微分方程式

微分方程式とは、関数とその導関数の関係を示す方程式です。変化率 を通じて状況を記述します。例えば、「ある量の増減はその大きさ比例である」ことは以下のように表せます。

変化率に関する文章を微分方程式に翻訳する力を身につけることが、この単元最初のスキルです。

微分方程式の 解 とは、それを真とする関数のことです。提案された解が正しいか 確認 するには、それを微分して方程式に代入します：両辺が一致すれば解です。なお、微分方程式には通常 無数の 解（一連の家族）があり、それらは定数の違いによって区別されます。

傾き場 は、微分方程式を短い線分のグリッドとして描いたものです：各点 $(x,y)$ において、その点での $\dfrac{dy}{dx}$ の値に対応する傾きの線分を描きます。描くには、右辺にいくつかの点を代入し、それぞれの点でその傾きの小さな線分を描きます。図は、解くことなく解曲線の形状を示しています。

試験対策スキル。 一般的な出題形式として、傾き場の一部を与えて、特定の点を通る particular solution を描く問題があります。その点から始めて、線分に接しながら進んでいきます。

微分方程式の解は 関数 または 関数の家族 です。傾き場を読み取って挙動を推論します：線分が水平（$\tfrac{dy}{dx}=0$）な場所では解は一時的に平坦です；急になる場所では解は速く上昇または下降します；等しい傾きの水平な列は、変化率が $y$ （または $x$ ）のみ依存していることを示唆します。

多くの試験的微分方程式は 変数分離法 で解けます。$\dfrac{dy}{dx}$ が $x$ の関数と $y$ の関数の積に因数分解できる場合、$y$ を片方、$x$ を他方に移して両辺を積分します：

積分定数は一度だけ加えます（$x$ の側）。これにより 一般解 が得られます。

** worked example.** $\dfrac{dy}{dx}=xy$ を初期条件 $y(0)=2$ で解き、変数分離して積分する：

$y(0)=2$ を適用すると $A=2$ となり、したがって特殊解は $y=2e^{x^2/2}$ です。

初期条件（既知の点 $(x_0,y_0)$）によって、族の曲線の一つが一意に定まります。これを代入して定数 $C$ を求めれば、結果として 特殊解 が得られます。与えられた点を通る解はただ一つです。定義域の制限にも注意してください。初期点を含む分岐（例えば、平方根の正しい符号など）を選びます。

最も重要なモデルは 指数関数的増減 です。方程式 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ （変化率が大きさに比例する）には次のような解があります：

ここで $y_0$ は $t=0$ における値です。このとき $k>0$ は増殖を、$k<0$ は減少を表します。変数分離により（$\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$）、これらを導くことができ、個体群の増減、放射性崩壊、ニュートンの冷却則などのプロセスをモデル化できます。続く問題で $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ を求めることがあり、その際は $\dfrac{dy}{dt}=ky$ をもう一度微分し（$\dfrac{dy}{dt}=ky$ を用いて）、$y$ で表します。

** worked example.** 試料の量が ⟨年⟩ ごとに $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ の割合で減少し、初期量は $y_0=50\ \text{g}$ です。解は $y=50e^{-0.10t}$ であり、$10$ 年後には $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$ となります。その 半減期 は $25=50e^{-0.10t}$ を解くことで求められ、すなわち $e^{-0.10t}=\tfrac12$ となり、$t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ が得られます。これは初期量とは無関係です。

• 可分方程式 を解くには、$y$ を片方、$x$ を他方に集め、両辺を積分します（定数 $+C$ を加えます）。
• 初期条件を用いて $C$ を見つけ（特殊解を得ます）。
• 傾き場 を描画または読み取ります。各点における小さな線分は $\tfrac{dy}{dx}$ を示しており、解曲線はその方向に従います。
• 指数関数モデル $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$（増減）を識別します。
• 微分方程式は傾きを与えます。関数を復元するためには積分を行う必要があります。