A.5 · Polinomial dan perluasan bidang

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Pembagian polinomial, bidang, dan dimensi ruang vektor.

• Uji ketidaktereduksian polinomial atas bidang yang ditentukan
• Bangun bidang hingga kecil dari polinomial tak tereduksi
• Gunakan derajat perluasan dan hukum menara
• Gunakan akar siklotomik dan hubungan koefisien untuk menghitung jumlah dan hasil kali

polinomial tak tereduksi: Polinomial berderajat positif tanpa faktorisasi menjadi faktor berderajat positif lebih kecil atas bidang yang disebutkan.

derajat perluasan: Dimensi suatu bidang perluasan sebagai ruang vektor atas bidangnya.

Sebuah polinomial tak tereduksi atas bidang jika memiliki derajat positif dan tidak dapat difaktorkan menjadi polinomial berderajat positif lebih kecil di sana. Kuadrat atau kubik tak tereduksi hanya jika tidak memiliki akar di bidang tersebut. Tes akar saja gagal untuk derajat empat atau lebih; misalnya (x²+1)(x²+2) tidak memiliki akar real tetapi tereduksi atas R. Selalu sebutkan bidang dasar.

Hasil bagi F[x]/(p) adalah bidang ketika p tak tereduksi. Kurangkan pangkat menggunakan p(alpha)=0, di mana alpha adalah kelas residu x. Jika F memiliki q elemen dan p berderajat d, hasil baginya memiliki q^d elemen yang direpresentasikan oleh polinomial berderajat di bawah d. Z/4Z memiliki empat elemen tetapi memiliki pembagi nol, jadi bukan bidang dengan empat elemen.

Over F2, p(x)=x²+x+1 memiliki nilai 1 pada kedua 0 dan 1 serta tak tereduksi. Di hasil baginya, alpha²=alpha+1 karena pengurangan sama dengan penjumlahan dalam karakteristik dua. Keempat elemennya adalah 0,1, alpha, alpha+1. Ketiga elemen tak nol harus menjadi unit; hitung hasil kalinya daripada menganggap alpha sebagai bilangan real biasa.

Untuk bidang bertingkat hingga K dalam L dalam M, hukum menara memberikan [M:K]=[M:L][L:K]. Derajat elemen aljabar adalah derajat polinomial minimalnya. Perluasan hingga berderajat dua tidak mengandung elemen berderajat tiga atas bidang dasar. Atas Q, sqrt(2) memiliki derajat dua; menambahkan sqrt(3) juga menghasilkan perluasan berderajat empat, karena sqrt(3) tidak ada di Q(sqrt(2)). Atas C, akar primitif nth dari kesatuan memiliki urutan tepat n dan merupakan akar dari polinomial siklotomik Φ_n. Untuk n=10, bagi x⁵+1 dengan x+1 untuk mengecualikan akar urutan dua −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Rumus Vieta memberikan jumlah 1 dan hasil kali 1 dari keempat akarnya yang primitif. Jangan menjumlahkan semua akar kesepuluh, atau asumsikan setiap akar kesepuluh tak trivial adalah primitif; urutan suatu akar harus diperiksa. Untuk polinomial monik berderajat d, hasil kali akarnya adalah (−1)^d dikalikan dengan koefisien konstanta.

Dalam F2[alpha] dengan alpha²+alpha+1=0, kalikan alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Maka alpha^−1=alpha+1. Juga alpha³=1 dan alpha bukan 1, sehingga orde multiplikatifnya adalah 3. Hal ini menghasilkan bidang empat elemen. Sebaliknya, 2·2=0 dalam Z/4Z, membuktikan bahwa hasil bagi tersebut bukan sebuah bidang.

Reduksibilitas polinomial berubah sesuai dengan lapangan koefisiennya. Polinomial x²−2 adalah irreducible di atas Q tetapi terpecah (split) di atas R.

Bangun $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Daftarkan elemennya dan temukan invers dari residu $\alpha=[x]$.

Penyelesaian terarah

Kuadrat ini bernilai satu pada kedua elemen $\mathbb F_2$, sehingga tidak memiliki akar dan tak tereduksi. Hasil baginya adalah sebuah bidang. Pembagian meninggalkan perwakilan berderajat di bawah dua: $0,1,\alpha,1+\alpha$. Hubungannya adalah $\alpha^2=\alpha+1$ dalam karakteristik dua. Akibatnya $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, sehingga $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Ini bukan $\mathbb Z/4\mathbb Z$, yang memiliki pembagi nol tak nol.

Apakah $x^4+4$ irreducible atas $\mathbb Q$? Apakah ketiadaan akar rasional menjawab pertanyaan tersebut? Bisakah perluasan derajat-dua dari $\mathbb Q$ memuat akar dari polinomial kubik irreducible atas $\mathbb Q$?

Periksa setelah mencoba

Perkalian langsung menghasilkan $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, jadi ia tereduksi atas $\mathbb Q$ meskipun tidak memiliki akar real, sehingga tidak ada akar rasional. Tes tanpa akar hanya mendeskripsikan ketidaktereduksian untuk derajat dua atau tiga atas sebuah bidang. Jika akar kubik tak tereduksi $\beta$ berada dalam perluasan berderajat dua L, maka $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ dan hukum menara akan membuat 3 membagi 2. Ini mustahil. Kesimpulan ini menggunakan ketidaktereduksian, bukan sekadar persamaan kubik.