3.2 · Algebra

OxfordAQA 9260 unit 3.2 (spesifikasi untuk penilaian pertama 2018) — unit terbesar di 35% dari setiap kertas Lanjutan. Baris Inti A1–A26 mencakup notasi hingga grafik, persamaan, ketaksamaan, dan barisan; tambahan Lanjutan menambahkan pengaturan ulang dua-subjek, ekspansi tiga, semua faktorisasi kuadrat, pangkat pecahan, kuadrat pecahan aljabar, pembuktian formal, toolkit fungsi lengkap (domain, jangkauan, terbalik, komposit), persamaan garis, eksponensial dan trigonometri graf, diferensiasi dengan garis singgung dan titik stasioner, melengkapkan kuadrat sempurna, gradien dan area di bawah grafik, variasi, setiap pasangan kesimultanan, ketaksamaan kuadrat dan barisan kuadrat. Pasangan contoh 2E mengambil sampel unit ini secara luas (aljabar adalah tulang punggungnya); garis yang tidak diambil sampel ditandai sebagai asli spesifikasi.

Wajib tahu untuk unit 3.2 (TIDAK ada lembar rumus):

Huruf menyatakan bilangan umum; substitusikan angka ke dalam rumus dan ekspresi (positif, negatif, pecahan). Penambahan perluasan menyusun ulang rumus kompleks termasuk ketika subjek muncul dua kali**: dari $ax + 3 = 5(xt) - 2a$, kumpulkan istilah mata pelajaran terlebih dahulu — $ax + 2a = 5xt - 3$, sehingga $a(x + 2) = 5xt - 3$ dan $a = \dfrac{5xt - 3}{x + 2}$. Periksa setiap penyusunan ulang secara numerik.

Kumpulkan suku sejenis; kembangkan kurung tunggal dan (Perluasan) hasil kali dua atau tiga binomial: $(x + 2)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 - 7x - 6$. Faktorkan dengan faktor persekutuan dan (Perluasan) setiap persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c$, termasuk selisih dua kuadrat: $2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5)$ dan $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$. Index laws run to fractional powers: $4c^5 \div 3d^3$ tetap sebagai $\tfrac{4c^5}{3d^3}$ dalam jawaban bentuk indeks (bentuk jawaban spesimen 1E).

Ekspresi rasional (Perluasan) tambahkan, kurangkan, kalikan dan bagi linear atau kuadrat — faktorkan terlebih dahulu, coret faktor penuh, penyebut penyebut. 2E specimen's $\dfrac{11m - 14}{m^2 - 3m - 4}$ dan $\dfrac{2x + 3}{x + 4}$ jawaban berasal dari mesin ini.

Contoh terpecah: sederhanakan, lalu kurangkan. (a) Sederhanakan $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$. (b) Tulis $\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{1}{x - 1}$ sebagai satu pecahan tunggal.

(a) Faktorkan pembilang dan penyebut, lalu coret faktor persekutuan utuh $(x + 3)$:

(b) Penyebut persekutuan adalah $(x + 2)(x - 1)$. Letakkan pembilang kedua dalam tanda kurung sehingga tanda minus mencapai kedua suku:

Mencoret suku tunggal (seperti $x^2$ pada bagian (a)) tidak pernah diperbolehkan: hanya faktor utuh yang dapat dicoret.

Buat argumen matematis bahwa identitas berlaku untuk setiap nilai — dengan perluasan kebutuhan akan pembuktian formal. Struktur: nyatakan aljabarnya, sederhanakan, bandingkan dengan klaim. Klasik (2E spesimen keluarga): buktikan bahwa $n^2 + n + 9$ ganjil untuk setiap bilangan bulat $n$. Tulis $n^2 + n = n(n + 1)$: hasil kali dua bilangan bulat berturut-turut, salah satu di antaranya genap, sehingga $n(n + 1)$ genap, dan genap $+ 9$ ganjil. Another bukti paritas: $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$ — kelipatan dari 8 untuk setiap bilangan bulat $n$. Contoh numerik bukanlah sebuah bukti.

Sebuah fungsi memetakan setiap input menjadi tepat satu output (Inti: input–output sederhana) domain dan range). Komposit: $\mathrm{f}(x) = \ldots$, domain dan range). Komposit: $\mathrm{fg}(x) = \mathrm{f}(g(x))$, terapkan $g$ terlebih dahulu — spesimen 2E membangun $\mathrm{fg}(x) = (x - 5)^2 + 1$ dan memecahkan $\mathrm{fg}(x) = 5$: $(x - 5)^2 = 4$ memberikan $x = 3$ (atau $x = 7$; periksa: $(3 - 5)^2 + 1 = 5$). Invers: tukar dan susun ulang — dari spesimen 1E, $\mathrm{f}^{-1}(x) = \tfrac x3$ berasal dari $\mathrm{f}(x) = 3x$.

Koordinat di keempat kuadran; plot $y = mx + c$; tambahan Perluasan menemukan persamaan melalui dua titik atau melalui satu titik dengan gradien tertentu, dan menggunakan $y - y_1 = m(x - x_1)$: melalui $(1, 7)$ dan $(2, 9)$, $m = 2$ dan $y = 2x + 5$. Garis sejajar memiliki $m$; gradien tegak lurus dikalikan menghasilkan $-1$ (spesifikasi garis, tidak diambil sampelnya).

Sketsa dan tafsirkan grafik linear, kuadratik, kubik dan resiprokal; bagian Perluasan penambahan menambahkan fungsi eksponensial $y = k^x$ untuk pangkat positif $k$ dan grafik trigonometri (derajat) — kedua garis spesifikasi tidak dicakup oleh spesimen. Identifikasi akar, titik potong dan titik belok; tambahan Perluasan DEDUCES titik belok dengan melengkapi kuadrat sempurna: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$ (specification line, not sampled). Gradien dan luas di bawah grafik (termasuk grafik kuadrat dan non-linear) diestimasi dengan garis singgung dan trapesium, dan — pada tingkat Perluasan — dihitung secara eksak dengan turunan (bagian berikutnya).

Blok kalkulus Ekstensi: pahami dan gunakan fungsi gradien $\dfrac{dy}{dx}$, turunkan $kx^n$ untuk bilangan bulat positif $n$ (dan penjumlahan), serta ketahui bahwa gradien suatu fungsi pada suatu titik ADALAH gradien dari tangen di sana — kemudian tentukan persamaan tangennya.

Nilai specimen 2E (sitasi keluarga): kurva dengan $\dfrac{dy}{dx} = 15$ pada titik membawa tangen $y = 15x - 36$. Titik stasioner menyelesaikan $\dfrac{dy}{dx} = 0$, diklasifikasikan sebagai maksimum, minimum atau titik belok, dengan kurva disketsa dari turunan:

Contoh terpecahkan: titik stasioner dan garis singgung. $y = x^3 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12 = 0$ memberikan $x = \pm 2$. Pada $x = -2$, $y = 21$ (gradien berubah $+$ menjadi $-$: maksimum); pada $x = 2$, $y = -11$ (mengubah $-$ menjadi $+$: minimum). Pada $x = 3$ gradiennya $3(9) - 12 = 15$ dan garis singgungnya $y + 4 = 15(x - 3)$, yaitu $y = 15x - 49$.

Selesaikan persamaan linear (variabel tak diketahui di kedua ruas), kuadrat dengan pemfaktoran, dan (Ekstensi) dengan melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus kuadrat — contoh dari 1E $x = -3 \pm \sqrt7$ berasal dari $x^2 + 6x + 2 = 0$: $x = \tfrac{-6 ± \sqrt{36 - 8}}{2}$. Pasangan simultan: dua persamaan linear, dan (Ekstensi) satu linear dengan satu kuadrat. Variasi (Ekstensi): proporsional langsung $y = kx^n$ dan berbanding terbalik $y = \tfrac{k}{x^n}$ dalam istilah aljabar (baris spesifikasi, tidak diambil sampelnya). Contoh terpecahkan: sebuah linear dan sebuah kuadratik. Selesaikan $y = x + 1$ dan $x^2 + y^2 = 13$ bersama-sama. Substitusikan persamaan linear ke dalam persamaan kuadrat:

Maka $x = 2$, $y = 3$ atau $x = -3$, $y = -2$. Berikan jawaban sebagai PASANGAN, dan temukan setiap $y$ dari persamaan linear: mengkuadratkan $y^2 = 9$ akan salah memperbolehkan $y = -3$ dengan $x = 2$.

Ketaksamaan: linear dalam satu variabel, dan (Ekstensi) dalam satu atau dua variabel plus ketaksamaan kuadrat — selesaikan $x^2 - x - 6 > 0$ dengan nilai kritis $x = -2, 3$: kuadrat positif, sehingga $x < -2$ atau $x > 3$ (baris spesifikasi, tidak diambil sampelnya).

Buat suku dari aturan suku-ke-suku dan posisi-ke-suku; gunakan barisan segitiga, persegi dan urutan bilangan kubik (Inti) dengan tambahan Ekstensi mencakup urutan kuadratik: barisan**: selisih kedua konstan, dan suku ke-n n adalah $an^2 + bn + c$ with $a = \tfrac12(\text{second difference})$. For $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$: first differences $4, 8, 12, 16$, second difference $4$, so $a = 2$. Ambil $2n^2$ (yang menghasilkan $2, 8, 18, 32, 50$) dan kurangkan: residual $3, 1, -1, -3, -5$ are linear, $-2n + 5$. So the nth term is $2n^2 - 2n + 5$ — check $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$. ✓

• Notasi umum; substitusi; penyusunan ulang dengan subjek dua kali (A1–A3, Perluasan).
• Mengalikan dua atau tiga binomial; memfaktorkan semua kuadrat dan selisih dua kuadrat; jawaban pangkat pecahan; pecahan aljabar kuadrat (A4–A7, Perluasan; spesimen 1E/2E).
• Pembuktian aljabar formal (A8, Perluasan; keluarga 2E n² + n + 9).
• Fungsi: definisi, domain, jangkauan, komposit fg, invers (A9, Perluasan; 2E fg(x) = (x−5)² + 1, 1E f⁻¹(x) = x/3).
• Koordinat; persamaan garis melalui dua titik atau titik + gradien; gradien tegak lurus (A10–A11; yang terakhir tidak diuji).
• Grafik linear, kuadrat, kubik, resiprokal, eksponensial, dan trigonometri; titik belok dengan melengkapkan kuadrat; estimasi gradien/luas (A12, A16–A17; beberapa garis tidak diuji).
• Diferensiasi kxⁿ; gradien = gradien tangen; persamaan tangen; titik stasioner diklasifikasikan dengan sketsa (A13–A15, Perluasan; keluarga 2E tangen).
• Persamaan linear; kuadrat dengan ketiga metode; kesamaan linear–linear dan linear–kuadrat (A19–A21, Perluasan).
• Konteks ke dalam aljabar (A22, Perluasan); pertidaksamaan linear (satu/dua variabel) dan kuadrat dengan himpunan penyelesaian (A23, Perluasan; tidak diuji).
• Jenis barisan; suku ke-n linear dan kuadrat (A24–A26, Perluasan).

Catatan batas: TIDAK ada lembar rumus di 9260. Garis bertanda "tidak diuji" (gradien tegak lurus, sketsa eksponensial/trigonometri, titik belok melengkapkan kuadrat, variabilitas, pertidaksamaan kuadrat dan dua variabel) adalah asli spesifikasi; spesimen hanya untuk tingkatan Perluasan, sehingga permintaan Tingkatan Inti tidak memiliki bukti lokal. Contoh bekerja diadaptasi dari pasangan spesimen 2016 atau asli.