物理量と単位

物理量は2つの要素を持つ：数値（その大きさ）と単位。数値だけでは何もわからない。測定対象とその単位も明記する必要がある。

例：「長さは1.5」では不十分。「長さは1.5 m」が物理量である。

推計

このシラバスに含まれる物理量の大きさを推定できるようになるべきである。紙 1 は通常このような質問で始まる。これらの概略値を覚えよう：

• 質量：成人男性 $\sim 70\ \text{kg}$；自動車 $\sim 1000\ \text{kg}$；リンゴ $\sim 0.1\ \text{kg}$
• 重量：成人男性 $\sim 700\ \text{N}$；リンゴ $\sim 1\ \text{N}$
• 身長：成人男性 $\sim 1.7\ \text{m}$；部屋の高さ $\sim 3\ \text{m}$
• 歩行速度：$\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$；高速道路の自動車：$\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• 空気中の音速：$\sim 340\ \text{m s}^{-1}$；真空内の光の速さ $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• 自由落下の加速度：$g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• 密度：水 $1000\ \text{kg m}^{-3}$；空気 $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$；鋼 $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• 大気圧：$\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• 室内温度：$\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• ポットの消費電力：$\sim 2\ \text{kW}$；階段を上る人の出力 $\sim 300\ \text{W}$
• 可視光の波長：$\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$；原子の直径 $\sim 10^{-10}\ \text{m}$；原子核の直径 $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

良い推計は正しい桁数（10のべき乗）を持っている。成人の場合、70 kgは良い推測だが、7 kgではない。

リストにない物理量を推計するには、既知のものを組み立てて導く。移動する自動車の運動エネルギーは$\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$。立っている人間の足元にある圧力は$700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$である。次に進む前に、10のべき乗が妥当であることを必ず確認せよ。

基本単位

SI系には7つの基本量があり、そのうち5つがこのトピックで用いられる。この5つとそれらの単位を知らなければならない：

• 質量 — キログラム, $\text{kg}$
• 長さ — メートル, $\text{m}$
• 時間 — 秒, $\text{s}$
• 電流 — アンペア, $\text{A}$
• 温度 — ケルビン, $\text{K}$

このシラバスのほぼすべての単位はこれら5つから構成されている。例外は物質量のSI基本単位であるモル（mol）であり、アボガドロ定数や気体法則とともに登場する。

誘導単位

誘導単位は基本単位の積や商によって作られる。カリキュラムに含まれるあらゆる量を基本単位で表せるようにしなければならない。

定義する式から誘導単位を導く：

• 速度 ＝ 距離 / 時間、したがって単位は$\text{m s}^{-1}$
• 加速度 ＝ 速度変化量 / 時間、したがって単位は$\text{m s}^{-2}$
• 力 ＝ 質量 × 加速度、したがって単位は$\text{kg m s}^{-2}$。ニュートンとは$1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$である。
• 仕事 と エネルギー ＝ 力 × 距離、したがって単位は$\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$。ジュールとは$1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$である。
• 出力（パワ） ＝ エネルギー / 時間、したがって単位は$\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$。ワットとは$1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$である。
• 圧力 と 応力 ＝ 力 / 面積、したがって単位は$\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$。パスカルとは$1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$である。

ある量のSI基本単位を求める問題では、各名付けられた単位を基本単位に置き換え、簡略化せよ。例：ワットのSI基本単位は$\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$である。

次元の整合性確認

方程式が次元一様であるとは、両辺が同じ基本単位を持つことを意味する。平素語で言えば、両辺の単位が一致していることである。

両辺を基本単位で書き、比較する。方程式$v^{2} = u^{2} + 2as$をとる：

• 左辺：$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右辺、第1項：$(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• 右辺、第2項：$\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

両辺とも$\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$となるので、単位は一致している。

注意：単位が一致しても、方程式全体が正しいとは限らない。数値が間違っていたり、2倍の係数が欠落していたりする可能性がある。しかし、単位が一致しない場合は、方程式が間違いであることは確定している。

** worked example.** 落下する球に働く抵抗は$F = kv^{2}$で与えられ、$v$は速度である。定数$k$のSI基本単位を求めよ。

変形すると：$k = F / v^{2}$。基本単位において、$F$は$\text{kg m s}^{-2}$、$v^{2}$は$\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$であるため、

選択式問題では「どの方程式が正しいか？」と問われることが多い。各選択肢の基本単位を確認し、次元の整合性（同次性）がある方程式のみが正解となる。純数（2, $\pi$, $\tfrac{1}{2}$ など）には単位がないため、このチェックには影響しない。

接頭辞

接頭辞とは、単位の前に付記される文字で、10のべき乗によってその値を大きくまたは小さくするものである。これらは必ず知っておく必要がある：

接頭辞付き単位を基本単位に変換するには、接頭辞を対応する倍率に置き換え、簡略化する。例：$0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ を $\text{N m}^{-2}$ に変換する：

$\text{mm}^{2}$ のような二乗された単位については特に注意が必要である。倍率も二乗する必要がある。

すべての測定にはある程度の不確かさが含まれる——値を完全に確定することはできない。優れた実験者は、不確かさがどこから生じるかを理解し、適当な推定を行い、最終的な答えにも反映させる。

系誤差と偶然誤差

系誤差は、すべての読み取り値を同じ量だけ、同じ方向に変化させる。測定を繰り返しても見つけることはできない。主な原因：

• ゼロ誤差（真の値がゼロのとき、目盛りがゼロを示さない）
• 較正誤差（目盛り自体が間違っている）
• パララックス（観測者の目が常に目盛りの片側に位置している）

系誤差は**精度（正確さ）**を低下させるが、精密さは変化させない。

偶然誤差は、読み取り値が真の値の上下面にランダムに振動し、特定のパターンを持たない。主な原因には、目盛りの読み取りの丁寧さ、環境条件の変化、そして機器が表せる最小単位がある。測定を何度も繰り返して平均値をとることで、偶然誤差は部分的に相殺される。

偶然誤差は精密さを低下させる。しかし、十分な反復回数であれば、平均値は依然として正確であることができる。

グラフ上では、2種類の誤差は異なる外見を示す。系誤差はすべての点を同じ量だけずらすため、近似直線の傾きは保たれるが原点を通らなくなり、切片が変わる。偶然誤差は点を線上下面にばらつかせるが、ばらつきの中央を通る近似直線を引けば、信頼できる傾きが得られる。

精密さと正確さ

精密さとは、繰り返し読み取りが互いにどれだけ近いかを示す。精密な読み取りは非常に密集している。

正確さとは、読み取り（または複数の読み取りの平均）が真の値にどれだけ近いかを示す。

一連の読み取りには以下のいずれかがある：

• 精密かつ正確 — 互いに近く、真の値に近い
• 精密だが正確ではない — 互いに近く、真の値から離れている（系統的誤差）
• 正確だが精密ではない — ばらついているが、平均値は真の値に近い
• どちらでもない — ばらつきがあり、真の値から離れている

繰り返し読み取りの表が出題された場合、ばらつき（精密さ）と平均値（正確さ）を別々に確認する。

読み取りの不確かさの推定

不確かさを合成する前に、各生データに対して適切な不確かさを設定する必要がある：

• アナログスケールの単一読み取り値：最小目盛りの半分（メーター定規では$1\ \text{mm}$まで読めるため、読み取り値は$\pm 0.5\ \text{mm}$）。長さは両端にそれぞれ読み取り値が必要なので、不確かさは$\pm 1\ \text{mm}$となる。
• デジタルメーター：表示される最終桁の$\pm 1$（秒計が$2.47\ \text{s}$を表示する場合、不確かさは$\pm 0.01\ \text{s}$）。
• 手動タイマー測定：ディスプレイよりも反応時間が重要である。約$\pm 0.1$から$0.2\ \text{s}$程度を考慮し、一度の振動ではなく多くの振動の時間を測ることで、同じ不確かさをすべての振動に割り当てることができる。
• 繰り返し読み取り：不確かさは範囲の半分である。$2.42$、$2.48$、$2.45\ \text{s}$の3回の計測の平均は$2.45\ \text{s}$、範囲は$0.06\ \text{s}$なので、$t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$となる。

誠実に答える。影の端が見にくい場合、スケールが細かくても位置の不確かさは数ミリメートルになる。採点者は「最小目盛り」を困難な読み取りの不確かさとして認めない。

導出量の不確かさ

測定値は通常 $x \pm \Delta x$ のように書かれる。ここで $\Delta x$ は絶対不確かさである。相対不確かさ（百分率） は以下のように計算する：

導出量とは、測定値から計算した量であり、その不確かさは単純な規則で見積もれる：

• 加算・減算 — 絶対不確かさを足し合わせる。$y = a + b$ や $y = a - b$ の場合、結果は $\Delta y = \Delta a + \Delta b$ となる。
• 乗算・除算 — 相対不確かさを足し合わせる。$y = \dfrac{a \cdot b}{c}$ の場合、
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• べき乗 — 相対不確かさに指数をかける。$y = a^{n}$ の場合、結果は $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$ となる。

** worked example.** 球の直径が $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$ と測定された。球の体積は $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$ であり、したがって $V \propto d^{3}$ ($V$ は $d$ の立方に依存する)。

$d$ の相対不確かさは

$V \propto d^{3}$であるため、$V$の百分率不確かさはこの値の3倍、つまり約$1.14\%$となる。体積は$\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$である。よって絶対不確かさは$0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$となる。最終的な答えは$V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$である。

2つの値は一致するか？ 実技問題では、2つの計算値が提示された関係式を支持しているかどうかを問われることがある。「近い」とだけ言うのではなく、百分率差を計算せよ：

これを $k$ の相対不確かさ（または問題で指定された基準、通常は10%）と比較する。差が小さい場合は、不確かさの範囲内で2つの値は一致しており、関係式は支持される。大きい場合は一致しない。

有効数字

計算量を記載する際は、使用した測定値の中で最も精度の低いものと同じ有効数字の桁数とする。このシラバスでは通常2桁または3桁である。有効数字が多すぎると実際より正確にみえ、少なさすぎると有用な情報が失われる。

実技試験では選択した桁数の根拠を説明する必要がある。生データを明記し、「$a$ は2桁有効数字であるのは、$L$ と $t$ がそれぞれ2桁有効数字で測定されたためである」のように述べる。「生データのため」という表現だけでは点数に入らない。結果表の場合、各行の最も精度の低い生データに基づいて判定し、各行を同じ桁数に強制的に合わせる必要はない。

グラフ上の不確かさ

Paper 5では、グラフを通じて不確かさを扱うことが求められる：

• 各点をエラーバー付きでプロットし、その長さにはその値の絶対不確かさを示す。
• 点を通る最良拟合直線を描き、次に許容される最悪の直線を描く。これはすべてのエラーバーを通過する最も急な（または緩やかな）直線である。
• 傾きの不確実性は、2つの傾きの差である $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$ である。切片の不確実性も同様の方法で見つけることができる。
• 対数プロットを描くとき、$\ln x$ の絶対不確実性は $\Delta x / x$ であり（$\lg x$ については $0.434\,\Delta x / x$ である）、$x$ の最大値と最小値をそれぞれ独立して計算する。

したがって、傾きの百分率不確実性は、上記の規則を用いてそこから計算されるあらゆる量にも反映される。

スカラーは大きさのみを持つ。ベクトルは大きさと方向の両方を持つ。

カリキュラムからの例：

• スカラー：質量、時間、温度、エネルギー、仕事、出力、距離、速さ、圧力、密度、電荷
• ベクトル：変位、速度、加速度、力（重力を含む）、運動量

クイックテスト：「どの方向か？」と問える量はベクトルである。「温度はどの方向か？」と問うことはできないため、温度はスカラーである。「速度はどの方向か？」と問えるため、速度はベクトルである。

ベクトルの加算と減算

ベクトルは矢印として描かれる：矢印の方向が量の方向を示し、矢印の長さ（スケールに従って描かれたもの）が大きさ（絶対値）を示す。

2つの共面ベクトル（同じ平面上にあるベクトル）を加えるには、頭から尾へ描く。合成ベクトルは最初の矢印の尾から2番目の矢印の頭へ向かう。

$\vec{X} - \vec{Y}$ を求めるには、$\vec{Y}$ の逆方向のベクトルを加える：$\vec{X} + (-\vec{Y})$。$\vec{Y}$ の逆方向のベクトルは $\vec{Y}$ と同じ大きさを持つが、反対向きである。

2つのベクトルが直角（90°）な場合、合成ベクトルの大きさは

その方向は $\tan\theta = Y / X$ より導かれる。

** worked example.** 川の流れが東に $0.5\ \text{m s}^{-1}$ で流れている中、泳ぎ手が北に $1.2\ \text{m s}^{-1}$ で泳ぐ。合成速度の大きさと方向を求めよ。

2つの速度は互いに直交するため、

角度 $\tan\theta = 0.5/1.2$ において、北より $\theta \approx 23°$ 東寄りの方向となる。

2つのベクトルが同じ大きさ $F$ を持ち、その間の角度が $2\alpha$ の場合、合成ベクトルの大きさは $2F\cos\alpha$ となり、角度を二等分する線上に位置する。

** worked example.** 2つの力が $6.0\ \text{N}$ で、その間の角度が $60°$ のとき、物体に作用している。合成力を求めよ。

ここで $2\alpha = 60°$ なので、$\alpha = 30°$ と $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$ は、2つの力の中間にある線上に沿う。分解すると同じ結果が得られる：各力はその線上に $6.0\cos 30°$ という成分を持ち、それに直交する成分は相殺し合う。

他の任意の角度にある2つのベクトルについては、ベクトル三角形のスケッチ図を描いて合成ベクトルを測定するか、あるいは両方のベクトルを直交成分に分解し、成分を加算して、$\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$を用いて再合成する。

** worked example.** 東に $5.0\ \text{m s}^{-1}$ で動くボールが打たれて北に $5.0\ \text{m s}^{-1}$ で動くようになった。速度の変化を求めよ。

速度の変化はベクトル減算である：$\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$。$5.0\ \text{m s}^{-1}$ を北向きに描き、初期速度の逆方向である $5.0\ \text{m s}^{-1}$ を西向きに加える。これら2つは直交するため、$|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$ となり、北西を向く。速さは変わっていないが、速度は変わった。そのためボールに力が働いたはずである（トピック3参照）。

ベクトルの直交成分への分解

任意のベクトルは2つの直交（直角な）成分に分解できる。通常、これらは水平成分と垂直成分、あるいは表面に沿った成分と表面に垂直な成分である。水平面に対して角度 $\theta$ をなすベクトル $\vec{v}$ について：

問題を最も単純にする方向を選択する。斜面（傾斜平面）上では、重力を斜面に沿った成分とそれに垂直な成分に分解する：

$\theta$ は斜面の水平面に対する傾き角である。

ベクトルのどの程度が特定の方向に作用するかを知る必要がある場合、常にそれを成分に分解します。例えば：斜面に沿って作用する力の部分や、投げられたボールの速度の水平成分および垂直成分などです。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 全ての答えに 単位 を付け、次元の一貫性 を確認せよ — 方程式の両辺は同じ基本単位を持つ必要がある。
• 偶然誤差（反復測定・平均化で減少する）と 系誤差（ゼロまたは校正誤差であり、反復測定では除去できない）を区別せよ。
• 不確かさを合成する：足し算・引き算では 絶対不確かさを加算、掛け算・割り算では 相対不確かさを加算（指数がある場合は%にその乗数を掛ける）。
• 精度（散らばりが小さいこと）と 正確さ（真値に近いこと）を区別せよ。
• ベクトルを互いに直交する成分（$F\cos\theta$, $F\sin\theta$）に分解する；ベクトルは頭から尾へつなぐか、成分で加算する。

一般的なミス

• 5 cmを5、20 gを20のようにそのまま代入する。接頭語を先に換算せよ：0.05 m, 0.020 kg。
• Giving the percentage uncertainty in $T^{2}$ as the same as in $T$. Squaring doubles it; a square root halves it.
• 相対不確かさと絶対不確かさを同じ数字として扱う。
• 「最小目盛り」を読み取りの不確かさとして引用する（読み取りが困難だった場合）。
• 定義に対して2つの答えを提示する。一つに絞って答える。

物理量の識別と概算

物理量とその単位を区別する：温度はケルビン、時間は秒や分、電位差はボルト、バネ定数はN/mで測定される。物理量は測定可能な数値の大きさを持ち、単位名やカテゴリのみでは物理量を表さない。値は分数也可以是、単位はSI単位系以外のもの也可以是。可視光の波長は概ね400–700 nmであり、緑色は約540 nm（$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm m$）である。