고등 역학

던진 공의 이동 경로를 예측하기

공이 코트 전체를 날아갑니다. 비행 중 위치, 속도 및 방향이 변화합니다. 투수자의 손 아래에 있는 착지점을 포함하여 이 세 가지 모두를 예측할 수 있는 모델이 필요합니다. 포물선은 중력하에서 자유롭게 움직입니다. 이를 입자로 모델링하고 ** 공기 저항**을 무시하며 중력을 일정하게 가정합니다. 가벼운 배드민턴 셔틀콕, 강한 바람 또는 매우 긴 비행에서는 이러한 가정의 정확성이 낮아질 수 있습니다.

물의 아치 형태는 모델을 시사하지만, 공기 저항과 물방울 간의 상호작용이 정확도를 제한합니다.

원점을 설정하고 발사 속도를 분해하기

원점을 발사 지점에 두고, 수평 변위를 $x$(오른쪽), 수직 변위를 $y$(위쪽)으로 정의합니다. 발사각 $\alpha$는 수평면 위쪽에서 측정합니다. 각 방향의 초기 속도 성분은 $u_x=u\cos\alpha$, $u_y=u\sin\alpha$입니다. $u=20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$와 $\tan\alpha=4/3$의 경우, $3$–$4$–$5$ 삼각형을 통해 $u_x=12$, $u_y=16$ (단위: 미터/초)를 구할 수 있습니다.

두 방향에서 동일한 시간을 사용하기

수평 힘은 없습니다. 수평 방향의 일정한 가속도는 $0$이고 수직 방향은 $-g$입니다. 발사점에서의 변위를 기준으로 한 위치 및 속도 방정식은 다음과 같습니다:

Both equations use the same $t$. Unless a question states otherwise, take $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ in the worked projectile examples.

지정된 시간에서의 위치와 속도 찾기

$u_x=12$, $u_y=16$, $g=10$, $t=1.5\ \text{s}$의 경우, 위치는 $x=18\ \text{m}$, $y=24-11.25=12.75\ \text{m}$입니다. 속도 성분은 $12$과 $1$ (단위: 미터/초)입니다. 속도는 속도의 크기입니다: $v=\sqrt{12^2+1^2}=\sqrt{145}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. 그 방향은 수평면 위쪽 $\tan^{-1}(1/12)\approx4.76^\circ$입니다. 위치 좌표는 속도 성분이 아닙니다.

방향을 부호 있는 성분으로 변환하기

나중에 같은 공이 수직 아래 방향에 대해 $45^\circ$의 각도로 이동합니다. 공이 하강하고 있으므로 $v_y<0$와 $|v_y|=v_x=12$입니다. 따라서 $16-10t=-12$와 $t=2.8\ \text{s}$입니다. 그런 다음 $(x,y)=(33.6,5.6)\ \text{m}$과 $v=12\sqrt2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$입니다. 수평면에 대한 아래쪽 각도 $\beta$에는 $v_y=-v_x\tan\beta$를, 수직 아래 방향에 대한 각도 $\gamma$에는 $v_y=-v_x\cot\gamma$를 사용합니다.

특정 높이는 두 번 도달할 수 있음

At height $10\ \text{m}$, $16t-5t^2=10$ gives $t=(8\pm\sqrt{14})/5\ \text{s}$. Both times are positive: one on the way up, one on the way down. 해당 $x$ 값은 $(96\pm12\sqrt{14})/5\ \text{m}$입니다. 수직 속도는 $\pm2\sqrt{14}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이며, 더 빠른 시간의 속도는 양수입니다. 두 속력 모두 $\sqrt{144+56}=10\sqrt2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$입니다. 사건 설명에서 하나만 선택할 때까지 두 근을 모두 유지하십시오.

최대 높이 유도하기

상향 발사 시 발사점 위 최대 높이는 $v_y=0$일 때 발생합니다. 따라서 $t_{\rm top}=u_y/g$ 및 $H=u_y^2/(2g)=u^2\sin^2\alpha/(2g)$입니다. $u=20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$에 대해, $\alpha=30^\circ$과 $g=10$, $u_y=10$이므로, $t_{\rm top}=1\ \text{s}$ 및 $H=5\ \text{m}$입니다. 수평 속력은 여전히 $10\sqrt3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이며, 속도는 0이 아닙니다.

평탄한 지면에서의 사거리 유도하기

착지가 발사 높이에 있다면, $y=0$로 설정하십시오: $t(u_y-gt/2)=0$입니다. 근 $t=0$은 발사이며, 양의 비행 시간은 $T=2u_y/g$으로 $u_y>0$에 해당합니다. 그 수평 면에서의 사거리는 $R=u_xT=u^2\sin2\alpha/g$입니다. $20\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $30^\circ$ 예제에 대해, $T=2\ \text{s}$ 및 $R=20\sqrt3\approx34.6\ \text{m}$입니다. 착지 높이가 다르면 이 공식은 그대로 적용되지 않습니다.

최대 사거리에 대한 조건 제시하기

고정된 $u$과 $g$, 공기 저항 없음, 평탄한 지면 및 상향 발사의 경우, $\sin2\alpha\le1$이 $\alpha=45^\circ$에서 가장 큰 사거리를 제공합니다. 보각인 $30^\circ$과 $60^\circ$는 동일한 사거리를 주지만, 다른 높이와 비행 시간을 가집니다. 수직 투사는 수평 이동 거리가 0입니다. 높은 platform에서 수평 또는 하향 발사할 경우 실제 착지 높이를 고려해야 하므로, $45^\circ$ 결론을 단순히 적용할 수 없습니다.

발사점 아래로 착지하기

공이 $20\ \text{m}$ 플랫폼에서 수평으로 $12\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 속도로 나갑니다. 원점을 발사점으로 하면, 바닥은 $y=-20$이지 $y=0$이 아닙니다. 따라서 물리적 근 $t=2\ \text{s}$를 give하는 $-5t^2=-20$과 수평 거리 $24\ \text{m}$입니다. 충격 시, $v_x=12$이며 $v_y=-20$이므로 속력은 $4\sqrt{34}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이고 방향은 수평선 아래 $\tan^{-1}(20/12)\approx59.0^\circ$입니다. $t=-2$는 발사 이전에 해당하므로 버려야 합니다.

시간을 제거하여 궤적 얻기

궤적 trajectory은 경로입니다. $u_x\ne0$인 경우 수직 방정식에 $t=x/(u\cos\alpha)$을 대입하면 데카르트 방정式Cartesian equation이 구해집니다:

수직이 아닌 발사에 대해 그것은 포물선입니다. 이 방정식은 수학적 곡선을 묘사하며, 발사 후 첫 충격 이전까지 도달한 위치만 유지하십시오. 수직 투구는 전 구간에서 $x=0$이므로 이 분리는 허용되지 않습니다.

알려진 방향을 사용하여 미지속 속도 찾기

$\tan\alpha=3/2$이라고 가정하고 포물선이 $(10,10)\ \text{m}$을 passes through합니다. $T=\tan\alpha$과 $1/\cos^2\alpha=1+T^2$을 쓰십시오. 궤적 방정식은 다음을 gives

따라서 $u=5\sqrt{13}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $u_x=10$, $u_y=15$ 및 $y=3x/2-x^2/20$입니다. 오른쪽에 있는 표적을 위해, 유한한 양의 속도를 require하는 $X>0$과 $XT>Y$: 초기 직선 방향은 표적 위에 향해야 합니다.

하나의 표적에 대한 두 발사각 찾기

이제 $u=20\sqrt2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$를 고정하고 궤적이 벽의 꼭대기 $(40,20)\ \text{m}$를 지나도록 요구합니다. $T=\tan\alpha$와 $g=10$가 주어졌을 때:

두 값 모두 양수 발사각입니다: $\alpha=45^\circ$ 또는 $\tan^{-1}3\approx71.6^\circ$. 높은 각도의 궤적이 반드시 더 긴 사거리를 가지지는 않습니다. 해를 accept하기 전에 각 근을 표적 방정식에 다시 대입하십시오.

두 비행 경로 비교

저각 경로는 $y=x-x^2/80$입니다: 꼭지점은 $(40,20)$이고 사거리는 $80\ \text{m}$입니다. 고각 경로는 $y=3x-x^2/16$입니다: 꼭지점은 $(24,36)$이고 사거리는 $48\ \text{m}$입니다. 두 경로 모두 $(40,20)$를 통과합니다. 두 번째 경로는 벽에서 이미 하강 중입니다. 큰 각도는 궤적을 높이지만 수평 성분을 줄이므로, 높이만으로 사거리를 순위를 매길 수는 없습니다.

clearance 조건을 구간으로 변환하기

해당 벽 꼭대기에 도달하거나 그 위로 지나가려면 $40T-10(1+T^2)\ge20$를 요구해야 합니다. 따라서 $(T-1)(T-3)\le0$과 $1\le T\le3$입니다. 평지 사거리는 $R=160T/(1+T^2)$입니다. 미분값은 $160(1-T^2)/(1+T^2)^2$이므로, 이는 $1\le T\le3$ 구간에서 감소합니다. 가장 작은 착지 거리는 $T=3$에서의 $48\ \text{m}$입니다. 벽 꼭대기에 닿는 것이 금지된 경우, 끝점들은 제외되며 $48$는 달성되지 않는 하한이 됩니다.

높이 부등식을 푼 후 사건 순서 적용하기

$y=3x/2-x^2/20$로 돌아가십시오. $(10,10)$을 지나면 공은 $x=D$에서 높이 $25/4\ \text{m}$인 수직 장벽에 부딪힙니다. 공은 $0\le D\le30$ 동안 지면 위에 있습니다. 장벽에 부딪히는 것은 $y(D)\le25/4$임을 의미하며, 이로써 $(D-5)(D-25)\ge0$을 얻습니다. 지면 위 구간에서는 이것이 $D\le5$ 또는 $D\ge25$을 줍니다. 그러나 장벽은 $x=10$ 이후에 도달하므로, 경계 접촉이 허용되는 $25\le D\le30$만 남습니다. '이후', '하강 중', '착지 전'은 수학적 제한 조건입니다.

두 점을 통해 두 발사 조건 복원하기

모르는 발사점이 미터 단위로 $(10,15)$와 $(20,20)$을 통과한다고 가정하십시오. $y=Ax-Bx^2$를 쓰되, $A=\tan\alpha$과 $B=g/(2u_x^2)>0$를 포함합니다. 두 점은 $10A-100B=15$와 $20A-400B=20$을 제공합니다. 첫 번째 식의 두 배를 두 번째 식에서 뺍니다: $-200B=-10$, 따라서 $B=1/20$과 $A=2$입니다. 그러므로 $u_x=10$, $u_y=20$, $u=10\sqrt5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 및 $\alpha=\tan^{-1}2$을 알 수 있습니다. 사거리는 $40\ \text{m}$이고 최대 높이는 $20\ \text{m}$입니다.

사건으로부터 방법 선택하기

시간이 주어지면 성분의 방정식을 사용하십시오. 방향이 주어지면 먼저 부호 있는 속도 성분을 연결하십시오. 높이가 주어지면 시간에 대해 풀고 두 근을 확인하십시오. 표적이나 모발사 조건이 주어지면 시간을 소거하고 좌표를 대입하십시오. 단위, 좌표 원점, $t\ge0$, 이동 방향 및 첫 번째 충돌을 확인하십시오. 위쪽 발사의 경우 꼭대기에서 수직 성분만이 사라지며, 순수 수직 던짐의 경우 전체 속도가 그곳에서 사라집니다. 같은 높이의 사공 공식은 항상 같은 높이라는 가정이 필요합니다.

손잡이가 경첩에서 멀리 있는 이유

문 경접 근처를 밀면 큰 힘이 필요합니다. 손잡이를 밀면 같은 힘으로도 더 큰 회전 효과를 낳습니다. 평형을 예측하려면 힘과 그것이 작용하는 위치를 모두 알아야 합니다. 대상을 경체로 모델링합니다: 형태와 내부 부간 거리는 고정됩니다. 공면력을 고려하며, 모든 힘은 한 평면에 있습니다. 입자 모델로는 회전 예측에 필요한 정보를 잃게 됩니다.

작용선으로부터 모멘트 측정

한 점에 대한 힘의 모멘트는 그 힘의 작용선에서 해당 점까지의 수직 거리에 힘을 곱한 값입니다. 단위는 $\text{N m}$입니다. 부호를 지정하여 반시계 방향을 양수로 선택할 수 있습니다. 받침점에서 $0.6\ \text{m}$ 오른쪽에 $20\ \text{N}$ 위쪽 힘이 작용하면 모멘트는 $+12\ \text{N m}$가 됩니다. 작용선이 받침점을 지날 때는 힘 자체가 0이 아니더라도 모멘트는 0입니다.

경사한 힘에는 수직 레버암이 필요합니다

$30\ \text{N}$ 크기의 힘이 수평 막대 위에서 $30^\circ$ 높이, 받침점에서 $4\ \text{m}$ 거리에 작용합니다. 이 힘의 수직 성분은 $30\sin30^\circ=15\ \text{N}$이며, 이로 인해 반시계 방향으로 모멘트 $15(4)=60\ \text{N m}$가 발생합니다. 또는 전체 힘과 레버암 $4\sin30^\circ=2\ \text{m}$을 사용할 수도 있습니다. 이는 동일한 모멘트를 계산하는 두 가지 방법일 뿐입니다. 사인 인자를 두 번 곱해 넣어서는 안 됩니다.

평형은 두 가지 독립적 균형 조건을 요구함

평형 상태에 있는 물체는 합력이 0이어야 하며, 임의의 점에 대한 총 모멘트도 0이어야 합니다. 공면력의 경우 두 수직 방향으로 분해하고 한 점을 정하여 모멘트를 취합니다. 이 조건들은 이 모델에서 평형을 위한 충분조건이기도 합니다. Equal opposite $10\ \text{N}$ forces on different parallel lines $0.4\ \text{m}$ apart have zero resultant but a moment of $4\ \text{N m}$. They do not balance rotationally. Zero resultant means no translational acceleration; it does not make an already moving body stop. For static equilibrium, the body starts at rest.

중력을 질량 중심에 작용하는 하나의 힘으로 대체

균일 중력장에서 무게 $F_W=mg$은 질량 중심을 통해 작용합니다. 균일한 물체는 길이나 면적, 부피에 따라 질량이 고르게 분포되어 있습니다. 대칭성을 이용하십시오: 균일 막대의 질량 중심은 중앙에 있으며, 균일 직사각형은 대각선이 만나는 곳에 있습니다. 질량 중심은 질량 분포의 모든 대칭축 위에 존재합니다. 밀도가 변할 경우 형상 대칭만으로는 충분하지 않으며, 질량 중심은 물질 외부의 구멍 속에 있을 수도 있습니다.

삼각형 판의 중심 위치 찾기

판은 얇은 판상 물체를 뜻합니다. 균일한 삼각형 판의 질량 중심은 각 중선의 꼭짓점에서 시작하여 두 번째 분점, 즉 반대 변에서부터는 세 번째 분점에 위치합니다. MF19 공식이 제시되나, 여기서는 증명이 필요하지 않습니다. 미터 단위의 꼭짓점 $(0,0)$, $(6,0)$, $(0,3)$에 대해 원점에 대칭인 중점은 $(3,1.5)$입니다. 이 변위의 2/3은 $(\bar x,\bar y)=(2,1)\ \text{m}$가 됩니다. 혹은 균일 삼각형의 세 꼭짓점 좌표의 평균을 취할 수도 있습니다.

경체 공식에서 기준점을 읽기

공식 목록에 따르면 균일 실심 원뿔이나 피라미드의 질량 중심은 꼭짓점에서 $3h/4$ 거리, 따라서 밑면에서 $h/4$ 거리에 위치합니다. 반지름 $r$인 실심 반구에서는 기저 원 중심으로부터 축을 따라 곡면 쪽으로 $3r/8$ 거리에 있습니다. 반면 얇은 반구 껍질의 경우 거리가 $r/2$입니다. 껍질은 실심 반구가 아닙니다. 여러 물체를 결합하기 전에 모든 위치를 동일한 원점과 부호가 있는 축으로 변환해야 합니다.

호(弧)와 호환(扇形)을 구분

반지름이 $r$이고 각도가 $2\alpha$인 균일한 원호에 대해, MF19를 이용하면 대칭축 상에서 원심으로부터 질량 중심까지의 거리가 $r\sin\alpha/\alpha$임을 알 수 있습니다. 균일한 원형 부채꼴 판의 경우 그 거리는 $2r\sin\alpha/(3\alpha)$입니다. 여기서 $\alpha$는 라디안 단위의 반각입니다. 반원은 $\alpha=\pi/2$을 가집니다: 선분 호는 $2r/\pi$를, 부채꼴 판은 $4r/(3\pi)$를 내보냅니다. 균일한 선분의 질량은 길이로, 일정한 두께를 가진 균일한 판의 질량은 면적으로 계산하므로, 이 두 물체는 동일한 질량 모델을 가지지 않습니다.

모든 구성 요소를 하나의 입자로 대체하기

복합체는 더 간단한 부분들로 구성되어 있습니다. 각 부분을 자신의 질량중심 $(x_i,y_i)$에 질량 $m_i$를 가진 입자로 대체합니다. 무게의 모멘트를 취하면 다음과 같습니다:

균일한 선의 질량은 길이에 비례하고, 일정한 두께의 균일한 판은 면적에 비례하며, 균일한 고체는 부피에 비례합니다. 관련 밀도가 같을 때만 면적 또는 부피 비율을 사용하십시오. 구성 요소의 질량이 같을 경우에만 단순 평균을 사용하여 구성 요소의 위치를 계산할 수 있습니다.

사각형과 삼각형을 결합하기

Join a rectangle $0\le x\le4$, $0\le y\le2$ to a triangular plate with vertices $(4,0)$, $(4,2)$ and $(7,0)$, with lengths in metres. Both have the same thickness and density. Their areas are $8$ and $3$, and their centres are $(2,1)$ and $(5,2/3)$. 따라서 $\bar x=(8\cdot2+3\cdot5)/11=31/11\ \text{m}$과 $\bar y=(8\cdot1+3\cdot2/3)/11=10/11\ \text{m}$가 됩니다. 더 큰 부분이 각 모멘트에 더 크게 기여합니다.

질량과 모멘트에서 제거된 부분을 뺍니다

Start with a $6\ \text{m}$ by $4\ \text{m}$ uniform rectangular plate. Remove the upper-right $4\ \text{m}$ by $2\ \text{m}$ rectangle, leaving an L-shape. Using the lower-left corner as origin, the original area is $24$ at $(3,2)$ and the removed area is $8$ at $(4,3)$. 구멍의 면적과 모멘트를 모두 뺍니다:

재질이 변할 때 질량 가중치를 변경하기

Two uniform thin rods of the same material and cross-section form an L: a $6\ \text{m}$ horizontal rod from the origin, and a $4\ \text{m}$ vertical rod. Use lengths $6$ and $4$ as mass weights. Their centres are $(3,0)$ and $(0,2)$, giving $(\bar x,\bar y)=(1.8,0.8)\ \text{m}$. If the vertical rod has twice the mass per unit length, the weights become $6$ and $8$, giving $(9/7,8/7)\ \text{m}$. Do not use the area of the empty region between the rods.

공통 축을 사용하여 고체를 결합하기

Join a uniform solid cone of radius $r$, height $4r$, to a uniform solid hemisphere of radius $r$ at their circular bases. They have the same density. Put the common base at $z=0$ and take positive $z$ towards the cone's vertex. The cone has volume $4\pi r^3/3$ and centre $z=r$. The hemisphere has volume $2\pi r^3/3$ and centre $z=-3r/8$. Thus

고체의 축단면; 그려진 삼각형과 반원형의 면적이 아니라 부피를 질량 가중치로 사용하십시오.

원래 질량중심을 유지하면서 구멍을 제거하기

A uniform cone has base radius $2r$ and height $4r$. Remove a solid hemisphere of radius $r$ whose base lies in the cone's base plane, with the same axis and its curved surface inside the cone. The original cone's volume and centre are $16\pi r^3/3$ and $z=r$; the removed hemisphere's are $2\pi r^3/3$ and $z=3r/8$. With $z$ measured upwards from that base, the remaining centre is

밑면 근처의 재료를 제거하면 중심이 위로 이동합니다. 구멍은 계산에서 음의 질량 기여도를 가지며, 새로운 중심이 알 수 없다는 의미는 아닙니다.

자유로이 걸린 물체는 지지점 아래에 질량 중심을 두어야 합니다

부피가 매끄러운 축에서 자유롭게 걸릴 때 지지력과 무게는 수직선 위에 있어야 합니다. 안정적 평형을 위해 질량은 지지점 수직 하단에 위치해야 하며, 질량이 지지점 상단에 있는 수직 선은 불안정한 방향입니다. L자형 판의 좌측 상단 모서리 $D=(0,4)$를 지지점으로 걸으십시오. 판의 초기 좌표계에서 $G-D=(2.5,-2.5)$입니다. 아래쪽 가장자리 방향과 $DG$ 사이의 각도는 $\tan^{-1}(2.5/2.5)=45^\circ$입니다. 판은 $DG$가 수직 아래를 향할 때까지 회전합니다.

매개변수 근이 실제 지지점을 남기는지 확인하십시오

상단 우측에 너비 $h$와 높이 $2$인 사각형이 제거된 $4$ × $6$ 균일한 판이 있으며, 여기서 $0<h<4$입니다. 거리는 미터 단위로, 지지점은 남은 좌측 상단 모서리 $D=(0,6)$입니다. 면적 방법을 사용하면 다음을 얻습니다:

원래 아래쪽 가장자리가 걸린 수직선과 $\theta$의 각도를 이루며, $\tan\theta=1/2$일 경우, $\bar x/(6-\bar y)=1/2$를 사용하십시오. 이는 $(h-3)(h-4)=0$을 줍니다. 허용되는 것은 오직 $h=3$뿐입니다: $h=4$에서는 $D$를 포함한 전체 상단 띠가 제거되었습니다. 대수적 근은 물체의 기하학에 따라야 합니다.

방정식을 선택하기 전에 모든 외부 힘을 그리십시오

자유체도에는 물체와 그에 작용하는 힘이 포함됩니다. 무게는 질량 중심에서 작용하고, 가벼운 줄은 그 자체를 따라 당깁니다. 반작용력은 접촉면에 수직입니다. 매끄러운 접촉에는 마찰력이 없습니다. 경첩은 수평 및 수직 반작용 성분을 가할 수 있습니다. 거친 접촉면에서 마찰력은 impending 상대 미끄러짐 방향을 반대합니다. 정지 마찰력은 $|F_f|\le\mu F_N$를 따르며, 여기서 $\mu$는 마찰 계수입니다. 한계 마찰력은 $\mu F_N$입니다. 등호는 모든 정지 접촉면에서 성립하지 않고 한계 평형일 때만 성립합니다. 밀어낼 수 있는 지지대만이 존재하려면 $F_N\ge0$도 필요합니다.

빔의 평형을 맞추고 반력을 구하십시오

A uniform horizontal beam $AB$ is $4\ \text{m}$ long and weighs $100\ \text{N}$. It is pivoted at $A$, with an upward vertical force $F$ at $B$. The weight acts $2\ \text{m}$ from $A$. Moments about $A$ give $4F=100(2)$, so $F=50\ \text{N}$. Vertical force balance then gives the upward pivot reaction $R_A=100-50=50\ \text{N}$. Taking moments removed that reaction from one equation; it did not make the reaction zero.

하중을 받는 빔은 하중 위치를 알아야 합니다

양 끝에 지지대가 있는 길이 $6\ \text{m}$, 무게 $120\ \text{N}$의 균일한 수평 빔 $AB$가 있습니다. $60\ \text{N}$ 하중은 $A$로부터 $5\ \text{m}$ 떨어진 곳에 있습니다. 수직 반력은 $R_A+R_B=180$를 만족시킵니다. $A$에 대한 모멘트: $6R_B=120(3)+60(5)=660$, 따라서 $R_B=110\ \text{N}$와 $R_A=70\ \text{N}$을 얻습니다. 두 반력 모두 양수입니다. 단순 지지점에서 계산된 반력이 음수이면 가정된 접촉이 이를 공급할 수 없으므로, 물체가 접촉을 잃었거나 넘어지는지 확인하십시오.

기울어진 막대와 경첩 반력을 분해하십시오

길이 $4\ \text{m}$, 무게 $100\ \text{N}$의 균일한 막대는 $A$에서 경첩되어 있으며, 다른 끝에 부착된 수평 가벼운 줄에 의해 수평면 위에서 $30^\circ$만큼 들어 올려져 있습니다. 줄은 벽 쪽으로 $A$를 통해 당깁니다. $A$에 대한 모멘트는 수평 장력의 수직 팔과 무게의 수평 팔을 사용합니다:

경첩 반력의 성분은 $50\sqrt3\ \text{N}$ 오른쪽 방향과 $100\ \text{N}$ 위쪽 방향이다. 그 크기(합성)는 두 성분의 합이 아닌 $50\sqrt7\ \text{N}$이다.

거친 벽의 막대 기하학을 설정하십시오

길이 $4a$, 무게 $F_W$의 균일한 막대 $AB$의 하단 끝 $A$이 거친 수직 벽에 닿아 있습니다. 중점은 $C$입니다. 길이 $2a$의 가벼운 줄이 $C$와 벽 위의 점 $D$를 연결하므로 $AC=CD$입니다. 막대는 벽과 $\theta$의 각도를 이루며, 여기서 $\tan\theta=4/3$입니다. 무게 $2F_W$인 입자가 $AE=ka$에 부착되어 있으며, 이는 $C$와 $B$ 사이에 위치한다. $A$에서의 마찰 계수는 $1/4$이며, 막대가 아래로 미끄러지기 직전 상태이다. 구해야 할 변수는 줄의 장력, 접촉력 및 위치 매개변수 $k$이다.

거친 벽면의 힘들을 먼저 분해하시오

이등변 삼각형 $ACD$은 줄과 수직선 사이의 각도를 $\theta$이 되도록 한다. impending downward slipping(아래로 미끄러질 것 같은 상태)을 방지하기 위해 마찰력은 위쪽 방향으로 작용한다. $\sin\theta=4/5$, $\cos\theta=3/5$ 및 한계 관계식 $F_f=F_N/4$을 사용하여 다음을 얻는다.

첫 번째 식을 두 번째 식에 대입하면: $4F_T/5=3F_W$. 따라서 $F_T=15F_W/4$, $F_N=3F_W$ 및 $F_f=3F_W/4$를 구할 수 있다. 추가된 입자는 자신의 무게 기여도를 두 배로 늘리므로, 총 하중은 $3F_W$이다.

모멘트 방정식 하나로 거친 벽면 문제 해결 완료

$A$에 대한 모멘트를 취하면 두接触力(접촉력)이 소거된다. $C$에서 장력을 분해하거나 수직 거리(arm)를 사용하라. 모멘트 방정식은 다음과 같다.

Substitute $F_T=15F_W/4$, $\sin2\theta=24/25$ and $\sin\theta=4/5$. This gives $36/5=(8/5)(1+k)$, hence $k=7/2$. Check $2<k<4$: the particle is between $C$ and $B$, as the model requires.

고리의 중심이 정지해 있어도 마찰력이 필요할 수 있음

반지름 $r$, 무게 $F_W$인 고리가 경사각 $\alpha$인 거친 평면 위에 놓여 있으며, $\tan\alpha=3/4$ 조건을 만족한다. 수평 줄이 $P$ 지점에서 오른쪽으로 당겨지며, 이 지점의 반지름 $OP$은 평면과 평행하게 경사면을 따라 위쪽을 향한다. 마찰력 $F_f$은 경사면 위쪽으로,NORMAL FORCE(법선 반력) $F_N$은 평면에 수직으로 작용한다고 가정하자. 중심에 대한 모멘트는 $F_fr=F_Tr\sin\alpha$을 준다. 경사면을 따라 분해하면 $F_f+F_T\cos\alpha=F_W\sin\alpha$이 된다. $\sin\alpha=3/5$, $\cos\alpha=4/5$을 사용하면 $F_T=3F_W/7$과 $F_f=9F_W/35$을 얻을 수 있다.

마찰 한계를 적용하기 전에 법선 반력을 사용하시오

고리 예시에서 수직 방향 평형은 $F_N=F_W\cos\alpha+F_T\sin\alpha=37F_W/35$을 준다. 수평 줄은 경사면을 위로 당기는 것뿐만 아니라 평면 안쪽으로 밀어 넣기도 하므로, 법선 반력이 단순히 $F_W\cos\alpha$일 수는 없다. 한계 평형 상태에서 $\mu=F_f/F_N=9/37$이다. 만약 경사면의 마찰 계수가 더 크다면, 고리는 동일한 필요 마찰력으로 정지할 수 있으며, 마찰력이 자동으로 최대값까지 증가하지는 않는다.

전복 여부를 테스트하기 전에 지지 구간을 구하시오

무게와 접촉력만으로 지지되는 물체는 질량 중심을 통과하는 수직선이 지지 면적(base of support) 내에 있을 때 upright(서 있는 상태)로 유지될 수 있다. 전복(toppling) 지점에서는 접촉 합력이 가장자리에 도달하며, 무게의 선이 그 가장자리를 통과한다. 이를 넘어서면 불균형 회전 모멘트가 발생한다. L자형 판은 $\bar x=2.5\ \text{m}$을 가진다. 전체 $6\ \text{m}$ 하단 가장자리 위에서는 균형을 이룰 수 있다. 그러나 짧은 $2\ \text{m}$ 상단 가장자리 위에 세워지면 무게의 선이 지지 구간 밖으로 나가므로 전복된다. 외부 Applied force(외력)가 가해지면 모멘트 평형이 변하므로, 무게의 선이 지지 면적 내에 있는 것만으로는 충분하지 않은 테스트 기준이 된다.

수평 밀림은 접촉 합력을 가장자리로 이동시킬 수 있음

무게 $F_W$인 균일 직육면체 블록이 수평 거친 바닥 위에 놓여 있다. 바닥의 반너비(half-width)는 $b$이며, 수평 밀힘 force(힘) $P$가 바닥으로부터 높이 $h$ 지점에 작용한다. 운동 시작 전, $F_N=F_W$이며 필요한 마찰력은 $F_f=P$이다. 모멘트를 분석하면 법선 반력이 바닥 중심에서 leading edge(앞쪽 가장자리) 쪽으로 거리 $\delta=Ph/F_W$만큼 이동함을 알 수 있다. 전복은 $\delta=b$에서 시작되므로 $P_{\rm topple}=F_Wb/h$이다. 미끄러짐은 $P_{\rm slide}=\mu F_W$에서 시작된다. 이러한 임계점을 비교하시오. 두 한계가 동시에 발생하는 것으로 가정하지 마시오.

어떤 균형 상실 현상이 먼저 일어나는지 결정하시오

$F_W=200\ \text{N}$, $b=0.4\ \text{m}$ 및 $h=1\ \text{m}$의 경우 전도 임계점은 $80\ \text{N}$입니다. $\mu=0.3$의 경우 미끄러짐 임계점은 $60\ \text{N}$이므로 미끄러짐이 먼저 시작됩니다. $\mu=0.5$의 경우 미끄러짐에는 $100\ \text{N}$가 필요하므로 전도가 먼저 시작됩니다. 임계점은 $\mu=b/h=0.4$에서 일치합니다. 밀고 높이를 증가시키면 전도가 쉬워지지만, 이 모델에서는 수평 미끄러짐 임계점은 변하지 않습니다. 이러한 예측은 첫 번째 운동에 관한 것이며, 이후 운동에는 다른 모델이 필요합니다.

경사면에서의 두 임계각 비교

For a body with a symmetric base of half-width $b$ and centre of mass a perpendicular distance $c$ above its centre, the weight line reaches the downhill edge when $\tan\alpha=b/c$. With no other applied forces, impending sliding gives $\tan\alpha=\mu$. The smaller critical angle occurs first. $b=0.4\ \text{m}$, $c=0.6\ \text{m}$ 및 $\mu=0.5$의 경우, 미끄러짐은 $\tan^{-1}(0.5)\approx26.6^\circ$에서 일어나며 이는 $\tan^{-1}(2/3)\approx33.7^\circ$에서의 전도보다 앞섭니다. 반구형 구멍이 있는 원뿔의 경우, $c=61r/56$, $b=2r$이므로 전도 각도는 $\tan\alpha=112/61$를 만족하며, 이는 평면이 초기 미끄러짐을 방지할 만큼 충분히 거칠 때 성립합니다.

기하학적 형태와 힘 모델을 함께 유지하십시오

주어진 재료와 공식에서 각 구성 요소의 질량과 질량 중심을 구하십시오. 하나의 원점을 사용하고 부호 있는 좌표 및 가중 모멘트를 적용한 뒤, 제거된 재료를 총 질량과 모든 모멘트에서 뺍니다. 근을Accept하기 전에 미지 길이의 기하학적 영역을 확인하십시오. Draw every external force. Resolve twice, take moments once and then check contact and friction restrictions. A freely hanging body's centre is below its support. For standing or pushed bodies, identify the actual support edge and compare toppling and sliding limits. Neither zero resultant alone nor zero moment alone proves equilibrium.

회전에는 속도 변화가 필요합니다

줄에 인 공은 속도가 일정하게 유지되더라도 방향을 바꿉니다. 줄이 공을 안쪽으로 당니다. 손은 공이 바깥쪽으로 당기는 것을 느낍니다: 이 두 힘은 서로 다른 물체에 작용합니다. 지구에 고정된 기준계에서 공에 작용하는 실제 힘을 그리십시오. 관성은 바깥쪽으로 추가적인 힘을 제공하지 않습니다. 원심력이라는 명칭은 회전 기준계의 묘사에 해당하므로, 여기서는 이를 사용할 필요가 없습니다.

각속도를 원주상 이동 거리와 연결

$\theta$ 라디안의 각도는 아크 길이 $s=r\theta$를 만듭니다. 반지름이 고정된 경우, 각속도는 회전 속도를 의미하며, 선속도는 초당 이동 거리를 의미합니다. Therefore $v=r\omega$. A point farther from the axis has greater speed at the same $\omega$. Use radians per second in this formula; degrees per second must first be multiplied by $\pi/180$.

주기 또는 회전율을 변환

주기 $\tau$은 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간입니다. 주파수 $f$는 초당 회전 횟수입니다. 따라서 $\omega=2\pi/\tau=2\pi f$입니다. 분당 $30$ 회전일 때, 초당 $f=1/2$ 회전이며 $\omega=\pi\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$입니다. 반지름 $0.4\ \text{m}$에서, $v=0.4\pi\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$입니다. $30$를 그대로 $v=r\omega$에 대입하지 마십시오.

안쪽 가속도와 속도 변화를 분리

속도는 접선 방향입니다. 가속도의 반경 방향 성분은 중심을 향하며 크기는 $a_r=v^2/r=r\omega^2$입니다. 이 안쪽 성분은 원심 가속도입니다. 여기서 가속도 공식의 증명은 불필요합니다. 일정한 속도를 가질 때 이것이 전체 가속도입니다. 속도가 변할 경우에도 접선 방향 성분이 존재합니다. 중력이 작용하는 수직 원 운동에서는 전체 가속도가 반드시 정확히 중심을 향하지 않을 수 있습니다.

가속도 공식의 두 형태를 모두 사용하십시오

$r=2\ \text{m}$와 일정한 $\omega=3\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$에 대해, 속도는 $v=2(3)=6\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이며 $a_r=2(3^2)=18\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$입니다. $v^2/r=6^2/2=18$로 확인하면 동일한 결과가 나옵니다. 고정된 속도에서 반지름을 두 배로 하면 $a_r$는 절반이 되며, 고정된 각속도에서 반지름을 두 배로 하면 두 배가 됩니다. 어떤 양이 고정되어 있는지를 명시하십시오.

실제 힘들을 중심 방향으로 분해하십시오

Draw a free-body diagram and choose inwards as positive. Newton's law gives $\sum F_{\rm inward}=mv^2/r$. A centripetal force is the inward resultant needed for the motion, not another arrow to add beside weight, tension or contact forces. 수평 원 운동이 반드시 일정 속도를 가질 필요는 없습니다. 이 교재의 안정된 수평 원 운동 문제에서는 수직 가속도와 접선 가속도가 0이며, 안쪽 가속도는 0이 아닙니다. 수직 방향과 반경 방향을 별도의 방정식으로 각각 분해하십시오.

마찰력이 안쪽 합성력을 제공할 수 있습니다

거친 수평 회전 원판 위의 입자는 Normal reaction(반응력) $N=mg$를 받습니다. 만약 마찰력이 유일한 수평 힘이라면, 필요한 마찰력은 $F_f=mr\omega^2$입니다. 이는 $F_f\leq\mu N$를 만족해야 합니다. Therefore $\omega^2\leq\mu g/r$. For $r=1.2\ \text{m}$, $\mu=0.3$ and $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, the greatest angular speed is $\sqrt{2.5}\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, about $15.1$ revolutions per minute. Below the limit, friction is not automatically $\mu N$.

경사진 줄이 원판의 반응력을 변경합니다

$2\ \text{kg}$ 질량의 입자가 거친 원판 위에서 반지름 $1.5\ \text{m}$로 움직입니다. 줄이 축보다 위쪽 지점을 향해 당기고 있으며, 장력(Tension) 은 $T=10\ \text{N}$, $\sin\alpha=3/5$ 및 $\cos\alpha=4/5$입니다. 여기서 $\alpha$는 수직선으로부터 측정된 각도입니다. $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$를 취하십시오. 수직 균형 방정식에 따라 $N=20-10(4/5)=12\ \text{N}$가 됩니다. $\mu=1/4$와 바깥쪽으로 미끄러지기 직전인 상태에서 한계 마찰력(Limiting friction) 은 안쪽 방향으로 $3\ \text{N}$입니다. 따라서 $10(3/5)+3=2(1.5)\omega^2$이 되어, $\omega=\sqrt3\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$를 얻습니다.

속도가 변할 때 마찰력의 방향이 바뀌기도 합니다

그 입자, 장력 및 기하학적 구조를 고정해 둡니다. 줄은 이미 안쪽 방향으로 $6\ \text{N}$를 제공합니다. 부호를 고려한 안쪽 방향의 필요한 마찰력은 $F_f=3\omega^2-6$이며, 이때 $|F_f|\leq3$입니다. 결국 $1\leq\omega^2\leq3$가 됩니다. 하한에서는 안쪽 합성력을 줄이기 위해 마찰력이 바깥쪽으로 작용하고, 상한에서는 안쪽으로 작용합니다. 순 반경 방향 힘이 안쪽임에도 불구하고 마찰력이라는 실제 힘은 바깥쪽으로 작용할 수 있습니다.

원추 진자에는 두 가지 유용한 방향이 있습니다

원추 진자는 길이 $L$인 가벼운 비신축성 줄이 수직과 $\theta$의 각도를 이루고 있습니다. 궤도 반지름은 $r=L\sin\theta$이며, $L$가 아닙니다. 질량은 한 높이에서 유지됩니다. 장력을 분해합니다: $T\cos\theta=mg$ 및 $T\sin\theta=mr\omega^2$. 0이 아닌 궤도에 대해 대입하면 $\omega^2=g/(L\cos\theta)$을 얻습니다. 장력은 수직 성분과 안쪽 성분을 모두 가집니다.

속도를 구하기 전에 궤도를 먼저 구하세요

$L=2.5\ \text{m}$, $m=0.4\ \text{kg}$, $\cos\theta=4/5$, $\sin\theta=3/5$ 및 $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$라고 합시다. 그러면 $r=1.5\ \text{m}$와 $T=mg/\cos\theta=5\ \text{N}$입니다. 이제 $\omega^2=10/[2.5(4/5)]=5$이므로, $v=1.5\sqrt5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이고 주기는 $2\pi/\sqrt5\ \text{s}$입니다. 줄의 길이를 궤도 반지름으로 사용하면 잘못된 속도가 나옵니다.

두 번째 입자가 장력을 고정할 수 있습니다

총 길이 $9a$의 줄이 고정된 매끄러운 고리 $R$을 통과합니다. 질량 $2m$인 입자 $A$가 아래에 매달려 있습니다. 질량 $m$인 입자 $B$가 중심이 $A$인 수평 원운동을 합니다. $RB=L$이라고 하고, $RB$이 수직과 $\theta$의 각도를 이룬다고 합시다. For $A$, $T=2mg$. For $B$, $T\cos\theta=mg$, so $\cos\theta=1/2$. Geometry gives $RA=L\cos\theta=L/2$ and $RA+RB=9a$, so $L=6a$. Then $\omega^2=g/(L\cos\theta)=g/(3a)$.

그릇의 반지름은 궤도 반지름이 아닙니다

반지름 $a$인 구면형 그릇의 매끄러운 내부 표면 위에서, 법선이 위쪽 수직과 $\theta$의 각도를 이룹니다. 궤도 반지름은 $a\sin\theta$입니다. 수직 및 안쪽 방정식은 각각 $N\cos\theta=mg$과 $N\sin\theta=m(a\sin\theta)\omega^2$입니다. 따라서 $\omega^2=g/(a\cos\theta)$입니다. $\cos\theta$이 $4/5$에서 $5/13$로 변할 때, 각속도 비는 $\omega_1/\omega_2=\sqrt{(5/13)/(4/5)}=5/(2\sqrt{13})$입니다. 제곱 속도를 먼저 비교한 후 제곱근을 취하십시오.

원추에는 자체적인 기하학이 필요합니다

매끄러운 빈 원추의 꼭지점이 아래를 향하고 있으며, 반수직각이 $\alpha$입니다. 꼭지점 위 높이 $h$에서의 궤도 반지름은 $r=h\tan\alpha$입니다. 법선은 위쪽과 안쪽을 향하며, 수평면 위 $\alpha$의 각도를 이룹니다. 중력과 접촉력만 있을 때, $N\sin\alpha=mg$과 $N\cos\alpha=mr\omega^2$입니다. 이들은 $\omega^2=g\cot^2\alpha/h$을 줍니다. 원추의 반지름은 높이에 의해 결정되므로, 그릇의 반지름 공식에서 빌려오지 마십시오.

원추 꼭지점을 통해 줄을 추가하세요

이제 질량 $m$인 입자를 매끄러운 구멍을 통해 꼭지점 아래에 매달린 다른 질량 $m$에 연결합니다. 줄이 경사면을 따라 꼭지점으로 당깁니다. $\tan\alpha=4/3$이라고 하면, $\sin\alpha=4/5$, $\cos\alpha=3/5$ 및 $r=4h/3$입니다. The hanging mass gives $T=mg$. Then $N(4/5)=mg+T(3/5)$ gives $N=2mg$. Radially, $N(3/5)+T(4/5)=mr\omega^2$, hence $\omega^2=3g/(2h)$. The string's downward component increases the reaction.

수직 원운동에서 높이를 측정하세요

반지름 $r$인 수직 원운동에서, 아래쪽 수직으로부터 각도 $\theta$을 취하고 하단부로부터 높이를 측정합니다. 원의 오른쪽 지점에서, $x=r\sin\theta$이고 높이는 $h=r(1-\cos\theta)$입니다. 바닥에서는 $\theta=0$과 $h=0$; 측면에서는 $\theta=\pi/2$과 $h=r$; 위쪽에서는 $\theta=\pi$과 $h=2r$입니다. 에너지 방정식을 쓰기 전에 각도의 기준 방향을 표시하십시오.

각 높이에서의 속도에 대한 에너지

무거울 수 없는 얇은 줄이나 고정된 매끄러운 원형 면에서 항력(구속력)은 속도 방향과 수직이므로 일을 하지 않는다. 마찰이 없으면 에너지 보존에 의해 $\tfrac12mu^2=\tfrac12mv^2+mgr(1-\cos\theta)$가 성립하며, 여기서 $u$는 하단에서의 속도이다. 따라서 $v^2=u^2-2gr(1-\cos\theta)$가 된다. 이 공식은 입자가 원을 따를 때만 적용된다. 이는 장력을 구하는 것이 아니라 속도를 구하는 식이며, $v^2\geq0$만으로 원형 경로가 가능함을 증명할 수는 없다.

중력과 장력의 안쪽 성분 취하기

중심으로 당기는 줄에 대해 안쪽 방향의 방정식은 $T-mg\cos\theta=mv^2/r$이다. 하단에서는 중력이 바깥쪽으로 작용하고, 상단에서는 안쪽으로 작용한다. 부호의 변화는 이미 $\cos\theta$에 포함되어 있다. 에너지와 결합하면 $T/m=u^2/r-2g+3g\cos\theta$이 된다. 하단에서는 $T=mu^2/r+mg$, 상단에서는 $T=m(u^2/r-5g)$이다. 이러한 장력은 두 높이에서의 다른 속도를 사용한다.

주어진 하단 속도에서의 일

$u^2=6gr$라고 가정하자. $\cos\theta=1/2$ 지점에서 에너지는 $v^2=5gr$을 주며, 안쪽 방향의 방정식은 $T=5mg+mg/2=11mg/2$을 준다. 하단에서의 장력은 $7mg$, 상단에서는 $mg$이다. 입자는 하단에서 가장 빠르게 움직이며 가장 큰 장력이 필요하다. 중간 지점에서는 중력 또한 속도를 변화시키므로, 전체 가에는 접선 성분이 포함된다.

완전한 루프를 위해서는 가능한 상단 힘 필요

A string can pull, not push: a taut string needs $T\geq0$. The top has the least tension. There $T+mg=mv_{\rm top}^2/r$, so $v_{\rm top}^2\geq gr$. Energy then gives the complete-loop condition $u^2\geq5gr$. 등가는 최하단 완전 루프 조건이며, 상단에서 장력이 0입니다. 에너지만으로 상단 높이에만 도달하려면 $u^2\geq4gr$이 필요하지만, 이는 더 약한 조건으로 상단 전에도 계산된 장력이 음수가 될 수 있으며, 이때 줄은 이미 헐거워져 slack 상태가 됩니다.

하단이 아닌 지점에서 시작

시작 반지름이 위쪽 수직축과 이루는 각도가 $\phi$라면, 하단으로부터의 높이는 $r(1+\cos\phi)$이다. 상단까지 오르는 거리는 $r(1-\cos\phi)$이다. 완전한 루프를 위해서는 $v^2\geq gr+2gr(1-\cos\phi)=gr(3-2\cos\phi)$가 필요하다. $\cos\phi=1/4$ 지점에서 최소 시작 제곱 속도는 $5gr/2$이다. 등호일 때 하단의 제곱 속도는 $5gr$이며, 최대 장력은 $6mg$이다.

두 가지 에너지 상태를 이용한 장력 비율 활용

In a complete loop, bottom tension exceeds top tension by $6mg$. If their ratio is $9:1$, write $T_{\rm bottom}=9T_{\rm top}$. Then $T_{\rm top}=3mg/4$, so $v_{\rm top}^2=7gr/4$ and bottom squared speed is $23gr/4$. 아래쪽 수직축으로부터 각도 $\theta$에서의 속도가 $\sqrt{4gr}$이라면, 에너지는 $4gr=23gr/4-2gr+2gr\cos\theta$을 준다. 따라서 $\cos\theta=1/8$이다. 상단과 하단의 속도가 같다면 에너지 보존 법칙에 위배된다.

전환점(turning point)과 느슨해지는 점(slack point)은 다르다

하단의 제곱 속도가 $gr$이라면, 방정식 $v=0$로부터 $\cos\theta=1/2$를 얻습니다: 입자는 $60^\circ$에서 다시 돌아서며, 이때 장력은 $mg/2>0$입니다. 수평 높이에 도달하지 못합니다. 바닥의 제곱 속도가 $3gr$인 경우, 방정식 $T=0$은 대신하여 $\cos\theta=-1/3$을 주며, 이는 $109.5^\circ$에 관해 설명합니다. 여기서 $v^2=gr/3>0$: 입자가 여전히 움직일 때 줄이 헐거워집니다. 이 지점 이상으로는 줄의 원운동 방정식을 더 이상 사용하지 마십시오.

안쪽 표면은 안쪽으로만 밀어낼 수 있다

구형 껍질의 매끄러운 안쪽 표면에서 정반응력 또는 수직 접촉력 $N$는 구의 중심을 향합니다. 이 반경 방향 방정식은 $N-mg\cos\theta=mv^2/r$이며, $\theta$은 아래쪽 수직선으로부터 측정됩니다. The same energy and complete-loop results apply, replacing $T$ by $N$. Require $N\geq0$; a negative answer means the surface would have to pull. For loss of contact, test the boundary $N=0$: the particle leaves if continuing the circle would require $N<0$. A limiting complete loop can have $N=0$ at the top without separating.

반응 비율은 가장자리를 위치할 수 있다

입자가 매끄러운 안쪽 껍질의 측면에서 아래쪽 수직 방향으로 제곱 속도 $u^2=2gr$로 시작합니다. 가장자리가 중심 위 높이 $kr$에 있습니다. 시작 시, $N_A=mu^2/r=2mg$; 가장자리에서는 에너지에 의해 $v_B^2=(2-2k)gr$이 됩니다. 그곳에서의 안쪽 중력 성분은 $mgk$이므로, $N_B/m=v_B^2/r-gk=(2-3k)g$입니다. $N_B=N_A/4$인 경우, $k=1/2$입니다. 이 가장자리까지 접촉을 유지하려면 에너지 테스트 $u^2\geq gr$뿐만 아니라 $u^2\geq3gr/2$도 필요합니다.

바깥쪽 표면은 반대 방향의 수직력을 가진다

입자가 매끄럽게 고정된 구의 상단에서 접선 제곱 속도 $gr/2$로 시작합니다. 위쪽 수직선으로부터의 각도를 $\phi$이라 합시다. 에너지에 의해 $v^2=gr/2+2gr(1-\cos\phi)$이 됩니다. 바깥쪽에서는 수직력이 바깥으로 향합니다. 안쪽 방향 방정식은 $mg\cos\phi-N=mv^2/r$이며, 이를 통해 $N=mg(3\cos\phi-5/2)$을 얻습니다. $\cos\phi=5/6$에서 접촉을 잃으며, 이때 $v^2=5gr/6>0$입니다. 안쪽 표면의 부호를 그대로 복사하지 마십시오.

방출은 접선 속도를 제공한 후 곡선 경로로 이어진다

방출 시 위치와 속도는 연속성을 유지합니다. 초기 자유 비행 속도는 원에 접선합니다. 중력이 여전히 작용하므로 이후 경로는 직선 접선이 아닌 포물선 사포사슬입니다. 바닥 제곱 속도 $3gr$에서 $\cos\theta=-1/3$로 헐거워지는 줄에 대해, 중심 $O$을 원점으로 잡으십시오. 방출 시, $(x,y)=(2\sqrt2r/3,r/3)$이며 속도는 $\sqrt{gr/3}$입니다. 오른쪽 면을 따라 상승하는 동안 속도 성분은 $(-v/3,2\sqrt2v/3)$입니다.

원운동을 테두리 위 비행과 연결하기

중심 위 높이 $r/2$에서 안쪽 껍질을 자릅니다. 같은 높이의 오른쪽 가장자리에서 왼쪽 가장자리로 비행하려면 방출 시 속도를 $v$이라 합시다. 수평 간격은 $\sqrt3r$이며, 속도 성분은 $(-v/2,\sqrt3v/2)$입니다. The non-zero return time is $t=\sqrt3v/g$. Horizontal motion gives $\sqrt3r=(v/2)t$, so $v^2=2gr$. If the launch began at the side at centre height, energy gives side squared speed $u^2=3gr$. The rim reaction just before exit is $3mg/2>0$: the surface ends before contact is lost.

근을 수용하기 전에 모델을 확인하시오

힘을 그리고 궤도 반지름을 식별하십시오. 일정한 수평 운동을 위해 수직 및 안쪽 방향으로 분해하십시오. 수직 운동을 위해 높이에 기반한 에너지를 한 개의 안쪽 힘 방정식과 결합하십시오. $v^2\geq0$과 경로 전체의 장력이나 반응력의 부호를 확인하십시오. 먼저 일어나는 사건을 명시하십시오: 전향점, 헐거운 줄, 접촉 상실, 또는 표면의 끝. 그런 다음 다음 모델을 사용하십시오. 충돌은 충격을 통해 운동을 변경합니다; 별도의 충돌 논증 없이 충돌을 통해 무손실 원 운동 에너지 방정식을 그대로 가져가지 마십시오.

방향과 구속 조건을 함께 유지하시오

$v=r\omega$은 속도와 각속도를 연결하며, $a_r=v^2/r$은 가속도의 안쪽 성분입니다. 안쪽 합력은 실제 힘에서 기인합니다. 수평 경로만으로는 등속 운동을 보장하지 않습니다. 손실이 없는 수직 루프의 가벼운 비신축성 줄에서는 하단에서의 제곱된 속도가 최소 $5gr$이어야 합니다. 장력이 0이거나 반작용력이 0인 경계에서 제약 조건이 계속 유지되는지 확인해야 합니다. 방출될 경우 초기 속도는 접선 방향이며, 이후 비행은 중력에 의해 결정됩니다.

점프를 위한 모델이 필요한 이유

번지 로프는 신장됨에 따라 에너지를 저장합니다. 점프 중 당김 힘이 변하므로 등가속도 공식은 일반적으로 적합하지 않습니다. Hooke's law models force proportional to extension within a stated range. Real ropes need not follow it over a whole jump. Here use ideal light elastic strings and springs with no energy loss unless stated.

자연 길이로부터 신도를 측정하기

자연 길이 $L$은 무하중 상태의 길이입니다. 실제 길이가 $\ell$일 때, 신도는 $x=\ell-L$이지 $\ell$이 아닙니다. 당겨진 탄성 줄에는 장력 $T=kx$이 작용합니다. 탄성 계수 $\lambda$을 사용하여 $k=\lambda/L$를 세우고, 따라서 $T=\lambda x/L$이 됩니다. 스프링의 부호 있는 복원력은 자연 길이로부터의 변위와 반대 방향으로 작용합니다.

탄성 계수와 강성은 서로 다른 단위를 가집니다

강성 $k$은 $\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$로 측정되며, 이 줄 모델의 $\lambda$은 뉴턴으로 측정됩니다. 재료 및 단면적 효과를 포함하며, 단위가 파스칼인 영 계수가 아닙니다. 균일한 줄을 두 개의 동일한 조각으로 자르면 각 조각은 같은 $\lambda$을 가지지만 자연 길이는 절반이므로 각 조각의 강성은 두 배가 됩니다. 이 way로 $L$을 변경할 때 $k$을 고정하지 마십시오.

줄과 스프링은 다른 영역을 가집니다

줄은 당겨진(taut) 상태일 때만 당깁니다. $\ell\leq L$에서는 헐거워 slack하여: $T=0$와 그에 저장된 탄성 에너지는 0입니다. $\ell-L$의 음수 값은 줄의 음수 장력을 의미하지 않습니다. An ideal spring can pull in extension and push in compression. Its signed $x$ may be negative, while the force magnitude is $k|x|$. Continue to use the spring law only within the stated model range.

그래프 아래 면적을 저장하기

자연 길이에서 천천히 늘리면 힘–늘어남 그래프 아랫면적(삼각형)만큼의 일을 하게 됩니다. 저장된 탄성 포텐셜 에너지 elastic potential energy는 다음과 같습니다.

스프링의 경우 압축에서도 동일하게 적용됩니다. 줄의 경우에는 오직 $x\geq0$일 때만 사용하십시오. 헐거워진 영역은 에너지가 0입니다. 신도를 두 배로 하면 장력도 두 배가 되지만 에너지는 네 배가 됩니다. 에너지 공식의 증명은 필수 사항이 아닙니다.

같은 줄에 힘과 에너지를 사용하기

줄은 $L=2\ \text{m}$, $\lambda=50\ \text{N}$ 및 신도 $0.5\ \text{m}$을 가집니다. 실제 길이는 $2.5\ \text{m}$입니다. 먼저 $T=\lambda x/L$을 사용하여 $T=50(0.5)/2=12.5\ \text{N}$을 구하십시오. 저장된 에너지를 사용할 때는 $E_e=\lambda x^2/(2L)$을 사용하여 $E_e=50(0.5)^2/4=3.125\ \text{J}$을 구하십시오. 힘과 에너지는 서로 다른 단위를 가지므로 실제 길이를 신도로 대입하지 마십시오.

측정값으로부터 자연 길이를 추론하기

끈의 길이가 $1.3\ \text{m}$일 때 장력이 $6\ \text{N}$이고, 길이가 $1.5\ \text{m}$일 때 장력이 $10\ \text{N}$입니다. $T=k(\ell-L)$이므로 기울기는 $k=(10-6)/(1.5-1.3)=20\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$입니다. 그러면 $L=\ell-T/k=1.3-6/20=1\ \text{m}$과 $\lambda=kL=20\ \text{N}$입니다. 다른 측정값을 확인해 봅시다: $20(1.5-1)=10\ \text{N}$입니다. 직선의 수평 절편은 영길이(자연 길이)를 나타내며, 이는 영길이(길이가 0)가 아닙니다.

매달린 평형점 찾기

질량 $m$이 위쪽에 붙어 있는 수직 끈에 정지해 매달려 있습니다. 평형 조건은 $T=mg$이므로, 이 질량의 평형 신도는 $e=mg/k=mgL/\lambda$입니다. 질량 $0.6\ \text{kg}$이 $k=30\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$의 신도를 가질 때, $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$일 때 장력은 $e=0.2\ \text{m}$입니다. 만약 질량이 그 위치를 지나고 있다면, 가속도가 일시적으로 제로이지만 속도는 반드시 제로일 필요는 없습니다.

자연 길이에서의 방아는 천천히 하중을 가하는 것이 아닙니다

질량을 자연 길이에서 아래쪽 끝부분에 부착하고 저항 없이 정지 상태에서 방출합니다. 아래쪽 신도 $x$ 이후 에너지는 $mgx=\tfrac12mv^2+\tfrac12kx^2$을 줍니다. 최대 신장 $v=0$일 때, 0이 아닌 근은 $x=2mg/k=2e$입니다. 최대 속도는 더 일찍 $x=e$에서 발생하며, 이 지점에서 $mg-kx=0$이고 $v_{\max}^2=g^2m/k$입니다. 대신 느리게 하중을 가하면 $e$에서 멈추고 시스템에서 에너지를 제거합니다.

수평 스프링은 자연 길이를 통과할 수 있습니다

매끄러운 수평선 위에 있는 입자 $2\ \text{kg}$이 $k=50\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$의 스프링에 연결되어 있습니다. 신도 $0.4\ \text{m}$에서 정지 상태로 방출하면, 초기 에너지는 $\tfrac12k(0.4)^2=4\ \text{J}$입니다. 자연 길이에서 에너지는 모두 운동 에너지입니다: $\tfrac12mv^2=4$, 따라서 $v=2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$입니다. 입자는 압축 영역으로 계속 이동하여 다른 물리적 제약이 개입하지 않는 한 처음 정지하는 지점은 $x=-0.4\ \text{m}$입니다.

수평 끈은 자연 길이에서 모델이 변경됩니다

그 스프링을 동일한 $k$과 초기 신도를 가진 탄성 끈으로 교체합니다. 자연 길이에서의 속도는 동일하지만, 그 점 beyond에서는 장력과 탄성 에너지가 없습니다. 매끄러운 수평 면 위에서 입자는 다른 제약이 작용할 때까지 등속도로 이동합니다. 스프링과 같은 압축 및 반전을 예측하지 마십시오. 앵커를 넘어 입자를 추적하기 전에 기하학적 구조를 명시하십시오.

압축된 수직 스프링을 방아

A spring has lower end fixed, natural length $a$, and $\lambda=10mg$. A mass $m$ is attached to its top and released from rest with compression $a/2$. Let $x$ be signed extension upwards. Relative to natural length, total potential energy is $U=5mgx^2/a+mgx$. 초기에는 $x=-a/2$이고 $U=3mga/4$입니다. 다음 정지 지점에서 $z=x/a$을 대입하면: $5z^2+z=3/4$입니다. 근은 $-1/2$와 $3/10$입니다. 첫 번째 근은 초기 상태이며, 최대 신도는 $3a/10$입니다.

최대 속도는 회귀 점이 아닙니다

In that spring example, $-kx-mg=0$ at $x=-a/10$. Potential energy there is $-mga/20$, so the maximum kinetic energy is $3mga/4+mga/20=4mga/5$. 따라서 $v_{\max}^2=8ag/5$이다. 최대 신장 $3a/10$ 지점에서 질량은 순간 정지하지만 가속도는 $-4g$로 아래쪽을 향한다. 전환점에는 $v=0$가 존재하며, 합력이 반드시 0이어야 하는 것은 아니다.

에너지 계산 전에 양 끝 상태 기록하기

높이 기준점을 하나 선택하십시오. 초기 및 최종 위치에서 운동 에너지, 중력 포텐셜 에너지 $mgh$, 그리고 작용하는 모든 탄성 에너지를 적으십시오. 저항이 없으면 총에너지는 보존되며, 마찰이 있을 경우 마찰의 음의 일을 포함해야 합니다. 실제 길이를 사용하여 각 신장을 독립적으로 구한다. 자연 길이 이하인 줄은 에너지를 기여하지 않으며, $\lambda(\ell-L)^2/(2L)$도 아니다. 경로가 느슨한 경계를 Crossing할 경우, 각 구간마다 올바른 힘 법칙을 사용한다.

신장 전 자유 낙하가 있을 수 있다

A mass $m$ is released from rest at its anchor, on a vertical string with natural length $a$ and $\lambda=4mg$. It first falls freely through $a$; the string then begins stretching. At later extension $x$, energy gives $mg(a+x)=\tfrac12mv^2+2mgx^2/a$. 가장 낮은 지점에서 신장 $z=x/a$이라 합시다. 그러면 힘의 균형 조건이 성립하므로 $2z^2-z-1=0$; 따라서 $z=1$; 음의 근은 신장 영역 밖입니다. 총 낙하 거리는 $2a$입니다. 최대 속도는 $x=a/4$에서 발생하며, 이는 $v_{\max}^2=9ag/4$을 의미합니다.

질량을 제거하면 평형점이 바뀐다

A vertical string has natural length $a$ and $\lambda=4mg$. Masses $m$ and $3m$ first hang at equilibrium, so the extension is $a$. Remove $3m$ without an impulse. The remaining mass starts at rest at length $2a$. 신장된 분지에서 $z=x/a$를 두고 높이의 0을 자연 길이에 두자. 에너지는 $\tfrac12mv^2+mga(2z^2-z)=mga$가 된다. $v^2=ag$가 되는 첫 번째 위치를 구하려면 $2z^2-z=1/2$를 풀어야 한다. 유효근은 $\ell=(5+\sqrt5)a/4$를 주며, 다른 근은 음의 신장을 갖는다.

기각된 근은 느슨한 비행 단계를 묘사하지 않는다

해당 예제의 자연 길이 지점에서 $v^2=2ag$가 위쪽이다. 그 이후 줄은 느슨해지며, 다음 사건까지 중력만 작용한다. 긴 줄의 이차방정식은 이 단계를 설명할 수 없다. 추가 거리 $s$를 이동한 후, $v^2=2ag-2gs$을 사용하십시오. 이후 위치의 $v^2=ag$는 $s=a/2$이므로 길이는 $a/2$입니다. 기존 공식의 음의 신장 근은 압축 탄성 에너지를 임의로 생성하므로 다른 값을 줍니다.

경사면을 따라 성분을 분리하다

질량 $m$가 수평면과 $\beta$의 각도를 이루는 매끄러운 경사면에 rests하고, 경사면 상향으로 고정점으로부터 줄에 의해 연결된다. 수직 반력은 $mg\cos\beta$; 경사면 하향 중력 성분은 $mg\sin\beta$이다. 평형 상태에서는 $kx=mg\sin\beta$가 필요합니다. $m=1\ \text{kg}$, $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, $\sin\beta=3/5$ 및 $k=20\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$가 있을 때, $x=0.3\ \text{m}$입니다. 마찰력이 존재할 경우 실제 방향과 함께 포함해야 합니다.

고정점을 넘어가는 줄을 따르다

Use that smooth plane and particle with natural length $1\ \text{m}$. Release from rest $1.5\ \text{m}$ above the anchor. Initially the string pulls downslope; it then goes slack around the anchor and becomes taut again below it. Maximum speed is below the anchor at extension $0.3\ \text{m}$, where tension balances the $6\ \text{N}$ downslope weight. 그 지점까지의 총 이동 거리는 $1.5+1+0.3=2.8\ \text{m}$이다. 일-에너지 정리에 의해 $\tfrac12mv^2=\tfrac12k(0.5)^2+mg\sin\beta(2.8)-\tfrac12k(0.3)^2=18.4\ \text{J}$가 된다. 따라서 $v_{\max}^2=36.8\ \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$이다. 이 지점 이전에는 경사선 방향 합성력이 양수이다.

마찰은 기계적 에너지를 소모한다

같은 경사면에서 $\mu=1/4$라고 하고, 고정점 아래 자연 길이 지점에서 입자를 정지 상태에서 방출합니다. 첫 번째 하강 운동 중 수직 반력(법선 힘)은 $8\ \text{N}$이고 마찰력은 경사면 위쪽 방향으로 $2\ \text{N}$입니다. 탄성 force 전까지의 순 구동력은 $6-2=4\ \text{N}$입니다. 일-에너지 정리에 의해 $\tfrac12mv^2=4x-10x^2$가 됩니다. 첫 최대 신도는 $0.4\ \text{m}$이며, 최대 속도는 $x=0.2\ \text{m}$ 지점에서 발생하며 이때 $v_{\max}^2=0.8\ \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$입니다. 다시 올라가는 여정에서도 마찰력의 방향을 재확인하십시오; 이 식은 첫 하강 구간을 설명합니다.

두 개의 반대 방향 줄은 각각 신도가 필요합니다

Fix anchors $6\ \text{m}$ apart on a smooth horizontal line. Both strings have natural length $2\ \text{m}$; the left has $\lambda=20\ \text{N}$ and the right $40\ \text{N}$. At coordinate $q$ from the left, both are taut only when $2<q<4$. 균형 조건 $10(q-2)=20(4-q)$을 설정하여 평형 위치 $q=10/3\ \text{m}$을 구합니다. 총 탄성 에너지는 $U=5(q-2)^2+10(4-q)^2$입니다. 질량 $2\ \text{kg}$의 물체를 $q=3\ \text{m}$ 지점에서 방출하면 $U=15\ \text{J}$의 에너지를 가지며, 평형 위치 $U=40/3\ \text{J}$에서는 $v_{\max}^2=5/3\ \dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$가 됩니다. 다른 변위 지점은 $q=11/3\ \text{m}$이며, 여전히 같은 구간 내에 있습니다.

직렬 연결 줄은 공통된 장력을 가집니다

직렬로 연결된 두 줄과 가벼운 무하중 연결점이 있을 때, 각 줄의 장력은 같고 신도는 합해집니다. 각 줄에 대해 $x_i=T/k_i$를 적용합니다. 등가 강성 계수는 $1/k_{\rm eq}=1/k_1+1/k_2$을 만족합니다. 자연 길이 $1,2\ \text{m}$와 강성 계수 $20,30\ \text{N}$를 통해 신도 $k_1=20$와 $k_2=15\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$를 얻습니다. 장력 $6\ \text{N}$가 작용할 때 각 줄의 신도는 $0.3,0.4\ \text{m}$입니다. 총 신도는 $0.7\ \text{m}$이며, 저장된 에너지는 $\tfrac12T(x_1+x_2)=2.1\ \text{J}$입니다.

병렬 스프링은 동일한 신도를 공유합니다

병렬로 연결된 두 스프링이 같은 움직이는 지지대와 고정을 지지대 사이에 있을 때, 자연 길이와 기하학적 구조가 일치하면 신도는 동일합니다. 두 스프링의 힘은 합쳐지므로, $T=(k_1+k_2)x$가 되어 $k_{\rm eq}=k_1+k_2$가 됩니다. 신도 $k_1=20$와 장력 $k_2=30\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$이 지점 $x=0.2\ \text{m}$에서 작용할 때, 각 스프링의 힘은 $4$과 $6\ \text{N}$이며, 총 힘은 $10\ \text{N}$, 총 에너지는 $1\ \text{J}$입니다. 동일한 신도를 갖는다고 해서 반드시 동일한 장력을 가져야 하는 것은 아닙니다.

아래쪽 줄은 아래 방향으로 당깁니다

두 수직 고정점 $A$가 지점 $B$ 위에 있으며, 서로 $14a$만큼 떨어져 있습니다. 질량 $\kappa m$인 입자가 자연 길이 $2a$인 줄로 지점 $A$에, 자연 길이 $4a$인 줄로 지점 $B$에 연결되어 있습니다. 두 줄의 강성 계수는 모두 $4mg$입니다. 신도를 $BP=ya$라고 할 때, 위쪽 줄과 아래쪽 줄의 신도는 각각 $(12-y)a$와 $(y-4)a$입니다. 두 줄 모두 $4<y<12$ 범위 내에서 당겨져 있습니다. 장력은 위쪽으로 $2mg(12-y)$, 아래쪽으로 $mg(y-4)$입니다. 평형 조건은 $2(12-y)-(y-4)-\kappa=0$이므로, $y=(28-\kappa)/3$가 됩니다. 같은 방향으로 두 장력을 더하지 마십시오.

두 가지 평형 위치는 질량을 결정할 수 있습니다

입자를 정지 상태에서 지점 $y=12$에서 방출하고, 첫 하방 변위 지점을 $y=4$라고 가정합니다. 중력 포텐셜 에너지의 기준점을 $B$로 잡습니다. 총 포텐셜 에너지를 $mga$으로 나누면 $V=(12-y)^2+\tfrac12(y-4)^2+\kappa y$가 됩니다. 양 끝점에서의 값은 $32+12\kappa=64+4\kappa$이므로, 따라서 $\kappa=4$입니다. 두 지점 사이에서는 모든 신도가 음수가 아닙니다. $\kappa=4$를 대입하면 $V-80=\tfrac32(y-4)(y-12)\leq0$이 되므로, 중간 지점의 운동 에너지가 현실적으로 가능합니다.

두 줄을 사용하여 최대 속도 구하기

신도 $\kappa=4$일 때, 해당 예제의 평형 위치는 $y=8$입니다. 방출 시점의 총 에너지는 $80mga$이며, 지점 $y=8$에서의 포텐셜 에너지는 $(16+8+32)mga=56mga$입니다. 따라서 $\tfrac12(4m)v_{\max}^2=24mga$가 되어, 이를 통해 $v_{\max}^2=12ag$을 구할 수 있습니다. 운동 에너지 계산에는 실제 움직이는 질량 $4m$를 사용하십시오. 강성 계수의 기호 $m$은 단지 기준 질량일 뿐입니다.

탄성 원추 진자 신장

질량 $0.6\ \text{kg}$이 자연 길이 $1.5\ \text{m}$와 계수 $30\ \text{N}$의 끈에 의해 수직과 $\cos\theta=4/5$를 이루며 일정하게 회전한다. $\sin\theta=3/5$라 하고, $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$로 둔다. 수직 평형 조건은 $T\cos\theta=mg$이며, 따라서 $T=7.5\ \text{N}$가 된다. 후크의 법칙에 따라 $x=TL/\lambda=0.375\ \text{m}$이며, 실제 길이는 $\ell=1.875\ \text{m}$이고 궤도 반지름은 $r=\ell\sin\theta=1.125\ \text{m}$이다. 반경 방향 방정식 $T\sin\theta=mr\omega^2$로부터 $\omega^2=20/3\ \dfrac{\text{rad}^2}{\text{s}^2}$를 구할 수 있다. 기하학적 계산에는 신장된 길이를 사용해야 한다.

양의 길이가 항상 가능한 궤도를 의미하지는 않음

비영점 탄성 원추 궤도를 위해 $T=m\ell\omega^2$과 $T=\lambda(\ell-L)/L$이 성립한다. 따라서 $\ell=\lambda L/(\lambda-mL\omega^2)$이다. 분모는 양수여야 하며, 수직 평형 조건에서도 $\ell\cos\theta=g/\omega^2$과 함께 $0<\cos\theta<1$가 만족되어야 한다. $L=1\ \text{m}$, $\lambda=20\ \text{N}$, $m=1\ \text{kg}$ 및 $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$을 취한다. 만약 $\omega^2=5$라면 $\ell=4/3\ \text{m}$이지만 필요한 수직 높이는 $2\ \text{m}$이므로 불가능하다. 반면 $\omega^2=10$라면 $\ell=2\ \text{m}$과 $r=\sqrt3\ \text{m}$가 성립하므로 가능하다. $\omega^2=20$에서는 유한한 길이가 방정식을 만족할 수 없다.

물리적으로 유효한 사건 선택

초기 상태, 자연 길이 경계, 평형 위치 및 후보 전환점을 표시한다. 각 구간에서 작동하는 모델을 명시한다: 긴 끈은 당김 힘을 발생시키고, 느슨한 끈은 힘 없이, 스프링은 압축될 수 있다. Find roots, then check lengths, nonnegative string tensions, nonnegative kinetic energy and the order of events. Maximum speed requires zero tangential resultant within a smooth branch, or comparison with a boundary; instantaneous rest requires $v=0$.

힘, 에너지 및 기하학 연결

먼저 모든 요소에 대해 $x=\ell-L$을 구한다. 후크의 법칙으로 힘을 얻고, $\lambda x^2/(2L)$로 유효한 구간에서의 에너지를 구한다. 힘을 더하기 전에 방향을 분해하고, 에너지 계산 내내 하나의 높이 기준점을 유지한다. 원래 데이터를 사용하여 단일 요소 및 연결 시스템 모두를 연습하라. 원운동에서는 궤도 기하학 이전에 신장을 통해 실제 길이를 결정한다. 최종 답안은 해당 구간과 단위로 반드시 검증해야 한다.

빠른 물체가 다른 방식으로 감속하는 이유

자전거는 일반적으로 빠를수록 공기 저항을 더 크게 느낀다. 항력은 속도에 의존할 수 있다. 다른 힘은 위치나 시간에 의존할 수 있으며, 이들은 서로 다른 모델이다. 변수 힘은 변하는 가속도를 생성할 수 있다. 뉴턴의 법칙으로부터 시작하여 운동에 대한 미분방정식을 세우고, 일정한 가속도 공식이 적용되지 않을 수도 있음을 유의한다.

먼저 양의 방향을 선정하라

변위 $x$를 오른쪽을 양의 방향으로 취하고 속도 $v=dx/dt$을 기입하십시오. 이는 음수가 될 수 있습니다. 속력은 $|v|$이므로, 음의 속도가 음의 속력을 의미하지는 않습니다. 입자에 작용하는 부호 있는 힘들을 더한다: $m\,dv/dt=\sum F$. 오른쪽으로 움직일 때 저항은 음수이다. 방향이 바뀐 후에도 일반적인 저항 역시 반대 방향으로 바뀌며, 고정점을 향하는 지정된 힘은 자체적인 방향 규칙을 따른다.

연쇄 법칙을 이용해 변수 변경

운동의 한 구간에서 속도를 위치의 함수로 표현할 경우, 연쇄 법칙에 의해

This is useful for finding $v$ at a position without first finding time. At a turning point $v(x)$ may have a vertical tangent; do not assume $a=0$ merely because $v=0$. Use the original force law there.

요청된 답에 대한 변수 선택

시간에 의존하는 힘의 경우, $m\,dv/dt=F(t)$가Often gives $v(t)$ directly. For a position-dependent force, $mv\,dv/dx=F(x)$ often gives $v(x)$ directly. 힘이 속도에 의존할 때, 두 형식 모두 도움이 될 수 있습니다: 시간 질문에는 $dv/dt$을, 거리 질문에는 $v\,dv/dx$을 사용하십시오. 이는 동일한 뉴턴 방정식에 대한 변수 선택이지 서로 다른 법칙이 아닙니다.

명시된 조건을 각각 사용하십시오

분리 가능한 미분방정식은 양변에 하나의 변수와 그 미분만이 포함되도록 재배열할 수 있습니다. 변수를 분리하고, 적분하여 상수를 포함한 후, 초기 조건을 사용하여 이를 결정하십시오. 특정 위치에서의 조건은 일반적으로 경계 조건이라고 합니다. 여기에서는 분리 가능한 방정식과 Pure Mathematics 3 미적분만 사용하십시오. 소거된 값이 있는지 확인하십시오: 0이 될 수 있는 인자에 의한 나눈은 상수 해를 제거할 수 있습니다.

시간에 의존하는 힘은 속도를 반전시킬 수 있다

A $2\ \text{kg}$ particle has resultant force $6t\ \text{N}$ to the right. At $t=0$, $v=-1\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ and $x=0$. Newton's law gives $2\,dv/dt=6t$, so $v=\tfrac32t^2+C$; the initial velocity gives $C=-1$. 이제 $dx/dt=-1+\tfrac32t^2$를 적분하십시오. 초기 위치는 $x=-t+\tfrac12t^3$을 줍니다. 두 번의 적분과 두 번의 초기 조건이 있습니다. 입자는 초기에 왼쪽으로 움직이지만, $t>0$에 대해서는 가속도가 오른쪽입니다.

변위는 전환 구간에서 거리와 다릅니다

그 예에서, $v=0$는 먼저 $t_* =\sqrt{2/3}\ \text{s}$에서 시작합니다. 그 위치는 $x_*=-2t_*/3\ \text{m}$입니다. $t=2\ \text{s}$에서, 변위는 $x=2\ \text{m}$입니다. 총 이동 거리는 왼쪽 이동 거리 $-x_*$와 오른쪽 이동 거리 $2-x_*$의 합입니다. 따라서 거리는 $2+4\sqrt{2/3}/3\ \text{m}$로, 변위보다 큽니다. 부호 있는 속도를 적분하면 변위가 되지만, 이동 거리를 구하기 위해서는 각 방향 전환 지점에서 나누어 계산해야 합니다.

위치에 의존하는 힘은 일과 속력을 연결한다

$F=mv\,dv/dx$로 분리하면 $mv\,dv=F(x)\,dx$을 얻습니다. 두 가지 알려진 상태 사이를 적분하면 다음이 됩니다

힘-위치 그래프 아래 signed 면적은 일이다. 이는 합성력에 의한 운동 에너지의 변화량과 같다. 이 관계는 제곱 속도를 결정하며, 운동 방향을 사용하여 속도 부호를 선택해야 한다.

다항식 힘에 대한 문제 해결

A particle of mass $8\ \text{kg}$ starts at $x=0$ with $v=1\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. For its outward motion the force is $(x^3+4x)\ \text{N}$. Newton's law gives $8v\,dv/dx=x^3+4x$. 분리하고 적분하면: $4v^2=x^4/4+2x^2+C$이다. 초기 조건은 $C=4$이므로, $v^2=x^4/16+x^2/2+1=(x^2/4+1)^2$가 된다. 외향 속도는 $v=x^2/4+1$이며, 음의 제곱근은 다른 방향을 설명할 것이다.

두 번째 분리는 시간 상에서의 위치를 결정할 수 있다

그 외향적 가지에 대해 $dx/dt=1+x^2/4$을 $dt=4\,dx/(x^2+4)$로 분리하고 적분하면: $t=2\tan^{-1}(x/2)+C$. 초기 위치는 $C=0$를 제공한다. 따라서 가지 $0\leq t<\pi$에서 $x=2\tan(t/2)$이 된다. 수학 모델은 아래쪽에서 $t\to\pi$으로 갈 때 무한대까지 위치가 증가함을 예측한다. 주기적 탄젠트 공식이 그 경계를 넘어서도 유효하다고 가정하거나, 실제 시스템이 힘 모델을 indefinitely(영원히) 유지한다고 생각하지 마라.

전이 근은 위치 공식을 제한한다

$1\ \text{kg}$ 입자가 위치 $x=0$에서 속도 $2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$으로 시작하며, 힘 $-x\ \text{N}$ 하에 있다. 뉴턴의 법칙은 $v\,dv/dx=-x$을 주므로, 초기 상태로부터 $v^2=4-x^2$이 도출된다. It first stops at $x=2\ \text{m}$, where acceleration is $-2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$, so it turns back. Use $v=+\sqrt{4-x^2}$ before that turn and $v=-\sqrt{4-x^2}$ immediately afterwards. The region $|x|>2\ \text{m}$ would require negative squared speed and is inaccessible at this energy.

선형 저항은 지수 함수적 속도를 산출한다

$2\ \text{kg}$ 입자가 초기 속도 $3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$으로 수평으로 움직이며, $v>0$ 동안 크기가 $4v\ \text{N}$인 저항에 맞서 움직입니다. 뉴턴의 법칙에 따라 $2\,dv/dt=-4v$이 되므로 $dv/v=-2\,dt$입니다. 적분하면 $\ln v=-2t+C$이 나온다. 초기 값은 $v=3e^{-2t}$을 준다. 이는 모든 유한한 $t\geq0$에 대해 양수를 유지하며, 시간이 지남에 따라 0에 수렴한다. 계산기가 반올림하여 0으로 표시하더라도 지수 함수가 0인 것은 아니다.

한계 거리는 유한한 정지점이 아니다

$v=3e^{-2t}$를 $x(0)=0$ 조건하에 적분하면 $x=\tfrac32(1-e^{-2t})$이 나온다. 따라서 입자는 $1.5\ \text{m}$이라는 한계 변위 쪽으로 이동한다. 이 이상적인 모델 하에서는 유한한 시간 내에 그 한계에 도달하지 않는다. 즉, 이동하는 가지에서 $v=3-2x$이지만, $v=0$을 그 관계식에 대입하면 유한한 도착 시간이 아닌 한계값만 얻는다. 정지라고 설명하기 전에 시간 법칙을 확인하라.

이차 저항은 다른 거리 한계를 가집니다

수평 운동이 $dv/dt=-v^2/2$를 만족한다고 가정하자. $v(0)=4$로 분리하면 $-1/v=-t/2+C$이 되므로, $t\geq0$에 대해 $v=4/(1+2t)$이 된다. $x(0)=0$ 조건에서 적분하면 $x=2\ln(1+2t)$이 나온다. 속도는 0에 수렴하지만, 변위는 유한한 상한선을 갖지 않는다. 속도가 감소한다는 것만으로 유한한 총 이동 거리를 의미하지는 않는다.

세차 저항은 또 다른 거듭제곱 법칙을 제공합니다

$dv/dt=-3v^3$ 조건에서 $v(0)=2$이 있다고 가정하자. $v^{-3}\,dv=-3\,dt$으로 분리한다. 적분과 초기 값을 이용하면 $1/v^2=6t+1/4$이 구해진다. 양수 구간을 선택하십시오: $v=2/\sqrt{1+24t}$. $x(0)=0$와 함께 적분하면 $x=(\sqrt{1+24t}-1)/6$이 됩니다. 이 모델과 이차 모델 모두 무한한 거리를 이동하면서 영원히 감속하지만, 감속 속도는 다릅니다.

선형 항력을 받으며 낙하하는 것은 평형점에 수렴한다

아래 방향을 양으로 취한다. 질량 $m$이 중력과 선형 저항 $kv$ 하에서 낙하할 때 $m\,dv/dt=mg-kv$를 따른다. 종단 속도는 $V=mg/k$이며, 이 때 합력은 0이다. $m=2\ \text{kg}$에 대해, $k=4\ \dfrac{\text{N}\,\text{s}}{\text{m}}$ 및 $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$일 때, $V=5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이다. 정지 상태에서 방출되면 분리하여 $v=5(1-e^{-2t})$와 아래로 이동한 거리 $y=5t-\tfrac52(1-e^{-2t})$를 얻는다.

분할하기 전 상수 해를 확인하라

$dv/dt=(k/m)(V-v)$에서 $V-v$로 나누면 $v=V$가 제외된다. 원래 식에서 이를 검증하면, 초기 속도가 해당 값인 경우 유효한 등속 운동 상수 해임을 알 수 있다. 초기 아래 방향 속도가 $V$보다 작으면 $V$로 증가하며, $V$보다 크면 감소하여 그 값에 수렴한다. 종단 속도에서는 입자가 0 가속도로 움직인다. 이는 정지 상태가 아니며, 모델이 유한 시간 내에 한계에 도달하지 않을 수도 있다.

낙하 이차 항등방정식을 분리하십시오

아래 방향 속도 $v\geq0$과 단위 질량당 저항 $gv^2/V^2$을 취한다. 그러면 $dv/dt=g(1-v^2/V^2)$이다. 정지 상태에서 $0\leq v<V$이므로, 분리하여 $dv/(V^2-v^2)=(g/V^2)\,dt$를 얻는다.

부분분수를 사용하여 $v(0)=0$을 적용하면 $\ln[(V+v)/(V-v)]=2gt/V$을 얻는다. 정리하면 $v=V(e^{2gt/V}-1)/(e^{2gt/V}+1)$가 된다. 이 공식은 $V$에 아래쪽에서 접근하므로, 로그의 인자와 초기 분기를 일관되게 유지해야 한다.

위치로부터 낙하 속도를 구할 수도 있다

정지 상태에서 동일한 이차 저항 낙하에 대해, 아래쪽 거리 $y$와 함께 $v\,dv/dy=g(1-v^2/V^2)$을 선택하십시오. 분리 및 초기 상태에 의해 다음이 성립합니다:

$g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$과 $V=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$을 사용하면 이는 $v^2=100(1-e^{-y/5})$이다. 중력에 의한 포텐셜 에너지 손실의 일부만 운동 에너지로 변하는 것이 아니라, 저항이 음의 일을 한다.

위쪽 운동은 중력과 저항을 같이 처리한다

입자를 세로 위로 속력 $u$으로 발사하십시오. 상승 시 양수를 위로 설정하므로 $v>0$입니다. 중력과 저항은 모두 아래쪽으로 작용합니다. 단위 질량당 이차 저항이 $kv^2$인 경우, 방정식은 $dv/dt=-g-kv^2$입니다. 대수를 간단히 하기 위해 $V^2=g/k$을 정의한다. 여기서 $V$은 후속 낙하에 대한 종단 속도이지 가능한 등속 상승 속도는 아니다. 상승 중 $g-kv^2$를 사용하면 저항 방향이 반대로 설정되어 오류가 발생한다.

위치 식으로부터 최대 높이를 구하라

상승 시 $v\,dv/dx=-g-kv^2$을 사용한다. 분리하고 적분 시 발사 상태를 적용한다:

정리하면 상승 중 첫 번째 영점이 되기 전까지 $v^2=(u^2+V^2)e^{-2kx}-V^2$이 된다. $g=10$, $k=1/10$ 및 $u=10$이 일관된 SI 단위로 주어질 때, $V=10$과 $v^2=200e^{-x/5}-100$입니다. 최대 높이는 $H=5\ln2\ \text{m}$이며, 이는 저항 없는 높이 $u^2/(2g)=5\ \text{m}$보다 작습니다.

역접탄을 사용하여 상승 시간을 구하라

$dv/dt=-k(V^2+v^2)$을 분리한다. 적분하면 $\tan^{-1}(v/V)=\tan^{-1}(u/V)-gt/V$이 된다. 이 미적분 계산에서 역접탄에는 라디안을 사용한다. 예시에서 $u=V=10$과 $g=10$일 때, $v=10\tan(\pi/4-t)$이다. 첫 번째 영점은 상승 시간 $t=\pi/4\ \text{s}$을 준다. 최고점에서 이 상승 식 사용을 멈추어야 하며, 하강 중에는 저항 방향이 바뀐다.

최상단 상태까지의 강하에 참여

최상단에서 속도는 연속이며 0이다. 최상단에서 아래 방향 좌표 $y$를 재시작하고, 아래 방향 속도 $w\geq0$을 설정한다. 저항이 이제 위쪽 방향으로 작용하므로 새로운 식은 $dw/dt=g-kw^2$이다. 강하 거리 결과에 $w^2=V^2(1-e^{-2ky})$이 된다. 상승과 강하는 각각 일관된 부호 규범을 가지므로, 변하지 않는 힘 방정식에 음의 상승 속도를 포함하기보다 새로운 초기 상태를 기록해야 한다.

반사 속도와 발사 속도를 비교하다

예시 $u=V=10$, $k=1/10$ 및 $H=5\ln2$에서 입자는 강하 거리 $H$ 후 발사 높이로 돌아온다. 그 아래 방향 제곱 속도는 $w^2=100(1-e^{-H/5})=50$이다. 반사 속도는 $5\sqrt2\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$으로, 발사 속도 $10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$보다 작다. 중력은 양 끝점에서 동일한 포텐셜 에너지를 가지지만, 저항은 두 부분 모두 동안 역학적 에너지를 소모했다.

한 점으로 향하는 힘은 항상 저항은 아니다

입자가 $O$의 오른쪽에 있을 때 가속도가 $-(v^2+9)/3$이라고 가정하자. 이는 입자가 반전하여 왼쪽으로 이동한 후에도 $O$을 향해 지정되어 있다. 따라서 입자는 그 운동을 저항하는 것이 아니라 왼쪽으로 가속한다. $x(0)=0$과 $v(0)=3$이 있을 때 분리하면 $\tan^{-1}(v/3)=\pi/4-t$이 되므로 $v=3\tan(\pi/4-t)$이다. 입자는 먼저 $t=\pi/4$에서 멈춘다. 이 시간 이후의 음의 속도는 $O$로의 회귀를 올바르게 묘사한다.

영역과 함께 복귀 분지 적분하기

해당 속도를 적분하고 $x(0)=0$을 사용하면 다음 $O$으로의 복귀 전에 $x=3\ln[\cos(t-\pi/4)]+\tfrac32\ln2$이 된다. 전환 지점에서 최대 변위는 $\tfrac32\ln2$이다. $x$의 다음 영점은 첫 번째 복귀 분지에서 구한 $t=\pi/2$이며, 이후 주기적 접선 값이 아니다. $O$에서 방향 규칙이 변경되므로, $x>0$에 대해 유도된 공식은 해당 사건을 넘어 자동으로 유효하지 않다.

속도 관계에서 힘을 추론하기

$2\ \text{kg}$ 입자가 외향 분지에서 속도 $v=1+x^2$을 가질 경우, $a=v\,dv/dx=(1+x^2)(2x)$이 된다. 합성 힘은 일관된 SI 단위로 $F=ma=4x(1+x^2)$이다. 알 수 없는 매개변수를 추론하려면 측정된 상태를 적분된 모델에 대입하여 상수를 풀고, 가능할 때 다른 상태를 확인하라. 힘 계수는 전체 식이 힘(반드시 뉴톤만은 아님)이 되도록 선택된 단위를 가진다.

제안된 해가 원본 식인지 확인하기

제안된 $v(t)$ 또는 $v(x)$을 미분하여 뉴턴의 법칙에 대입하고 초기값을 확인하라. $v=4/(1+2t)$의 경우, 미분은 요구되는 $dv/dt=-8/(1+2t)^2=-v^2/2$을 준다. 대수뿐만 아니라 부호, 단위 및 영역도 확인하라. 양의 저항 크기는 속도에 반대되어야 하며, 제곱 속도 표현은 음이 아닌 값을 유지해야 하며, 로그는 유효한 인수가 필요하며, 새로운 분지는 자체 물리적 가정을 가져야 한다.

현재 모델이 종료되는 사건 결정하기

전환점, 힘 방향 경계 통과, 저항 법칙 변경 또는 허용된 운동의 끝점을 표시하라. 속도가 0인 상태가 유한한 시간에 발생하거나 오직 극한으로서만 발생하는지 결정하라. 영수인자로 나누면 근사해결이 사라질 수 있으며, 제곱근은 복귀 분기를 숨길 수 있습니다. 원본 방정식과 사건 순서를 확인하여 이러한 가능성을 복원하십시오.

힘의 법칙을 운동에 연결해 두십시오

부호 방향을 정하고 실제 힘을 더한 후, 변수에 맞게 $a=dv/dt$ 또는 $a=v\,dv/dx$을 선택하십시오. 단계별로 분리하고 적분하며 초기 조건을 적용하십시오. 힘, 가속도, 속도, 속력을 구분하십시오. 각 답을 원본 방정식, 분기 및 한계와 대조하여 확인하십시오. 물리적 사건 후에는 계속하기 전에 모델을 재고하십시오.

반발에는 시스템과 방향이 필요합니다

충돌은 마찰이 적은 두 카트끼리 접촉하게 만듭니다. 속도는 변하지만, 접촉 중 외부 충력이 미미하다면 운동량의 총합은 일정합니다. 고정된 벽에 공이 부딪히는 것은 다릅니다: 벽이 공에 충격을 가합니다. 보존 방정식을 쓰기 전에 시스템을 정의하십시오.

어떤 운동량이 보존되는지 결정하십시오

선형 운동량은 벡터입니다: $\mathbf p=m\mathbf v$. 이 법칙은 선형 운동량 보존법, 줄여 운동량 보존법이라고 합니다. 합성 외부 충력이 0인 시스템이나 특정 방향에서 외부 충격 성분이 0인 성분에 적용됩니다. 매끄러운 수평면 위의 두 매끄러운 구의 경우 상호 충격량은 상쇄된다. 고정 벽에 있는 단일 구에 대해서는 법선 운동량이 변하며, 벽은 해당 단일 구 시스템 외부에 포함된다.

충돌선을 그리십시오

매끄러운 구두 개의 경우, 충돌선은 접촉 시 중심선입니다. 충돌 충격은 이 선을 따라 작용합니다. 이 방향을 수직($n$), 수직에 수직한 방향을 접선($t$)이라 한다. 직접 충돌은 $n$ 방향의 운동만을 가지며, 비직접 충돌은 접선 운동도 포함한다.

부호를 포함한 성분으로 회복 계수를 쓰십시오

충돌 전 $u_{An}>u_{Bn}$을 기준으로 $n$에서 $A$ toward $B$으로 양수를 선택한다. 뉴턴의 실험적 법칙은 다음과 같다.

회복 계수 $e$은 법선 분리 속도를 법선 접근 속도로 나눈 값입니다. 이 syllabus 모델에서는 $0\leq e\leq1$이며, 개별 물체의 속력 크기가 아닌 상대 성분 값을 사용하십시오.

두 극단적 사례를 해석하십시오

완전 탄성 충돌은 $e=1$을 가집니다: 이상적인 매끄러운 충돌에서 운동 에너지가 보존됩니다. $e=0$을 갖는 비탄성 충돌, 즉 완전 비탄성 충돌은 동일한 최종 법선 속도를 제공합니다. 직접 충돌에서 $e=0$은 공통 속도를 줍니다. 편심 충돌에서는 접선 속도가 다를 수 있으므로, 동일한 법선 속도가 구들이 붙어 있음을 의미하지는 않습니다.

매끄러운 벽을 스치며 $e=0$로 이동하는 입자는 벽을 따라 계속 움직일 수 있습니다. 먼저 법선 성분에 대해 법칙을 적용하십시오.

원본 직접 충돌 예제를 풀이하십시오

질량 $2\ \text{kg}$인 구 $A$가 매끄러운 수평면 위에 정지해 있는 질량 $3\ \text{kg}$의 물체 $B$에 $5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$로 진입합니다. 오른쪽을 양으로 취하고 $e=0.5$를 가정합니다. 운동량 보존 법칙에 의해 $2v_A+3v_B=10$; 반발 계수에 의해 $v_B-v_A=2.5$이 성립합니다. 따라서 $v_A=0.5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$과 $v_B=3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$은 모두 오른쪽 방향으로 움직입니다.

정면 충돌에는 음의 속도가 필요합니다

물체 $A$의 질량을 $2\ \text{kg}$, 속도를 $+3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$라 하고, 물체 $B$의 질량을 $1\ \text{kg}$, 속도를 $-3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$라고 합시다. 두 물체는 서로 $6\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$의 상대속도로 접근하므로, 그 값이 영(0)이 아닙니다. $e=0.5$, $2v_A+v_B=3$, $v_B-v_A=3$을 사용하여 $v_A=0$과 $v_B=3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$을 구한다. 충돌 후 $A$은 순간적으로 정지한다.

접촉이 발생 가능한지 확인하기

$A$가 $B$의 왼쪽에 위치하며 두 물체가 모두 오른쪽으로 움직일 경우, 첫 번째 충돌이 발생하려면 $u_A>u_B$이어야 합니다. $v_A$의 계산 결과가 음수라면 이는 속도의 크기가 아닌 후방 반동을 의미합니다. 충돌 후 $v_B-v_A\geq0$을 확인한다. $e>0$일 경우 물체들이分离되며, $e=0$일 경우 그 순간 수직 분리 속도가 0이 된다.

재사용 가능한 정면 충돌 결과를 유도하다

normal momentum(법선 운동량)과 반발 계수를 연립하여 풀면 다음과 같습니다:

따라서 $v_B=v_A+e(u_A-u_B)$가 됩니다. $B$이 정지 상태에서 시작한다면 $v_B=\dfrac{(1+e)m_Au_A}{m_A+m_B}$이며, 암기한 공식의 정확성을 검증하기 위해 위 방정식을 사용하십시오.

반동으로부터 질량 비를 추론하기

질량 $m$인 구가 정지해 있는 질량 $km$의 구와 완벽하게 탄성 있는 정면 충돌을 할 때, 이 구의 최종 속도가 $-u/3$이라면 반발 계수는 $v_B=2u/3$이 됩니다. 운동량 보존 법칙에 의해 $mu=-mu/3+km(2u/3)$이 되므로, $k=2$을 구할 수 있습니다. 반동의 부호는 두 방정식 모두에서 중요합니다.

운동량 비는 속도 비와 다르다

질량 $3m$인 구가 속도 $u$으로 정지한 질량 $m$인 구에 충돌했다. 이후 $p_A=2p_B$으로, 둘 다 오른쪽 방향으로 움직인다. 총 운동량이 $3mu$이므로, $p_A=2mu$과 $p_B=mu$이다. 따라서 $v_A=2u/3$, $v_B=u$ 및 $e=1/3$이 됩니다. 운동량을 나눌 때 질량을 고려하지 않으면 잘못된 속도 비를 얻게 됩니다.

에너지 손실과 운동량은 구분해야 한다

원래의 $2\ \text{kg}$ 및 $3\ \text{kg}$ 예시에서 초기 운동에너지는 $25\ \text{J}$이고 최종 운동에너지는 $13.75\ \text{J}$입니다. 운동량은 보존되더라도 에너지 손실은 $11.25\ \text{J}$입니다. 고립된 매끄러운 두 구 충돌에서의 에너지 손실은 $\tfrac12\mu(1-e^2)(u_{An}-u_{Bn})^2$이며, 여기서 **감산 질량(reduced mass)**은 $\mu=m_Am_B/(m_A+m_B)$입니다. 이는 계산 결과를 검증하는 용도이지, 부호가 있는 충돌 방정식을 대체하는 것이 아닙니다.

비수직 구 충돌 해결

매끄러운 구는 서로에 대해 접선 방향 충격을 가하지 않는다. 따라서 $v_{At}=u_{At}$과 $v_{Bt}=u_{Bt}$은 각각 독립적이며, 수직 운동량과 반발 계수가 $v_{An},v_{Bn}$를 결정한다. 해결하기 전에 성분 표를 그린다. 각 구의 자체 성분을 $v=\sqrt{v_n^2+v_t^2}$을 사용하여 재조합하되, 최종 수직 성분만으로는 일반적으로 해당 구의 속도가 되지 않음을 유의한다.

비수직 예제 풀이 과정

구 $A$의 질량은 $2\ \text{kg}$이며, $(n,t)$ 방향의 초기 성분이 $(3,4)\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이다. 정지한 $B$의 질량은 $1\ \text{kg}$이다. $e=0.5$에 대해, $2v_{An}+v_{Bn}=6$ 및 $v_{Bn}-v_{An}=1.5$를 구한다. 따라서 $\mathbf v_A=(1.5,4)$과 $\mathbf v_B=(3,0)$은 동일한 단위를 가진다. 두 구의 속도는 각각 $\sqrt{73}/2$와 $3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이며, $A$는 자신의 접선 성분을 유지한다.

반발 계수가 0인 경우에도 접선 운동은 소실되지 않음

질량이 같은 두 매끄러운 구의 초기 성분이 $\mathbf u_A=(4,3)$과 $\mathbf u_B=(0,-1)$이며, 법선 방향은 $A$에서 $B$로 향한다. 만약 $e=0$라면, 두 구의 최종 법선 속도는 모두 $2$이다. 최종 벡터는 명시된 SI 단위로 각각 $(2,3)$과 $(2,-1)$이다. 법선 속도는 같지만 접선 속도는 다르므로, 입자들은 단일 강체처럼 움직이지 않는다.

방향 및 편각 복원

최종 성분 $(v_n,v_t)$가 $v_n>0$일 때, 양의 법선 방향과의 각도는 $\tan\phi=v_t/v_n$을 만족한다. $v_n<0$라면 사분면을 그리라. 계산기의 예각 값만으로는 반발 현상을 감출 수 없다. In the previous $A=(1.5,4)$ example, $\tan\phi=8/3$. The deflection is the change from its incoming direction, whose angle satisfies $\tan\theta=4/3$, not simply $\phi$ itself.

최종 운동에너지로부터 반발 계추정

질량이 같은 구들이 $\mathbf u_A=(4,3)$과 $\mathbf u_B=(0,0)$으로 충돌한다. 최종 수직 속도는 $2(1-e)$와 $2(1+e)$이며, 접선 속도는 각각 $3$와 $0$로 유지된다. 최종 운동에너지가 같다면 $4(1-e)^2+9=4(1+e)^2$이어야 하므로, $e=9/16$이 성립한다. 두 구의 최종 속도는 모두 $25/8\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이며, 에너지 방정식에는 두 성분 모두를 포함해야 한다.

고정 벽이 구의 운동량에 미치는 영향

매끄러운 고정 표면에서는 벽을 향하는 쪽을 양의 법선 방향으로 설정합니다. 표면의 속도는 0이므로 구의 최종 성분은 $v_n=-eu_n$이고 접선 성분은 $v_t=u_t$입니다. 구의 수직 운동량을 보존해서는 안 된다. 벽의 충격이 변화를 제공하므로: $\Delta p_n=-m(1+e)u_n$이다. 벽-지구 시스템은 속도가 미미하게 남아있어도 운동량을 흡수할 수 있다.

벽 충돌 후 성분 재조합

매끄러운 고정 벽에 approaching하는 구체 $2\ \text{kg}$의 법선/접선 방향 성분이 $(6,8)\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이다. $e=0.5$에 대해, 출사 성분은 $(-3,8)$이다. 속도가 $10$에서 $\sqrt{73}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$로 변합니다. 운동 에너지 손실은 $100-73=27\ \text{J}$이며, 전체 속도 비는 $e$가 아닙니다.

각도를 사용하는 선을 명시하십시오

입사 및 반사 예각 $\alpha,\beta$이 벽으로부터 측정될 때, $u_n=u\sin\alpha$과 $u_t=u\cos\alpha$입니다. 따라서 $\tan\beta=e\tan\alpha$입니다. 법선으로부터 $\theta,\phi$을 측정할 경우, $e>0$에 대해 $\tan\phi=\tan\theta/e$입니다. $e=0$에서는 성분을 직접 사용하십시오; 제로가 아닌 접선 성분은 벽과 평행한 운동을 남깁니다.

각도로부터 벽의 회복 계수를 추론하십시오

구 매끄러운 고정벽에 각도 $45^\circ$으로 충돌하여 각도 $\beta$로 반사되며, $\tan\beta=1/3$이다. 그러면 $e=\tan\beta/\tan45^\circ=1/3$이다. 최종 속력은 $u\sqrt{\cos^2 45^\circ+e^2\sin^2 45^\circ}=u\sqrt5/3$입니다. 방향의 변화로 인해 속력 비가 $1/3$와 다릅니다.

벽 충돌 에너지와 한계를 확인하십시오

매끄러운 고정벽에서 손실된 운동 에너지는 $\tfrac12m(1-e^2)u_n^2$입니다. 법선 성분만 변경되며, $e=1$에서는 속도가 일정하고 법선 성분이 반전됩니다. $e=0$에서 법선 속도가 영이 됩니다. 만약 $u_t\ne0$라면 구체는 벽을 따라 계속 이동하며, 최종 성분이 모두 영이라면 접촉 직후 정지합니다.

시간 비율이 회복 계수를 알 수 있습니다

입자가 거리가 $d$인 두 평행 매끄러운 고정벽 사이를 이동합니다. 첫 번째 비행 시간이 $T$라면, 법선 속도는 $d/T$입니다. 회복 계수 $e>0$로 튕겨난 후 다음 비행 시간은 $T/e$입니다. 따라서 두 번째 시간이 $kT$이라면, $e=1/k$이며 $k\geq1$이다. $e=0$인 경우 유한한 두 번째 교차가 없으므로, 복귀가 일어나는 것처럼 영인 법선 속력을 소거해서는 안 된다.

연속 충돌을 개별 사건으로 처리하십시오

Equal-mass particles collide directly: $A$ initially has velocity $6\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $B$ is at rest and $e_{AB}=0.5$. They leave with velocities $1.5$ and $4.5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. 만약 $B$이 매끄러운 벽에 $e_{BW}=1/3$로 충돌하면, 그 속도는 $-1.5\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$가 됩니다. 그들의 다음 상호 충돌은 입사 속도 $+1.5,-1.5$과 $e_{AB}$을 사용하여, 결과적으로 $v_A=-0.75$과 $v_B=+0.75\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$을 얻습니다.

거리로 다음 사건을 확인하십시오

그 예시에서 첫 번째 상호 충돌을 $x=0$에, 벽을 $x=9\ \text{m}$에 배치하라. 입자 $B$은 $t=2\ \text{s}$에 벽에 도달하며, 이때 $A$는 $x=3\ \text{m}$에 위치한다. 간격은 $6\ \text{m}$이며 벽 튕김 후 그들의 접근 속도는 $3\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$입니다. 그들은 $A$이 벽에 도달하기 전에 $2\ \text{s}$ 후에 $x=6\ \text{m}$에서 만납니다. 서로 다른 쌍은 다른 회복 계수를 가질 수 있습니다.

장애물 이후 새로운 포물선 구간을 사용하십시오

입자가 오르는 경사가 오른쪽으로 $45^\circ$인 매끄러운 장벽에 속도 $(4,-4)\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$으로 접근한다. 이 입자의 속도는 장벽에 완전히 수직이며, $e=0.5$은 출사 속도 $(-2,2)\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$을 제공한다. 충돌 지점이 수평면으로부터 $4\ \text{m}$ 높이에 있고 $g=10\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$일 때, $0=4+2t-5t^2$를 구하십시오. 양의 비행 시간은 $(1+\sqrt{21})/5\ \text{s}$이며 수평 거리는 왼쪽으로 $2(1+\sqrt{21})/5\ \text{m}$입니다.

충돌을 수직 원운동과 연결하기

원의 하단에서 질량 $m$, 입사 속도 $3\sqrt{5ag}$인 입자가 정지한 질량 $2m$의 입자와 완전 탄성 정면 충돌을 합니다. 운동량 보존과 반발 계수를 통해 부호 있는 속도 $-\sqrt{5ag}$과 $2\sqrt{5ag}$을 구할 수 있습니다. 첫 번째 입자는 제곱 속도가 $5ag$인 속도로 반사됩니다. 이후 에너지 방정식을 통해 상단의 제곱 속도 $ag$을 얻으며, 이는 끈이 당겨진 상태를 유지하기 위한 한계 $T=0$ 조건이 됩니다. 매끄러운 호와 접촉에서의 충돌 법칙에 에너지를 적용하되, 장력이 0인 것은 경계 조건일 뿐 자체적으로 분리됨을 증명하지는 않습니다.

물리적으로 불가능한 모델 배제하기

대수적 후보는 $0\leq e\leq1$, 즉 명시된 입사 접근 방향과 반사 방향을 만족해야 합니다. 부적절한 근은 이유를 제시하여 배제하십시오. 방정식 중간에 음수 부호 속도를 양수로 바꿀 수 없습니다. 올바른 시스템에 대한 운동량, 반발 관계, 매끄러운 접선 성분의 불변성, 그리고 비음의 운동량 감소를 확인하십시오. 고정된 벽은 구 하나의 운동량 보존을 위반할 수 있으나 모델 자체를 위반하지는 않을 수 있습니다.

독립적인 충돌 해법 정리하기

Draw the contact normal, define signed components and label the system. Write the normal momentum equation only where justified, then restitution and unchanged tangential components. 속도를 재조합하고 방향을 명시하며 다음 물리적 사건을 확인하십시오. 주제가 복합된 문제에서는 반사된 속도를 새로운 운동 구간으로 이어주되 해당 구간의 초기 상태로 설정하십시오.

계산 전에 모델을 먼저 확인하기

정면 및 사면 충돌에는 동일한 법선 방정식이 적용되며, 매끄러운 접촉에서 접선 성분은 변하지 않고 유지됩니다. 고정된 표면에 대해서는 $v_n=-eu_n$을 사용하되, 구의 법선 운동량 보존을 가정해서는 안 됩니다. 항상 시스템, 각도 규약, 사건 순서를 정의하십시오. 법선 분리 속도와 전체 속도, 같은 법선 속도와 결합, 충돌 간 에너지와 충돌 전체의 에너지를 구분하십시오.

• 포물선 운동에 대해서는 수평(일정한 속도) 및 수직($a = g$) 운동으로 분해하며, 같은 시간으로 연결된다.
• 평형 상태의 강체의 경우, 알 수 없는 힘을 없애는 한 점에 대해 모멘트를 취합니다.
• 원주 운동의 경우 중심을 향하는 $F = mv^2/r = m\omega^2 r$를 사용합니다; 수직 원 운동에서는 상단에서의 최소 속도를 확인합니다.
• 변화하는 힘의 경우 $a = v\,\frac{dv}{dx}$를 사용하고 적분합니다; 탄성 Potential Energy(PE)는 $= \frac{\lambda x^2}{2L}$입니다.