3.3 · Geometry and measures

OxfordAQA unit 9260 3.3 (Versi Spesifikasi 5.1) — pada 31.5% dari total skor spesimen. Baris Inti G1–G26 mencakup fakta sudut hingga konstruksi, mensurasi, kesebangunan, trigonometri, transformasi, vektor, dan matriks; penambah Perluasan menambahkan seluruh program teorema lingkaran dengan pembuktian, kongruensi syarat, sifat, rumus bola/balang kerucut/tirus/bonggol, kesamaan k-k²-k³, sektor, 3D Pythagoras dan trigonometri, aturan sinus/kosinus dengan ½ab sinC, transformasi gabungan dengan faktor skala pecahan/negatif, geometri vektor, dan program matriks 2×2 (identitas, transformasi persegi satuan, kombinasi). Spesimen 1E adalah kertas geometri; baris yang tidak diambil sampelnya diberi label spesifikasi asal.

Wajib tahu untuk unit 3.3 (TIDAK ada lembar rumus):

Istilah konvensional: titik, garis, titik sudut, sisi, bidang; sejajar, tegak lurus; poligon dan poligon beraturan; pelabelian standar segitiga. Fakta sudut: pada titik (360°), pada garis (180°), vertikal berhadapan; garis sejajar memberikan berselang-seling, sepadan dan sehadap dalam (gunakan nama-nama ini dalam alasan, jangan "sudut Z"); jumlah segitiga 180° dengan .angular, segi tiga sama sisi dan keluarga segi tiga sembarang. Jumlah poligon: interior $(n-2) \times 180°$, eksterior $360°$; untuk poligon beraturan juga sudut di pusat $= \tfrac{360°} {n}$. Bangun empat sisi khusus (persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, layang-layang, belah ketupat) membawa sifat sisi/sudut/diagonal mereka, dan bentuk 2D memiliki refleksi dan rotasi simetri hitung (segi enam beraturan: 6 garis, urutan 6).

Kongruensi dengan kondisi perluasan untuk segitiga — SSS, SAS, ASA, RHS — masing-masing dibenarkan oleh tiga pengukuran independen mana yang menentukan bentuk segitiga. Keserupaan mengalikan panjang dengan $k$: (Perluasan) luas dengan $k^2$, volume dengan $k^3$, dalam setiap arah.

Program perluasan lingkaran: sudut di pusat adalah dua kali sudut di keliling; sudut setengah lingkaran adalah 90°; sudut dalam busur yang sama adalah sama; sudut berhadapan pada jajargenaga siklis berjumlah 180°; singgung $\perp$ jari-jari; singgung dari titik di luar sama panjang; garis tegak lurus dari pusat membagi dua tali busur; teorema segmen berselang. Rantai terverifikasi: sudut di keliling 35° menghadap busur yang sama dengan sudut pusat 70°, dan sudut dari busur BERLAWAN adalah $\tfrac12(360° - 70°) = 145°$ — dua sudut keliling merupakan sudut berhadapan segiempat talibusur ($35° + 145° = 180°$) — setiap langkah ini dinamai teoremnya (soal lingkaran pada spesimen 1E membawa jawaban dari keluarga ini; permintaan bukti geometris G9).

Wajah, permukaan, rusuk dan titik sudut kubus, balok, prisma, silinder, limas, kerucut, dan bola; peta dan elevasi (tampak depan, samping, atas — sebuah baris spesifikasi tidak diambil sampel oleh para spesimen). Ukur ruas garis dan sudut; gambar berskala dengan faktor skala; arah: tiga angka, searah jarum jam dari utara (Perluasan mencakup delapan titik kompas) — contoh 2E specimen 252° berasal dari rantai arah: arah balik ditambah sudut di suatu titik.

Contoh terpecahkan: sudut dari dua azimut. $B$ berada pada azimut 070° dari $A$, dan $C$ berada pada azimut 160° dari $B$. Temukan sudut $ABC$. Azimut $A$ DARI $B$ adalah azimut balik $070° + 180° = 250°$. Di $B$, arah ke $A$ adalah 250° dan arah ke $C$ adalah 160°, sehingga sudut $ABC = 250° - 160° = 90°$. Gambar garis utara di SETIAP titik dari mana Anda bekerja; azimut diukur pada titik yang dinamai setelah "dari".

Konstruksi penggaris dan kompas: bagian tegak lurus dari segmen, tegak lurus terhadap garis dari/pada titik, pembagi sudut, sudut 60° — digunakan untuk membangun bangun dan menyelesaikan masalah loki; jarak tegak lurus dari titik ke garis adalah yang terpendek. Biarkan semua busur tetap terlihat: busur adalah proses pengerjaan.

Satuan standar dengan konversi (waktu 12/24-jam; panjang, luas, volume/kapasitas, massa; satuan majemuk kecepatan dan densitas). Luas: segitiga $\tfrac12 bh$, jajargenjang $bh$, trapesium $\tfrac12(a+b)h$; volume melalui $V = Ah$ (potongan melintang potongan melintang). Lingkaran: $2\pi r$, $\pi r^2$; (Perluasan) sektor busur $\tfrac\theta{360} \times 2\pi r$ dan luas $\tfrac\theta{360} \times \pi r^2$, plus rumus permukaan dan volume bola/pyramid/cone dan bangun gabungan termasuk frustum (baris spesifikasi, beberapa tidak diambil sampelnya) — kerucut dari $r = 5$, $h = 12$ memiliki miring 13, $V = 100\pi$ dan permukaan melengkung $65\pi$; soal kerucut pada specimen 1E soal kerucut spesimen specimen menemukan proporsi $p = 15$.

Contoh terpecahkan: sebuah sektor. Sebuah sektor memiliki jari-jari 6 cm dan sudut 150°. Busurnya adalah $\tfrac{150}{360} \times 2\pi \times 6 = 5\pi = 15.7$ cm, sehingga kelilingnya adalah $5\pi + 6 + 6 = 27.7$ cm (kedua jari-jari dihitung). Luasnya adalah $\tfrac{150}{360} \times \pi \times 6^2 = 15\pi = 47.1\ \text{cm}^2$. Bangun sebangun (Perluasan): panjang $k$ : luas $k^2$ : volume $k^3$ — bangun serupa pada specimen 2E memberikan 864 cm³ dari rasio volume.

$a^2 + b^2 = c^2$ dengan SOH CAH TOA pada segitiga siku-siku — 2D selalu, 3D figura di Perluasan: ekstrak segitiga siku-siku terlebih dahulu (contoh 1E trigonometri 3D) memberikan sudut 62.7°). Aturan sinus $\dfrac a{\sin A} = \dfrac b{\sin B}$ dan aturan cosinus $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ mencakup semua segitiga (Perluasan), dengan Luas $= \tfrac12 ab\sin C$ dapat dibalik — aturan cosinus pada spesimen 2E memberikan sudut 102.6°, dan $\cos x = \tfrac8{11}$ menghasilkan $x = 43.3°$.

Contoh terpecahkan: keluarga 2E aturan cosinus, disesuaikan. Sebuah segitiga memiliki $a = 9$, $b = 11$ and angle $C = 72°$. $c^2 = 81 + 121 - 2(9)(11)\cos 72° = 202 - 198 \times 0.309 = 202 - 61.2 = 140.8$, so $c = 11.9$ (3 angka penting). Kemudian sudut terkecil berada di hadapan sisi terpendek: $\cos A = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \tfrac{121 + 140.8 - 81}{2 \times 11 \times 11.87} = \tfrac{180.8}{261.1} = 0.693$, sehingga $A = 46.2°$ (menjaga $c$ tidak dibulatkan) — periksa $A + B + C = 180°$ dengan $B = 61.8°$. ✓

Rotasi tunggal, refleksi, translasi (oleh sebuah vektor) dan pembesaran (faktor positif) — dengan sifat yang dipertahankan dinamakan; penambahan Perluasan mencakup transformasi gabungan dan pembesaran oleh faktor skala pecahan dan negatif (bayangan terbalik, mengecil di sisi berlawanan dari pusat). Vektor: notasi, jumlah, selisih dan kelipatan skalar pusat). Vektor: notasi, penjumlahan, pengurangan, dan kelipatan skalar (secara grafis dan dengan komponen), hukum komutatif dan asosiatif, serta geometri 2D sederhana — spesimen 2E membuktikan $CB \parallel MN$ melalui rasio $\tfrac12$ menggunakan vektor.

Program matriks 2×2 (Perluasan): perkalian (2×2 dengan matriks 2×2, dengan matriks 2×1, skalar), matriks identitas $I$; transformasi SATU BUKU — rotasi 90°/180°/270° di sekitar titik asal, refleksi pada garis $x = 0$, $y = 0$, $y = x$, $y = -x$, perbesaran berpusat di titik asal — direpresentasikan oleh matriks seperti $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ (refleksi pada garis $y = -x$, matriks pada spesimen 1E); transformasi gabungan melalui perkalian matriks, dalam urutan penerapan transformasi.

Contoh terpecahkan: transformasi gabungan. Refleksi terhadap $y = x$, matriks $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, kemudian rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, matriks $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Transformasi PERTAMA berada di SEBELAH KANAN:

yang merupakan refleksi terhadap sumbu $y$ ($x = 0$). Periksa dengan sebuah titik: $(2, 1)$ direfleksikan menjadi $(1, 2)$, yang berotasi menjadi $(-2, 1)$, dan refleksi terhadap sumbu $y$ juga mengirimkan $(2, 1)$ ke $(-2, 1)$. ✓ Mengalikan dalam urutan lain menghasilkan $\mathbf{M}\mathbf{R}$, sebuah refleksi terhadap sumbu $x$: urutan itu penting.

Contoh terpecahkan: keluarga 1E pemecahan matriks, disesuaikan. Selesaikan $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$: persamaan-persamaannya adalah $3x + y = 10$ dan $x + 2y = 5$. Dari yang pertama, $y = 10 - 3x$; substitusikan: $x + 2(10 - 3x) = 5$, sehingga $-5x = -15$, menghasilkan $x = 3$ dan $y = 1$. Periksa: $3(3) + 1 = 10$. ✓ The 1E specimen's own pairs $(6, -\tfrac12)$ and $(-2, -\tfrac52)$ diperoleh dari metode yang sama pada sistem kedua yang terkait.

• Istilah konvensional dan notasi segitiga; fakta sudut; sudut garis sejajar; jumlah sudut dalam/luar/pusat poligon; sifat segiempat; jumlah simetri (G1–G6).
• Kekongruenan dengan SSS/SAS/ASA/RHS; kemiripan dengan k, k², k³ rasio (G7, G17, Perluasan).
• Bahasa lingkaran dan seluruh bank teorema dengan alasan bergaya pembuktian (G8–G9, Perluasan; rantai verifikasi 35° → 70° → 145°).
• Sifat bentuk 3D; denah dan tampilan depan/samping (tidak diambil sampelnya); pengukuran, faktor skala, arah mata angin (G10–G12).
• Konstruksi (empat tipe jangka dan penggaris) dengan locus; sifat jarak terpendek (G13).
• Satuan dan ukuran majemuk; rumus luas dan V = Ah; rumus lingkaran; juring; permukaan dan volume bola/piramida/konus/trapesoid kerucut; bangun gabungan (G14–G16, Perluasan).
• Pythagoras dan trigonometri dalam 2D dan 3D; aturan sinus/kosinus dan ½ab sinC (G19–G20, Perluasan; 1E 62.7°, 2E 102.6° dan cos x = 8/11).
• Transformasi termasuk perluasan kombinasi dan pecahan/negatif (G21, Perluasan).
• Notasi vektor dan geometri (G22; pembuktian CB ∥ MN pada 2E).
• Perkalian matriks, identitas, transformasi persegi satuan dan kombinasinya (G23–G26, Perluasan; matriks 1E).

Catatan Batas: Tidak ada lembar rumus di 9260. Garis yang ditandai "tidak diambil sampel" (rencana dan pandangan samping, bagian dari program benda ruang) adalah asli spesifikasi; spesimen hanya untuk tingkatan Perluasan. spesimen hanya untuk tingkat Perluasan. Contoh dikerjakan diadaptasi dari pasangan 2016 spesimen atau asli.