円周運動

ラディアンとは、円の中心で作られる角で、その弧の長さが半径に等しいものである。半径$r$の円で長さ$s$の弧に対する角度（ラジン単位）は

ラジアンには単位がない（長さの比）。一周は $s = 2\pi r$ であり、したがって $\theta = 2\pi\ \text{rad}$ となる。半周は $\pi\ \text{rad}$ 、四分の一周は $\pi/2\ \text{rad}$ である。

変換には$1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$を使用する。このトピックでは計算機をラジアンモードに設定すること。「度(degree)」モードでは誤った値が出る。

1点満点の定義。 ラディアンとは、円の中心から見て、弧の長さが円の半径に等しいときに形成される角である。 言葉で記述すること — $\theta = s/r$だけでは定義にならない — および、弧上の距離を角度に変換したり、逆に角度を距離に変換したりするために$s = r\theta$を準備しておくこと。

ある物体が半径$r$の円を一定の速さ$v$で動くとき、次のように定義する：

• 角変位 $\theta$ — 選定した基準線からの半径が回転した角度（ラジン単位）。
• 角速度 $\omega$ — 角変位の変化率。

等速運動では$\omega$が一定であり、

単位：$\text{rad s}^{-1}$ 。

一定のものと変化するもの。 等速円運動では、速度の大きさ、角速度、周期、加速度の大きさは一定ですが、速度ベクトル、中心からの変位、加速度はすべて方向が変わるため連続的に変化します。「2つ変化する物理量を述べよ」と聞かれた場合、速度、加速度、変位、運動量のうち2つ挙げ、 direction（方向）が変化する旨を述べてください。

周期と周波数

物体が時間 $T$ （周期）で一回回転（$2\pi\ \text{rad}$ 、1 revolution）する場合、

ここで$f = 1/T$は回転の周波数 frequency（Hz）である。

線速度と角速度

1周期$T$で物体は一定の速さで距離$2\pi r$（円周 circumference）を進むため、

これにより線速度（接線速度）$v$ と角速度$\omega$ が関連付けられます。半径が大きいほど（同じ角速度であれば）、線速度は大きくなります。 merry-go-round の端にいる子供は中心付近にいる子供よりも速く動きますが、両者とも同じ時間で1周するためです。

** worked example（例題）。** 半径$4.0\ \text{m}$の遊具が$8.0\ \text{s}$ごとに1周する。角速度と外側の乗客の線速度を求めよ。

Worked example. The minute hand of a clock turns once every hour. A piece of modelling clay on the hand moves a total distance of $0.44\ \text{m}$ in $1400\ \text{s}$. Find the angular speed of the hand, the angle the clay turns through in that time, and its distance from the centre of the clock.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$。角変位$\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$。弧に沿った距離$s = r\theta$、したがって$r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$。確認：$v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$と$r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — 同じ値である。これらの問題におけるよくある罠は、半径を外周から測ることである：直径$9.3\ \text{cm}$の円盤の外周から$1.2\ \text{cm}$内側の塊は、半径$8.1\ \text{cm}$の円を描く。

** worked example.** 半径 $0.095\ \text{m}$ のペダル歯車と半径 $0.038\ \text{m}$ のリアホイール歯車を回って通過する自転車チェーンがある。ペダルは秒あたり $1.2$ 回転している。チェーンの速度とリア歯車の角速度を求めよ。次に、自転車の速度が同じままリア歯車をより小さいものに切り替える。計算せず、ペダルの角速度に何が起こるか説明せよ。

ペダルの角速度 $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$ 。チェーンのすべてのリンクはペダルギアの輪郭の速度で移動する：$v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$ 。リアギアの輪郭も同じ速度で動くので $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$ 。自転車の速度が変わらないため、リアホイールの角速度は変わらず、より小さいギアの輪郭はよりゆっくり動く（$v = r\omega$ は小さく $r$ が小さいため）。したがってチェーンの速度は遅くなり、同じチェーンによって駆動されるペダルギアの角速度は低くなる。

一定の速度で円周上を動く物体でも、速度は変化している——方向は常に変わり、大きさ自体は変わらない even though。速度の変化には加速度が必要である。この加速度は中心に向かい、向心加速度と呼ばれる。

2点満点の記述。 一様円運動では速度の大きさは一定だが、方向が変化するため速度は連続的に変化する；加速度の大きさは一定であり、常に円の中心に向き、速度に垂直である。「向心加速度の意味を述べよ」：円軌道の上を動く物体の加速度で、円の中心に向かうもの。

大きさ

2つの式は等しいのは $v = r\omega$ であるからである。自分が持っている量を含む方を選択せよ。

向心加速度はいつでも速度に垂直であり、運動方向に沿うことはない。（もし運動方向成分があれば、速度は変化する。）単位：$\text{m s}^{-2}$ 。

なぜ速度が変わらないか。 向心力はいつでも変位に垂直なので、物体に対して仕事を行わない；したがって運動エネルギー、つまり速度は一定である。速度の方向だけが変化する——これはまさに速度に垂直な加速度が行うことだ。

Worked example. The Earth is a sphere of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ rotating once in $24$ hours. Cambridge is at latitude $52.2°$ north. Find the radius of the circle in which Cambridge moves, its speed, and its centripetal acceleration. A student of mass $58.6\ \text{kg}$ stands on bathroom scales there; state and explain the effect of the rotation on the reading.

円は軸の周りにあるので $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$ 。$\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$ なので $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ および $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$ 。学生は軸に向かう合力 $ma = 1.2\ \text{N}$ を必要とするが、これは重量が上方の接触力より大きいことによってのみ生じる；したがってスケールの読みは重量 $mg = 575\ \text{N}$ より小さい——約1ニュートン分（加速度には鉛直成分 $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ があり、つまり $0.7\ \text{N}$ は $1.2\ \text{N}$ の一部である）。小さいが、符号と理由は点数になる。

ニュートンの第二法則により、一定速度で円運動を行う物体に働く合力力は

これが向心力である。それは常に中心に向かい、速度に垂直である。

向心力は新しい種類の力ではない——実際の力の合成結果である（張力、重力、摩擦力、静電気的引力、抗力、…）。問題文では、どの実際の力がそれを与えるかを特定せよ。

** worked example.** 質量 $0.20\ \text{kg}$ のボールが紐で結ばれており、半径 $0.50\ \text{m}$ の水平円周を秒 $3.0\ \text{m s}^{-1}$ で回されている。向心力（紐の張力）を求めよ。

向心力の由来

• 紐で結ばれたボール が水平円周を描く場合：紐の 張力。
• 平坦なカーブを曲がる自動車：タイヤと路面の間の摩擦（$F = m v^{2}/r$ ）。車が速すぎると摩擦が足りず、外側にスライドする。

道路の外側縁が上げられているとき、その道路は 傾斜 しているという。

• 傾斜したカーブ（摩擦なし）：抗力の水平成分；摩擦力不要のための角度 $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ 。
• 惑星または人工衛星の軌道上：万有引力、$G M m / r^{2} = m v^{2}/r$ 。
• 電子の円軌道（ボーア型模型）：電子と正の原子核の間の静電気的引力：

ここで $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ と $Z$ は原子核電荷である。$v$ について解いて軌道速度を得て、次に $T = 2\pi r/v$ 。

傾いた力：コンパウンドペンデュラム、円錐、およびスイング・ライド

水平円を描いて回転する紐につないだ球（圆锥振り子）、滑らかな円錐の内壁を転が球的、遊園地のスイングアトラクション、および傾斜した軌道上を走る車は、すべて同じ問題です。一つの力（張力または法線反発力）が垂直に対して$\theta$の角度で傾いています。これを分解します。その垂直成分は重力と釣り合い、水平成分が遠心力（向心力）全体となります：

図に別個の「向心力」を追加してはいけません。実際の力は重力と傾いた力の二つであり、それらの合力は水平で中心に向かっています。

** worked example（解題例）。** 半径$0.12\ \text{m}$の水平円を描く鋼球が、水平面とのなす角が$52°$である滑らかな円錐の内壁を運動しています。球に働く二つの力を挙げ、その合力の方向を述べ、球の速度と運動の周期を求めよ。

力は重力（垂直下向き）と円錐の表面からの法線反発力（表面に垂直、つまり垂直に対して$52°$）です。その合力は水平で円の中心に向かいます。垂直方向では$N\cos 52° = mg$；水平方向では$N\sin 52° = mv^{2}/r$。両者を割ると$v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$となるので、$v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$、したがって$T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$。質量は約分され、速度は質量に依存しません。

** worked example（解題例）。** 質量$0.29\ \text{kg}$の球が、ばね定数$40\ \text{N m}^{-1}$、自然長$6.0\ \text{cm}$のばねに吊るされています。球を水平円を描くように動かすと、ばねが垂直に対して$30°$の角度をなしました。張力、円の半径、および速度を求めよ。

垂直方向に $T\cos 30° = mg$ なので、$T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$。伸長量は $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$ なので、バネの長さは $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ および $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$ 。水平方向では $T\sin 30° = mv^{2}/r$ : $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$ 、$v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$ 。フックの法則が長さを与え、円が残りの部分を与える。

垂直円

円が垂直方向にある場合、速度は一定ではありません（重力が仕事をするため）—but 各瞬間において中心に向かう合力は依然として$m v^{2}/r$に等しい：

• ループの最下部：張力が上向き、重力が下向きなので、$T - mg = m v^{2}/r$ — ここでの張力が最大です。
• ループの最上部：張力も重力も下向き（中心向き）なので、$T + mg = m v^{2}/r$ — 張力は最小です。最上部での最小速度（紐がちょうど緩まない状態）を求めるには、$T = 0$を置きます：$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$となり、$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$が得られます。

** worked example（解題例）。** 半径$2.0\ \text{m}$の垂直ループを車が走ります。レールとの接触を保つための最上部での最小速度を求めよ（$g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$とする）。

最小速度ではレールの力がゼロなので、重力だけが向心力となります：$mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$、これより$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$：

一定速の式（$v = r\omega$、$\omega$一定）は水平円や、力が進行方向を変えるだけの場合（重力中の軌道、磁場中の電荷など）にも適用されます。

場中での円運動

** worked example（解題例）。** ヘリウム原子を、電荷$+2e$の核と、その周囲の半径$170\ \text{pm}$の同一円軌道を常に核の反対側に回る二つの電子からなるモデルとみなします。ある電子に働く合力と、その速度を求めよ。

各電子は核に距離$r$で引力を受け、他の電子に距離$2r$で斥力を受け、同じ直線上にあります：$F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$。これが向心力です：$v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$。

** worked example（解題例）。** 質量$1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$のプロトンが速度$2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$で、磁束密度$0.50\ \text{T}$の一様磁場に垂直に入射しました。その軌道の半径と一周にかかる時間を求めよ。

磁力 $Bqv$ は常に速度に対して垂直であるため、向心力となり速度は一定である：$Bqv = mv^{2}/r$ は $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$ を与え、$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ は速度に依存しない。そのため、より速い陽子ほど同じ時間で大きな円を描く。衛星の場合、重力も同様の役割を果たす：$\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$ 、軌道速度と周期は $r$ のみから導かれる。

1. 半径を求める $r$、かつ$v$か$\omega$を選ぶ。$v = r\omega$を用いて切り替える。
2. 向心加速度を求める $a = v^{2}/r$または$r\omega^{2}$を用いる。
3. 実際の力を列挙し、径方向（中心向きを正）のニュートンの第二法則を立てる。内向きの合力を$m v^{2}/r$に等しく置く。
4. 周期または周波数については、$\omega = 2\pi/T$を用いる、または$T = 2\pi r / v$を用いる。
5. 方向を確認：向心力と向心加速度は中心向き、速度は接線方向である。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• ラジアンでの計算；角速度 $\omega = 2\pi/T = v/r$、弧長 $s = r\theta$ は、円上を移動した距離を角度に変換する。
• 向心加速度 $a = v^2/r = \omega^2 r$；合力は中心に向かう——張力・重力・摩擦力・接触力によって提供され、追加の独立した力ではない。
• 与えられた状況で向心力の正体を必ず述べよ。傾いた力を分解する場合：垂直成分 $= mg$、水平成分 $= mv^{2}/r$ 。
• 半径を注意して読み取れ。縁から測った点はより小さい円を描く；回転する地球上の点は軸の周りを描き、半径は $R\cos\lambda$ 。
• 一つのチェーンに接続された2つの歯車はチェーンの線速度を共有する；一つの剛体車輪上の2点は角速度を共有する。

一般的なミス

• ラジアンの定義を「$180/\pi$ 度」または $\theta = s/r$ とする。得点には、弧の長さが半径と等しいことが必要である。
• 等速円運動において速度が一定であると言う。速さは一定だが、速度は方向が変わるため加速度が生じる。
• 張力や接触力の傍らに「向心力」という矢印を追加の力として描く誤り。これはそれらの合力であり、第3の独立した力ではない。
• $\omega t$ や $v = r\omega$ で度数を用いる誤り。この単元のすべての式はラジアンを前提としている。
• 力が仕事を行わないことを忘れる。運動に垂直な力は速さを変えず方向のみを変えるため、運動エネルギーは一定である。
• 緯度 $\lambda$ の点に対して、地球の半径を $r$ とする誤り。円は軸の周りなので、 $r = R\cos\lambda$ 。