C.9 · Faktor integrasi dan persamaan diferensial nonhomogen

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Aturan perkalian orde pertama, eksponensial dan persamaan karakteristik.

• Menyelesaikan persamaan linear orde satu menggunakan faktor pengintegrasi
• Membangun bagian homogen dan bagian khusus dari solusi konstan-koeffisien
• Menangani resonansi dan memverifikasi hasilnya dalam persamaan asli

faktor pengintegrasi: Pengali yang mengubah persamaan linear orde satu menjadi turunan produk.

solusi khusus: Satu solusi yang menyediakan pemaksaan nonhomogen yang ditentukan.

Persamaan linear orde satu memiliki bentuk y′+p(x)y=q(x) pada interval di mana koefisiennya kontinu. Persamaan ini tidak perlu dapat dipisahkan. Tetapkan μ(x)=exp(∫p(x)dx). Karena μ′=pμ, perkalian menghasilkan (μy)′=μq, sehingga y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Pilih antiturunan apa pun yang nyaman untuk p; konstanta integrasinya hanya mengalikan ulang μ dan hilang dari solusi. Terapkan data awal setelah integrasi, dan pertahankan titik-titik koefisien singular di luar interval yang dipilih.

Untuk y′+2xy=x dengan y(0)=1, μ=e^(x²). Maka (e^(x²)y)′=x e^(x²), integralnya adalah e^(x²)/2+C. Jadi y=1/2+C e^(−x²), dan kondisi awal memberikan C=1/2. Substitusi langsung memeriksa y′+2xy=x. Faktor pengintegrasian membuat sisi kiri menjadi turunan produk; ini bukan faktor tambahan yang tetap mengalikan sisi kanan asli dalam jawaban akhir.

Untuk ay″+by′+cy=r(x) dengan a nonzero, selesaikan persamaan karakteristik aλ²+bλ+c=0 untuk bagian homogen. Akar real berbeda memberikan dua eksponensial; akar ganda λ memberikan (C₁+C₂x)e^(λx); akar α±iβ memberikan e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). Solusi lengkap adalah y_h+y_p. Paksa polinomial menyarankan uji partikular polinomial; paksa eksponensial atau sinus/kosinus keluarga yang sesuai, dengan cukup koefisien untuk memperhitungkan diferensiasi.

Jika percobaan khusus menduplikasi solusi homogen, ia tidak dapat menghasilkan pemaksaan: kalikan dengan x sekali untuk akar sederhana, dua kali untuk akar ganda. Untuk y″−3y′+2y=e^x, Ke^x naif dimatikan. Mencoba Kxe^x menghasilkan −Ke^x, jadi y_p=−xe^x. Kondisi awal menentukan konstanta homogen hanya setelah menambahkan y_p. Substitusikan fungsi akhir ke dalam persamaan asli untuk memeriksa tanda dan pemaksaan; pemeriksaan nilai awal saja tidak dapat memverifikasi persamaan diferensial.

Untuk y″−3y′+2y=4, akar karakteristiknya adalah 1 dan 2. Solusi partikular konstan y_p=2 menghasilkan 2y_p=4, sehingga y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Untuk y′+2xy=x dan y(0)=1, solusi orde pertama terpisah adalah y=(1+e^(−x²))/2. Ini mengilustrasikan metode yang berbeda; tidak ada persamaan yang menjadi homogen hanya karena sisinya linear.

Tetaplah solusi khusus. Uji resonansi membutuhkan faktor x. Penurunan faktor pengintegralkan berlaku pada interval koefisien yang valid dan tidak boleh membagi dengan y atau diam-diam membuang solusi nol.

Selesaikan $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$, dengan faktor pengintegrasi. Periksa jawabannya secara langsung.

Penyelesaian terarah

Koefisiennya kontinu di mana-mana. Faktor pengintegrasi adalah $\mu=e^{2x}$. Perkalian menghasilkan $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. Integrasi menghasilkan $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. Kondisi awal menghasilkan C=2/3, sehingga $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. Diferensiasi menghasilkan $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; menambahkan 2y menghasilkan $e^x$, dan y(0)=1.

Selesaikan $y''-2y'+y=e^x$ dengan $y(0)=0,y'(0)=0$. Jelaskan mengapa baik $Ke^x$ maupun $Kxe^x$ bukan percobaan khusus yang memadai.

Periksa setelah mencoba

Akar homogen adalah 1 dengan multiplicitas dua, sehingga $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Kedua percobaan yang disarankan sudah termasuk dalam ruang homogen tersebut dan dimatikan. Masukkan $y=e^xv$; maka $y''-2y'+y=e^xv''$. Oleh karena itu $v''=1$ dan $v=x^2/2+C_2x+C_1$. Dua kondisi awal memberikan $C_1=C_2=0$, sehingga $y=x^2e^x/2$. Substitusi ini juga memeriksa pemaksaan tanpa hanya mengandalkan nilai awal.