horário e anti-horário em relação a um eixo de rotação dado.

Objetivo de Aprendizagem 5.2.A: Descrever o movimento linear de um ponto em um sistema rígido rotativo que corresponde ao movimento rotacional desse ponto, e vice-versa.

• 5.2.A.1 Para um ponto a uma distância $r$ de um eixo de rotação fixo, a distância linear $s$ percorrida pelo ponto enquanto o sistema rotate através de um ângulo $\Delta\theta$ é dada pela equação $\Delta s = r\Delta\theta$.
• 5.2.A.2 Relações derivadas da velocidade linear e do componente tangencial da aceleração em relação às suas respectivas quantidades angulares são dadas pelas seguintes equações:
  • $s = r\theta$
  • $v = r\omega$
  • $a_T = r\alpha$
• 5.2.A.3 Para um sistema rígido, todos os pontos dentro desse sistema têm a mesma velocidade angular e aceleração angular.

Declaração de Escopo: AP Physics C: Mecânica espera que os alunos consigam manipular matematicamente as magnitudes do deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular usando convenções vetoriais. No entanto, as direções dos vetores não serão avaliadas no exame.

As descrições das direções das quantidades de cinemática rotacional para um ponto ou corpo rígido são limitadas aos sentidos horário e anti-horário em relação a um eixo de rotação dado.

Objetivo de Aprendizagem 5.3.A: Identificar os torques exercidos sobre um sistema rígido.

• 5.3.A.1 O torque resulta apenas da componente da força perpendicular ao vetor posição do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força.
• 5.3.A.2 O braço de alavanca é a distância perpendicular do eixo de rotação até a linha de ação da força exercida.

Objetivo de Aprendizagem 5.3.B: Descrever os torques exercidos sobre um sistema rígido.

• 5.3.B.1 Os torques podem ser descritos usando diagramas de forças.
  • 5.3.B.1.i Diagramas de forças são semelhantes a diagramas de corpo livre e são usados para analisar os torques exercidos sobre um sistema rígido.
  • 5.3.B.1.ii Semelhante aos diagramas de corpo livre, diagramas de forças representam a magnitude relativa e a direção das forças exercidas sobre um sistema rígido. Diagramas de forças também representam o local em que essas forças são exercidas em relação ao eixo de rotação.
• 5.3.B.2 O torque exercido sobre um sistema rígido em relação a um ponto de pivô escolhido por uma força dada é descrito por $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
  • 5.3.B.2.i O produto vetorial entre dois vetores, $\vec{A}$ e $\vec{B}$, resulta em uma quantidade vetorial de magnitude $\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta$.
  • 5.3.B.2.ii A direção do vetor resultante do produto vetorial dos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ é perpendicular a ambos os vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ e, portanto, é normal ao plano definido pelos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$.
  • 5.3.B.2.iii A direção do vetor resultante do produto vetorial dos vetores $\vec{A}$ e $\vec{B}$ pode ser determinada qualitativamente aplicando a regra da mão direita apropriada.

Objetivo de Aprendizagem 5.4.A: Descrever a inércia rotacional de um sistema rígido em relação a um eixo de rotação específico.

• 5.4.A.1 A inércia rotacional mede a resistência de um sistema rígido a mudanças na rotação e está relacionada à massa do sistema e à distribuição dessa massa em relação ao eixo de rotação.
• 5.4.A.2 O momento de inércia rotacional de um objeto girando a uma distância perpendicular $r$ de um eixo é descrito pela equação $I = mr^2$.
• 5.4.A.3 O momento de inércia rotacional total de um conjunto de objetos em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia rotacionais de cada objeto em relação a esse eixo.
  • Equação: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$
• 5.4.A.4 Para um sólido que pode ser considerado como uma coleção de massas diferenciais, $dm$, o momento de inércia rotacional do sólido pode ser calculado usando a equação $I = \int r^2\, dm$, onde $r$ é a distância perpendicular de $dm$ ao eixo de rotação.

Objetivo de Aprendizagem 5.4.B: Descrever a inércia rotacional de um sistema rígido girando em torno de um eixo que não passa pelo centro de massa do sistema.

• 5.4.B.1 A inércia rotacional de um sistema rígido em um plano dado é mínima quando o eixo de rotação passa pelo centro de massa do sistema.
• 5.4.B.2 O teorema do eixo paralelo usa a seguinte equação para relacionar a inércia rotacional de um sistema rígido em torno de qualquer eixo que seja paralelo a um eixo que passa por seu centro de massa:
  • Equação: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Declaração de Escopo: AP Physics C: Mecânica apenas espera que os alunos usem cálculo nas derivações do momento de inércia rotacional de barras finas de densidade uniforme ou não uniforme em relação a um eixo arbitrário perpendicular à barra, bem como derivações do momento de inércia de uma casca cilíndrica fina, disco ou corpos rígidos que podem ser considerados compostos por anéis coaxiais ou cascas em relação a um eixo que passa por seus centros (p.ex., anéis toroidais).

Os alunos devem ter uma compreensão qualitativa dos fatores que afetam o momento de inércia rotacional; por exemplo, como o momento de inércia rotacional é maior quando a massa está mais distante do eixo de rotação, razão pela qual um aro possui mais momento de inércia rotacional do que um disco sólido de mesma massa e raio.

Objetivo de Aprendizagem 5.5.A: Descrever as condições sob as quais a velocidade angular de um sistema permanece constante.

• 5.5.A.1 Um sistema pode exibir equilíbrio rotacional (velocidade angular constante) sem estar em equilíbrio translacional, e vice-versa.
  • 5.5.A.1.i Diagramas de corpo livre e diagramas de forças descrevem a natureza das forças e torques exercidos sobre um objeto ou sistema rígido.
  • 5.5.A.1.ii O equilíbrio rotacional é uma configuração de torques tal que o torque líquido exercido sobre o sistema seja zero.
    • Equação: $\sum \tau_i = 0$
  • 5.5.A.1.iii O análogo rotacional da primeira lei de Newton afirma que um sistema terá velocidade angular constante apenas se o torque líquido exercido sobre o sistema for zero.
• 5.5.A.2 Um corolário rotacional da segunda lei de Newton estabelece que, se os torques exercidos sobre um sistema rígido não estiverem equilibrados, a velocidade angular do sistema deve estar mudando.

Declaração de Escopo: AP Physics C: Mecânica não espera que os alunos analisem simultaneamente a rotação em múltiplos planos.

Objetivo de Aprendizagem 5.6.A: Descrever as condições sob as quais a velocidade angular de um sistema muda.

• 5.6.A.1 A velocidade angular muda quando o torque líquido exercido sobre o objeto ou sistema não for igual a zero.
• 5.6.A.2 A taxa com que a velocidade angular de um sistema rígido muda é diretamente proporcional ao torque líquido exercido sobre o sistema rígido e está na mesma direção. A aceleração angular do sistema rígido é inversamente proporcional à inércia rotacional do sistema rígido.
  • Equação: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\Sigma\tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
• 5.6.A.3 Para descrever completamente um sistema rígido rotativo, análises lineares e rotacionais podem precisar ser realizadas independentemente.