積分と変化の蓄積

AP Calculus AB · トピック 6

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6.1

変化の蓄積の探求

シラバス

持続的認識 (CHA-4): 定積分により、区間における変化の蓄積に関する問題を解くことができる。

学習目標 CHA-4.A: 文脈において、変化率のグラフに関連する面積の意味を解釈する。

CHA-4.A.1 変化率関数のグラフと $x$ 軸との間の領域の面積は、変化の蓄積を示す。
CHA-4.A.2 場合によっては、幾何学を用いて変化の蓄積を評価できる。
CHA-4.A.3 変化率が区間で正（負）である場合、蓄積された変化も正（負）となる。
CHA-4.A.4 変化率で定義される領域の面積の単位は、変化率の単位に独立変数の単位を掛けたものとなる。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

水タンク：積分は変化の蓄積を表す — 流量から総体積を求める — 水タンク：積分は変化を蓄積する — 流量からの総体積

微分は率を見つけた。積分はその逆の操作を行い、変化の率が与えられたときに蓄積された変化量を見つける。重要な図像：率関数のグラフと $x$ 軸の間の面積が総蓄積を表す。

区間で率が正であれば蓄積量は正、負であれば負となる。軸以下の面積は負として扱う。
単純な領域（三角形、長方形）は幾何学によって求められる。
単位： 面積の単位は「率の単位 × 入力変数の単位」である。例：時あたりの車両数（rate）× 時間（hours）＝ 車両数。

速度グラフ下の面積は蓄積された総量を表す

6.2

リーマン和による面積の近似

シラバス

持続的認識 (LIM-5): 定積分は、幾何学的・数値的方法を用いて近似できる。

学習目標 LIM-5.A: 幾何学的・数値的方法を用いて定積分を近似する。

LIM-5.A.1 定積分は、グラフ上、数値的、解析的、および言語的に表された関数に対して近似できる。
LIM-5.A.2 定積分は、左リーマン和、右リーマン和、中点リーマン和、または台形和を用いて近似でき、均等分割または不均等分割のいずれかを用いて計算できる。
LIM-5.A.3 定積分は、技術的使用の有無に関わらず、数値的方法を用いて近似できる。
LIM-5.A.4 関数の振る舞いに応じて、定積分の近似値が真の値に対する過小評価または過大評価かどうかを判定することが可能である。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

面積としての積分（リーマン和）

台形和による面積の近似

正確な面積を求めるのが難しい場合、リーマン和で近似する。区間を部分区間に分け、長方形（または台形）の面積の合計を求める。4つの標準的な推定値：

リーマン和：幅 dx の長方形で曲線下の面積を近似 — 各長方形の面積は $f(x)\,\Delta x$ であり、それらを加算することで面積を推定し、ストリップが狭くなるにつれて和は定積分に近づく。

左端リーマン和 — 各部分区間の左端における長方形の高さ。
右端リーマン和 — 各部分区間の右端における高さ。
中央値リーマン和 — 各部分区間の中央における高さ。
台形和 — 2つの端点の高さの平均を取る（台形）。

部分区間は均等（等幅）でも、不均等でもよい。不均等の場合は表から幅を読み取る。

過大評価か過小評価か？ 関数の振る舞いから判断する。増加関数においては、左端和は過小評価、右端和は過大評価となる。台形和は関数が下に凸のとき過大評価、上に凸のとき過小評価となる。試験問題ではどちらであり、なぜそうなるかを述べるよう求められる。

計算例。 表に $f(0)=3$、$f(2)=5$、$f(4)=8$、$f(6)=9$ が与えられている。右端リーマン和を用いて3つの等分割で $\int_0^6 f(x)\,dx$ を推定する（$\Delta x=2$）。各帯の右端点を使用する：

$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$

$f$ は増加しているため、この右端和は過大評価であり、左端和 $2(3+5+8)=32$ は過小評価となる。

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長方形で面積を近似する

y = ax³ + bx² + cx + d

リーマン和 は長方形を用いて曲線下の面積を近似します。より多くの細長い長方形を追加すると、推定値は正確な 定積分 に収束します。

語彙練習する

English	日本語
accumulated change/əˈkjuːmjʊleɪtɪd tʃeɪndʒ/	累積変化量
geometry/dʒiˈɒmətri/	幾何学
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	リーマン和
midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/	中点
Trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	台形和
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定積分

6.3

リーマン和と積分の記号

シラバス

持続的認識 (LIM-5): 定積分は、幾何学的・数値的方法を用いて近似できる。

学習目標 LIM-5.B: リーマン和の極限を定積分として解釈する。

LIM-5.B.1 近似リーマン和の極限は、定積分として解釈できる。
LIM-5.B.2 区間 $I$ の分割を必要とするリーマン和は、各項が部分区間内の点における関数の値にその部分区間の長さの分割を掛けた积之和。

学習目標 LIM-5.C: リーマン和の極限を定積分として表現する。

LIM-5.C.1 連続関数 $f$ の区間 $[a, b]$ における定積分 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ は、部分区間の幅が0に近づくときのリーマン和の極限である。すなわち、$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$ であり、ここで $n$ は部分区間の個数、$\Delta x_i$ は $i$ 番目の部分区間の幅、$x_i^{*}$ は $i$ 番目の部分区間内の一点である。
LIM-5.C.2 定積分は関連するリーマン和の極限に変換でき、リーマン和の極限は定積分として書ける。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

部分区間の幅がゼロに近づくにつれ、リーマン和は正確な値に収束する—それが定積分である：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x_i.$$

ここで $\Delta x_i$ は $i$ 番目の部分区間の幅であり、$x_i^{*}$ はその内部の一点である。したがって定積分とはリーマン和の極限そのものであり、互いに翻訳できる能力が必要である。

6.4

微積分の基本定理と蓄積関数

シラバス

持続的認識 (FUN-5): 微積分の基本定理は微分法と積分法を結びつける。

学習目標 FUN-5.A: 定積分を用いて蓄積関数を表現する。

FUN-5.A.1 定積分を用いて新しい関数を定義できる。
- FUN-5.A.1 ための例示: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$。
FUN-5.A.2 $f$ が $a$ を含む区間で連続関数である場合、$\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$ であり、ここで $x$ は区間内にある。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

微積分の基本定理

変数上限を持つ定積分は新しい蓄積関数を定義する。微積分の基本定理（第1部）によると、微分はこの蓄積を元に戻す。$f$ が連続であれば、

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$

つまり $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ならば、$g'(x)=f(x)$ かつ $g''(x)=f'(x)$ となる。これが非常に一般的な「let $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ...」という問題形式の核心である。

蓄積関数は符号付き面積を加算し、基本定理によればその導関数は f となる — 蓄積関数は符号付き面積を加算する；FTCによりその導関数は f である

探索

積分として面積を蓄積する

y = ax³ + bx² + cx + d

蓄積関数 $\int_a^x f(t)\,dt$ は $x$ が動くにつれて正負の面積を蓄積していきます。微積分の基本定理 によれば、その導関数は単に $f(x)$ です。

語彙練習する

English	日本語
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累積関数
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微積分の基本定理

6.5

蓄積関数の挙動

シラバス

持続的認識 (FUN-5): 微積分の基本定理は微分法と積分法を結びつける。

学習目標 FUN-5.A: 定積分を用いて蓄積関数を表現する。

FUN-5.A.3 関数 $f$ のグラフ、数値、解析的、および言語による表現は、関数 $g$ $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ として定義された情報を与える。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

$g'(x)=f(x)$ であるため、Unit 5 での議論は、$f$ のグラフを用いた蓄積関数にも適用される：

$g$ は $f>0$ の範囲で増加し、$f<0$ の範囲で減少します。
$g$ は $f$ が ゼロと交差する点（符号が変化する点）で局所極値をとります。
$g$ は $f$ が増加している区間で上に凸であり、$g$ の変曲点は $f$ が局所極を持つ点に現れる。

$g$ の値を求めるには、符号付き面積を計算します：$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 、軸より上の面積を加え、下側の面積を引きます。

6.6

定積分の性質

シラバス

持続的認識 (FUN-6): 幾何学や数学的规则の適用機会を見極めることで、積分が簡素化されることがある。

学習目標 FUN-6.A: 面積および定積分の性質を用いて定積分を計算する。

FUN-6.A.1 場合によっては、幾何学および定積分と面積の関係を用いて定積分を評価できる。
FUN-6.A.2 定積分の性質には、定数倍の関数の積分、2つの関数の和の積分、積分の上下限の反転、隣接する区間における関数の積分が含まれる。
FUN-6.A.3 定積分の定義は、除去可能な不連続点やジャンプ不連続点を持つ関数に拡張できる。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

これらの性質は計算を簡略化し、頻繁に用いられます：

$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$

$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$

最後のもの（内部点 $c$ での分割）は、グラフから読み取った部分積分を足し合わせて全体の積分を作成するために使えます。

隣接する区間の定積分は加算される；積分区間を逆転させると符号が変わる

6.7

微積分の基本定理と積分の評価

シラバス

English

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-6 Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.	FUN-6.B Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.	FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$. FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval. FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

微積分の基本定理の第2部は、原関数を用いて定積分を評価します。$F'=f$ であれば、

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

したがって：任意の原関数 $F$ を見つけ、その両端の値を引きます。これが多くの正確な積分の計算方法です。また、正味の変化量の視点も与えます：$\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$ 、つまり初期値に蓄積された変化量を足すことで、後の値が得られます。例として $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$ 。

** worked example.** $\int_1^3 (2x+1)\,dx$ を評価します。ある原関数は $F(x)=x^2+x$ なので、

$$\int_1^3(2x+1)\,dx=F(3)-F(1)=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$

定積分は曲線とx軸の間の符号付き面積です

6.8

原関数と不定積分

シラバス

持続的認識 (FUN-6): 幾何学や数学的规则の適用機会を見極めることで、積分が簡素化されることがある。

学習目標 FUN-6.C： 導関数の知識を用いて、関数の原始関数および不定積分を求める。

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ は関数 $f$ の不定積分であり、 $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ と表すことができ、ここで $F'(x) = f(x)$ と $C$ は任意の定数である。
FUN-6.C.2 導関数の法則は、原始関数を求めるための基礎となる。
FUN-6.C.3 多くの関数には、閉じた形の原始関数が存在しない。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

不定積分とは、すべての原関数の集合であり、積分定数を用いて表されます：

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$

各微分の規則を逆にして、基本的な原関数を組み立てます：

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq -1),\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx = e^x+C,$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$

原関数は定数の違いのみで、同じ傾きの垂直移動として表される

語彙練習する

English	日本語
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原関数
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定積分
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/	積分定数
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	置換積分法
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	多項式長除法
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/	平方完成

6.9

置換法による積分

シラバス

持続的認識 (FUN-6): 幾何学や数学的规则の適用機会を見極めることで、積分が簡素化されることがある。

学習目標 FUN-6.D: 置換または同等な形への整理が必要な被積分式について：(a) 不定積分を求める。(b) 定積分を評価する。

FUN-6.D.1 変数の置換は、原始関数を求める技法である。
FUN-6.D.2 定積分の場合、変数の置換には積分の積分区間の対応する変更が必要である。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

$u$-置換法は合成関数の微分則の逆操作です。内部関数 $u=g(x)$ を選び、$du=g'(x)\,dx$ とおき、積分を $u$ だけで書き直します：

$$\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

ある関数 とその導関数 の両方が含まれているか探します。定積分の場合、 either limits を $u$ の値に変えるか、元の limits に戻す前に $x$ に戻します。

** worked example.** $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ を評価します。内部関数は $u=x^2$ で、その導関数 $2x\,dx=du$ が含まれているため、

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$

$2x$ がちょうど $\dfrac{du}{dx}$ であることに気づくことが、この問題の鍵です。

6.10

多項式割り算と平方完成

シラバス

持続的認識 (FUN-6): 幾何学や数学的规则の適用機会を見極めることで、積分が簡素化されることがある。

学習目標 FUN-6.D: 置換または同等な形への整理が必要な被積分式について：(a) 不定積分を求める。(b) 定積分を評価する。

FUN-6.D.3 原函数を求める技法には、長除法や平方完成などの同等な形への整理が含まれる。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

2つの代数的な手順により、より多くの積分を基本形に当てはめることができます：有理関数の分子の次数が分母の次数の $\ge$ 場合の 多項式の長除法、および、二次関数の分母を arctangent または対数への積分可能な形にするための 平方完成。

6.14

原関数の選定技術

シラバス

このトピックは、逆微分法に適した手順を選択するスキルに焦点を当てることを意図している。学生は、逆微分法に関連するすべての学習目標について、何时以及如何应用这些目标进行练习。

出典: College Board AP コースおよび試験説明書

スキルトピック：積分に適切な手法を割り当てます。まず基本の原関数を試して、$u$-置換法（内部関数とその導関数がともに含まれている場合）を探します。代数（除法、平方完成、分数の分割など）を用いて被積分関数を標準形に再構成します。構造を先に特定することで、無駄な作業を防げます。

6.14

試験対策

積分は逆微分である。累乗則 $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ を用い、定数 $+C$ を忘れないようにする。
微積分の基本定理がこれらをつなぐ：$\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ 、および $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$ 。
数値表から リーマン和 や台形則を用いて定積分を近似します。
定積分は符号付き面積です（軸より下は負）。総面積を求めるには、符号が変わる点で分割します。
u-置換法を使い、 limits を適切に変換（または逆代入）することを忘れないようにします。

このトピックのインタラクティブ授業

一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。

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