データの表現

デジタルコンピュータは、2つの論理状態1と0を用いてデータを表現する。2桁のみを使用するシステムを二進法（基数2）という。

コンピュータが処理できる前に、あらゆる種類のデータ（数値、テキスト、音声、画像）はバイナリに変換されなければなりません。コンピュータはこのバイナリを論理ゲートを用いて処理し、レジスタ（プロセッサ内の小型・高速記憶装置）に格納します。

進位法とは、固定された数字のセットを使って数値を表す方法のことです。ここでは3つの進位法が必要です。

• 十進法は通常の計数システム（十进制とも呼ばれる）。
• バイナリは0と1のみを使用します。
• ヘキサデシマル（ヘキサ）は16進法で、0〜9の数字に加え、A、B、C、D、E、Fがそれぞれ10、11、12、13、14、15を表します。

基数は、そのシステムがいくつの異なる数字を使用するかを示します。

桁の位置値

各桁には位取りがあります。二進法では右から左へ位取りが倍増します。8ビットの数に対しては以下のようになります：

128  64  32  16  8  4  2  1

1つのビットは単一の0または1です。8つのビットで1つのバイトになります。4つのビット（バイトの半分）はニブルと呼ばれます。

進位法間の変換

デナリ → バイナリ。位置値を書き出します。必要な数字の合計が指定した数になるように各位置値の下に1を置き、それ以外の下には0を置きます。

例：デナリ150をバイナリに変換します。$150 = 128 + 16 + 4 + 2$。

128 64 32 16 8 4 2 1
  1  0  0  1 0 1 1 0

したがって $150$ = 10010110 です。

バイナリ → デナリ。1が存在する位置値をすべて加算します。10010110 $= 128 + 16 + 4 + 2 = 150$。

ヘキサデシマル → バイナリ。各ヘキサ数字を独立した4ビットグループ（ニブル）に変換します。

例：ヘキサF08。$F = 1111$、$0 = 0000$、$8 = 1000$ なので、F08 = 1111 0000 1000 です。

バイナリ → ヘキサデシマル。右端から始まって4ビットずつグループ化（ニブル化）し、各ニブルを1つのヘキサ数字に変換します。

デナリ → ヘキサデシマル。最も簡単な方法は、まずバイナリに変換し、次にバイナリからヘキサに変換することです。

この表はヘキサのアルファベット変換に役立ちます：

Cambridgeの問題では、最大16ビットまでのバイナリ数が使用されます。

** worked example（演習例）**。デナリ100を8ビットバイナリに変換し、さらにヘキサデシマルに変換します。

$100 = 64 + 32 + 4$ なので、バイナリは 01100100 です。ニブルに分割すると 0110 0100 $= 6$ および $4$ となり、したがってヘキサデシマルは 64 です。

なぜヘキサデシマルが使われるのか

ヘキサはバイナリより短く、人間が読み書きしやすいです。1つのヘキサ数字は4つのバイナリ数字に相当するため、誤りを減らせます。数値自体は変化せず、同じバイナリ表現をより短い形式で示すための手法に過ぎません。

コンピュータ科学者は以下のような場面でヘキサを使用します：

• MACアドレスおよびIPv6アドレス
• HTMLにおけるカラーコード（例：#FF0000 は赤色）
• メモリアドレスおよびエラーコード
• メモリの内容の表示（「メモリダンプ」）

デナリと同様に、2つの8ビットバイナリ数を右端から列ごとに足すことができます。1列あたりの規則は以下の通りです：

キャリーが入力される場合も、$1 + 1 + 1 = 1$ でキャリー1となります。

例：01110110 (118) と 00110000 (48) を足す。

  0 1 1 1 0 1 1 0    (118)
+ 0 0 1 1 0 0 0 0    (48)
-------------------
  1 0 1 0 0 1 1 0    (166)

オーバーフロー

符号なし整数として解釈した場合、8ビットレジスタは0から255までの値を保持する。加算の結果が255を超えると、答えには9番目のビットが必要となる。レジスタはこの追加ビットを保持できないため、それは失われる。これをオーバーフロー（オーバーフローエラー）と呼ぶ。値がレジスタが保持できる限界を超えた場合に発生する。

例：11001000 (200) + $+$ 01001000 (72) = $= 272$。バイナリでは 1 00010000 となり、9ビットが必要です。先頭の1は8ビットに収まらず、格納された答えは誤りとなります。

ロジカル・バイナリシフトとは、すべてのビットを一定の位数だけ左または右へ移動させる操作です。

• レジスタの外側へ移動したビットは失われます。
• 空いた端にはゼロが追加されます。

符号なし整数において、左シフトは、非ゼロビットが失われない場合、移動するごとに2倍となる。論理的右シフトは、移動するごとに2で割った整数結果を与える。最も右側のビット（最下位ビット）は失われる。

例：00110101 (53) を2つシフト（左シフト）します。

start:         0 0 1 1 0 1 0 1
left shift 2:  1 1 0 1 0 1 0 0

結果は11010100 (212) となり、これは$53 \times 4$です。左側の2つのビットが失われ、右側から2つのゼロが入りました。末尾から1が押し出されると、その情報は完全に失われます。

これまで正の数だけを考えましたが、2の補数を使うと8ビットレジスタで負の数も扱えます。

2の補数では、左端のビット（最上位ビット、またはMSB）が 負 の位取りを持ちます：

-128  64  32  16  8  4  2  1

• MSBが 0 の場合、その数は0以上です。
• MSBが1の場合、数は負です。

正の数を負にする方法： 正のバイナリを書き出し、すべてのビットを反転させ（0↔1）、最後に1を加えます。

例：$-40$を负にする。

• $+40$ = 00101000
• ビットを反転 = 11010111
• 1を加える = 11011000

よって$-40$ = 11011000 です。位取りを加算して確認します：$-128 + 64 + 16 + 8 = -40$。

負の2の補数の数を読むには、単に位取りを加算します（MSBは$-128$としてカウントされます）。8ビット2の補数の範囲は$-128$から$+127$です。

コンピュータはテキストを保存するために、各文字に番号を与え、それをバイナリで保存します。コンピュータが使用できる文字のセットとその番号を合わせたものを 文字集合 と呼びます。

ASCII は 7ビットの文字コードを使用し、$N = 2^b = 2^7 = 128$種類のコードを提供します。英語の文字、数字、一般的な記号を含みますが、すべての 128 コードがアルファベットではありません。Unicode は、異なる言語や絵文字を含む、はるかに広い範囲の文字を表します。

試してみよう — 短いメッセージを符号化しよう。 ASCII のこの抜粋では、A = 65、B = 66、C = 67、スペース = 32 です。CAB の4つの 7 ビットグループ（末尾のスペースを含む）を書き出してください。次に、グループ 1000010 1000001 1000011 を復号してください。

Worked answer. Look up each character, then convert its code to binary:

したがって CAB は 1000011 1000001 1000010 0100000 です。2つ目のメッセージを復号すると BAC になります。スペースにもコードがあります。これはデータが存在しないことを意味するものではありません。送信者と受信者は、メッセージを正しく解釈するために同じ文字コードマッピングを使用する必要があります。

Why a larger range matters. ASCII cannot directly represent a Chinese name. Unicode includes Chinese characters as well as English characters and many other languages. For the syllabus comparison, explain that a greater range needs more distinct binary codes, requiring more bits per character than the 7-bit ASCII model.

試してみよう — 指定された格納モデルを比較する。 4つの文字CAB を (A) キャラクターあたり7ビット、(B) キャラクターあたり16ビットで格納します。パディングや追加ファイル情報がなく、ビットが詰まれていると仮定します。各モデルにおけるテキストデータのサイズを求めます。この16ビットの値はこの例のための仮定であり、すべてのUnicode文字が16ビットを取るというルールではありません。

計算例。 文字数が同じ場合、指定されたビット数（キャラクターあたり）を掛け合わせます：

モデル B は、この例で指定されたコード幅が大きいため、より多くのストレージを使用します。試験問題で与えられた幅を使用してください。実際のファイルでは、エンコーディングも重要です：UTF-8 は、ASCII ファイルと同じバイトで ASCII 文字を格納するため、Unicode テキストが必ずしもより多くのバイトを占有するわけではありません。カリキュラム比較のために UTF-8 の詳細なルールを知る必要はありません。

音波 は滑らかで常に変化しています。これを保存するには、コンピュータは一定の間隔で波の高さを測定します。これを サンプリング と呼び、各測定値をサンプルといいます。

• sample rate is the number of samples taken each second (measured in Hz).
• サンプル解像度 は各サンプルに使用されるビット数です。サンプル地点における波の高さを 振幅 と呼びます。

高いサンプリングレートおよび高いサンプリング分解能はより正確な録音をもたらしますが、ファイルサイズも大きくなります。

コンピュータ画像は、ピクセル と呼ばれる小さな点のグリッドで構成されています。

• 解像度 は画像内のピクセル数です（例：$1920 \times 1080$）。
• カラーディプス は各ピクセルの色を保存するために使用されるビット数です。

高い解像度と高いカラーディプスを使用すると、より高品質な画像が得られますが、ファイルサイズが大きくなります。

データストレージは以下の単位で計測されます。ニブルは4ビット、バイトは8ビットです。キビバイト以上では、各単位は前の単位の1024倍です（$1024 = 2^{10}$ に適合するため）。

イメージファイルサイズ（ビット単位）$=$ 解像度 $\times$ カラーディプス $=$ 幅 $\times$ 高さ $\times$ カラーディプス。

例：ある画像は $1024 \times 1024$ ピクセルで、カラーディプスは2バイト（$= 16$ ビット）です。

• ビット $= 1024 \times 1024 \times 16 = 16\,777\,216$ ビット
• バイト $= \div 8 = 2\,097\,152$ バイト
• KiB $= \div 1024 = 2048$ KiB
• MiB $= \div 1024 = 2$ MiB

サウンドファイルサイズ（ビット単位）$=$ サンプルレート $\times$ サンプル解像度 $\times$ 長さ（秒単位）。

これらの数式はファイルヘッダーなしの圧縮されていないデータの数を計算します。音声用数式は1チャンネル分であり、問題で複数のチャンネルが指定されている場合はチャンネル数で掛け合わせます。

KiB、MiBなどに変換する際は常に1024で除算してください（1000ではなく）。質問で指定された単位で答えを提示してください。

** worked example.** サンプルレート8,000 Hz、サンプル解像度16ビットで30秒間録音された音のファイルサイズをキビバイト（KiB）で求めよ。

• ビット $= 8\,000 \times 16 \times 30 = 3\,840\,000$ ビット
• バイト $= 3\,840\,000 \div 8 = 480\,000$ バイト
• KiB $= 480\,000 \div 1024 \approx 469$ KiB

圧縮 はファイルを小さくします。小さいファイルは：

• 少ないストレージスペースを使用し、
• 少ない 帯域幅（接続が伝送できるデータ量）を必要とし、
• 短い時間での送信が可能（短い 伝送 時間）。

2つの種類があります。

ロスレス圧縮

ロスレス 圧縮はデータの 永久的な損失なし でファイルを小さくします。元のファイルを正確に再構築できます。

一つの手法に ラン長エンコーディング (RLE) があります。繰り返される値の連続列を、その値の1つのコピーと繰り返しの回数で置き換えます。例えば WWWWWWWW (8個の白) は "8 W" として保存されます。データに繰り返しが多い場合に効果的です。

可失性圧縮

可失性圧縮は、データを永久に削除することでファイルを大幅に小さくします。削除されたデータは復元できません。例えば：

• イメージの解像度や色深度を低減する,
• サウンドのサンプリングレートやサンプリングリゾリューションを低減する。

テキストやプログラムファイルなど、すべての詳細を維持する必要がある場合は無失性圧縮を使用します。写真、音楽、動画などは、品質のわずかな低下でる大幅なファイルサイズ削減が可能であるため、可失性圧縮が適しています。

• 十進法→二進法変換は位取り（128, 64, 32 …）を引くことで行います；二進法→十進法変換は1を持つ位取りの値を足すことで行います。
• To convert to hex, group the binary into nibbles of 4 bits from the right; each nibble is exactly one hex digit.
• オーバーフローとは、結果が選択した表現の範囲外にあることを指します。8ビット符号なし整数は 0 ～255 を保持し、8ビット補数表示は −128 ～127 を保持します。
• バイト単位のファイルサイズ：イメージの場合、幅 × 高さ × 色深度；サウンドの場合、サンプリングレート × リゾリューション × 秒数。バイトにするには8で割り、より大きな単位にするにはそれぞれ1024で割り続けます。
• 無失性圧縮はすべてのビットを保持します（テキスト；ラン長符号化）。可失性圧縮は、ファイルを大幅に小さくするためにデータを永久に削除します（写真、音楽）。