導体とコンデンサ

理想的な導体内では電子が自由に動けます。一方に過剰な電荷を与えると、電荷同士が反発し合い、ほぼ瞬時に静電気平衡に落ち着きます。その状態では、導体はあなたが述べて使用できる4つの特徴を持ちます：

• 導体の内部の電気場はゼロです。もしそうでなければ、自由電子はまだ動いているはずです。
• 全ての過剰電荷は表面に留まります。（負の正味電荷＝表面に余分な電子；正の電荷＝そこに電子が不足している。）
• 直近の外側の場は表面に対して垂直で、大きさは$E=\sigma/\varepsilon_0$ です。平行成分があれば、電荷を表面に沿って横方向に押し出してしまうからです。
• 導体全体は一つの等電位面です：内部および表面上のあらゆる点は同じポテンシャルにあります。

表面密度は曲面が急な場所——点や縁——で最大となるため、外側の場もそこで最も強くなります。外部の場中にある導体は分極します：内部が場なしとなり、本体が等電位面を維持するように、表面の電荷が移動します。閉じた導体殻で領域を取り囲むことで、外部の場を完全に遮断できます——これがファラデーケージの原理である静電気遮蔽です。

2つの導体が接触（または配線で接続）されるとき、両方の表面が同じポテンシャルになるまで電荷が流れ込みます——これが停止条件であり、「等しい電荷」ではありません。より大きな球体は同じポテンシャルでより多くの電荷を保持します（$V=kQ/R$）、そのためより大きな割合を占めます。

演習例。 半径$R$ 、電荷$+6.0\ \mu\text{C}$ を持つ小さな球体が、半径$2R$ の遠方の球体と接触し、その後分離されます。等ポテンシャル这就要求$\dfrac{kq_1}{R}=\dfrac{kq_2}{2R}$ となるため、$q_2=2q_1$ 。$q_1+q_2=6.0\ \mu\text{C}$ において：$q_1=2.0\ \mu\text{C}$ および$q_2=4.0\ \mu\text{C}$ 。

アースはゼロポテンシャルの理想化された参照であり、いかなる量の電荷を受け取ったり供給したりできます。外部の電荷が近くにある状態で導体をアース接地すると、導体は正味の誘起電荷を残します：外部の場が特定の符号の電荷をアースへ押し出し、外部の電荷を外す前にアース線を切断することで残りの電荷が閉じ込められます。

コンデンサはギャップで隔てられた2つの導体に電荷を蓄える装置です：片方の極板に$+Q$ 、もう片方に$-Q$ 。静電容量は蓄えられた電荷と極板間のポテンシャル差を結びつけます：

静電容量は形状とギャップ内の材料にのみ依存し、$Q$ や$\Delta V$ そのものには依存しません。

演習導出（平行板）。 極板面積$A$ 、微小なギャップ$d$ を持つ平行板コンデンサについて、ガウスの法則と重ね合わせの原理により、極板間に均一な場$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$ が得られます（各極板単独での寄与は$\sigma/2\varepsilon_0$ ；極板間では2つが加算され、外側では相殺します）。均一な場とは$\Delta V=Ed=\dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}$ を意味するため、

この$E\to\Delta V\to C$チェーンは標準的なFRQ導出です。3つのステップとして memorize して、それぞれを引用してください。同じ手法でAPが求める他の2つの形状も扱えます：同心球体（$C=4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$）および長さ$L$の同軸円筒で、$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$が$\Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a}$を与え、以下$C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$となります。

** worked example.** 面積$A=0.020\ \text{m}^2$、間隔$d=1.0\ \text{mm}$のプレート：$C=\dfrac{8.85\times10^{-12}(0.020)}{1.0\times10^{-3}}=1.8\times10^{-10}\ \text{F}$。電圧$100\ \text{V}$で充電され、電荷$Q=CV=1.8\times10^{-8}\ \text{C}$を保持します。

プレート間の電場は均一であるため、その中の帯電粒子は一定の力を受け、一定の加速度で運動します。これは重力下での投射運動と全く同じです：横方向は一定速度、プレートに向かって一様な加速です。

** worked example.** 電子がプレートの中央から$v_0=2.0\times10^{7}\ \text{m/s}$で、プレートに平行に入射します。電場は$E=1.0\times10^{3}\ \text{N/C}$、プレートの長さは$4.0\ \text{cm}$です。加速度：$a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{3})}{9.11\times10^{-31}}=1.8\times10^{14}\ \text{m/s}^2$。プレート間の時間：$t=\dfrac{0.040}{2.0\times10^{7}}=2.0\times10^{-9}\ \text{s}$。たわみ：$y=\tfrac12at^{2}=\tfrac12(1.8\times10^{14})(2.0\times10^{-9})^{2}\approx3.5\times10^{-4}\ \text{m}$ – 正極板へ約$0.35\ \text{mm}$向かって偏ります。

電荷を蓄えるには仕事が必要です：外部の力が、既に存在する電荷の電場に対して各電荷の断片を動かさなければなりません。総仕事量は最終的に蓄積されたポテンシャルエネルギーになります。

係数$\tfrac12$は、$Q$–$\Delta V$曲線下面的三角形の面積です：最初の電荷を移動させるコストはほとんどなく、最後の電荷では完全な$\Delta V$がかかります。

コンデンサは抵抗器とは逆の組み合わせをします：並列では容量が加算されます（$C_{\text{eq}}=C_1+C_2$、同じ$\Delta V$、電荷が加算）、直列では逆数が加算されます（$\tfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\tfrac{1}{C_1}+\tfrac{1}{C_2}$、同じ$Q$、電圧が加算）。

** worked example.** $2\ \mu\text{F}$と$4\ \mu\text{F}$のコンデンサを直列接続：$\tfrac{1}{C}=\tfrac12+\tfrac14$、よって$C=\tfrac43\ \mu\text{F}$。同じペアを並列接続：$6\ \mu\text{F}$。

誘電体とは絶縁体素材のことです。電荷は移動できませんが、外部電場中では各分子がわずかに引き伸ばされたり回転したりし、材料は分極します。整列した分子は印加された電場とは逆向きの小さな電場を生み出し、材料内部の正味電場が減少します。

ここで$\kappa$は誘電率定数であり、材料の比誘電率と真空中の誘電率の比です。

コンデンサを誘電体で満たすと、容量は倍増します：

次に何が起きるか取决于什么保持不变 – 这是考试常设的陷阱：

** worked example.** $100\ \text{pF}$のコンデンサを電圧$12\ \text{V}$で充電し、電源を切り、$\kappa=3$の誘電体で満たします。$Q$は閉じ込められるため、$\Delta V$は$4\ \text{V}$まで低下し、蓄えられるエネルギーは3分の1に減ります – 残りのエネルギーは誘電体の挿入に伴う仕事に使われました。代わりに$12\ \text{V}$のバッテリーに再接続した場合、コンデンサは3倍の電荷と3倍のエネルギーを保持します。

Exam skill. 常に誘電体の問題では、最初に固定されている量（$Q$または$\Delta V$）を書き出し、その後$C=\kappa C_0$が$Q=C\Delta V$と$U=\tfrac12 C(\Delta V)^2$を通じて全てを決定するようにしてください。

• 静電気平衡状态下、導体内部には**$\vec E=0$があり、余分な電荷はすべて表面**にあります。
• ガウスの法則$\oint \vec E\cdot d\vec A=\tfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$を適用し、対称性に合わせたガウス面（球、円柱、ピルボックス）を使います。
• 導体全体は一つの等電位面であり、表面の電場はこれに垂直です。
• コンデンサには$C=\tfrac{Q}{V}$、エネルギー$U=\tfrac12 CV^2$、そして誘電体が$C$を上げる仕組みを使います。
• ガウス面を選び、$\vec E$が各部分で一定かつ平行（またはゼロ）になるようにします。