A.4 · Cincin, ideal, dan modul

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Cincin, bidang, subgrup aditif, dan homomorfisme.

• Membedakan unit, pembagi nol, dan domain integral
• Mengidentifikasi ideal dan menginterpretasikan cincin hasil bagi
• Membandingkan modul atas cincin dengan ruang vektor atas bidang
• Menurunkan sifat cincin Boolean tanpa mengasumsikan komutativitas

ideal: Subgrup aditif dari sebuah cincin yang menyerap perkalian dengan semua elemen cincin.

torsion: Sebuah elemen dibanjiri oleh skalar tak nol dalam modul yang disebutkan.

Untuk contoh domain, ideal, dan hasil bagi di bawah ini, gunakan cincin komutatif dengan identitas 1 yang berbeda dari 0. Masalah sumber mungkin menentukan cincin umum; jangan asumsikan perkaliannya komutatif kecuali stated atau dibuktikan. Unit memiliki invers perkalian. Pembagi nol tak nol mengalikan beberapa elemen tak nol menjadi nol. Domain integral tidak memiliki pembagi nol semacam itu; pembatalan faktor tak nol kemudian berhasil. Bidang adalah domain di mana setiap elemen tak nol adalah unit. Z adalah domain tetapi bukan bidang; Z/6Z juga bukan keduanya.

Ideal I adalah subgrup aditif yang menyerap perkalian oleh setiap elemen cincin. Ini lebih kuat daripada sekadar subcincin. Dalam Z, nZ adalah ideal; elemen hasil baginya adalah kelas residu bilangan bulat modulo n. Dalam cincin komutatif, R/I adalah bidang tepat ketika I maksimal, dan merupakan domain tepat ketika I prima. Ideal harus propers dalam kedua pernyataan.

Modul memungkinkan skalar dari cincin alih-alih mengharuskan bidang. Setiap grup abelian adalah Z-modul melalui penambahan berulang, tetapi tidak harus memiliki basis ruang vektor. Dalam Z/6Z sebagai Z-modul, 6 dikalikan dengan residu tak nol 1 adalah nol; ini adalah torsion. Untuk ruang vektor atas bidang, skalar tak nol dapat dibalik dan tidak dapat membanjiri vektor tak nol.

Submodul tertutup terhadap penjumlahan dan semua aksi skalar yang diizinkan. Pemetaan linear modul mempertahankan keduanya. Kernel dan gambar adalah submodul, dan hasil bagi oleh kernel isomorfik dengan gambar. Jangan terapkan rank-nullity dimensi hingga pada modul sembarang tanpa menetapkan pengaturan modul bebas yang sesuai; operasi baris bilangan bulat dan operasi baris bidang memungkinkan pembagian yang berbeda. Dalam cincin Boolean umum, setiap a memenuhi a²=a. Jangan asumsikan komutativitas untuk membuktikannya: idempotensi dari a+a menghasilkan 4a=2a, sehingga 2a=0. Membuka (a+b)²=a+b menghasilkan ab+ba=0, dan karakteristik dua membuat −ba=ba; oleh karena itu ab=ba. Idempotensi tidak menyiratkan nilpotensi: dalam F2, elemen tak nol 1 memenuhi 1^n=1 untuk setiap n positif.

Di Z/6Z, 2·3=0, sehingga 2 dan 3 adalah pembagi nol. Unit-unitnya adalah 1 dan 5 karena gcd mereka dengan 6 adalah 1. Di Z, ideal 5Z memberikan bidang Z/5Z, sementara 6Z memberikan hasil bagi dengan pembagi nol. Sebagai Z-modul, peta dari Z ke Z/6Z memiliki kernel 6Z; hasil baginya mengidentifikasi bilangan bulat yang berbeda oleh kelipatan dari 6, alih-alih menghasilkan ruang vektor riil.

Sebuah himpunan bisa menjadi submodul tanpa menjadi ruang vektor atas bilangan rasional. Pembagian skalar hanya valid ketika invers skalar milik ke dalam struktur tersebut.

Dalam $\mathbb Z/12\mathbb Z$, tuliskan unit dan pembagi nol tak nol. Apakah ideal $(4)$ prima atau maksimal?

Penyelesaian terarah

Unit adalah residu yang koprima dengan 12: $1,5,7,11$. Sisa residu tak nol $2,3,4,6,8,9,10$ adalah pembagi nol. Untuk setiap a seperti itu, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ modulo 12, dengan faktor kedua tak nol. Ideal $(4)=\{0,4,8\}$ memberikan hasil bagi isomorfik dengan $\mathbb Z/4\mathbb Z$. Ini bukan domain, karena $2\cdot2=0$, dan bukan bidang. Oleh karena itu ideal tersebut neither prima maupun maksimal.

Sebagai $\mathbb Z$-modul, bisakah $\mathbb Z/6\mathbb Z$ bebas? Bandingkan ideal $(2)$ dan $(x)$ dalam $\mathbb Z$ dan $\mathbb Q[x]$, masing-masing menggunakan hasil baginya.

Periksa setelah mencoba

Modul bebas $\mathbb Z$ yang bukan nol tidak memiliki vektor tak nol yang diannihilasi oleh bilangan bulat tak nol: periksa setiap koordinat bilangan bulat. Namun, $6[1]=0$ dalam $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Ini tidak bebas; argumen basis bergaya bidang tidak sah. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ adalah sebuah bidang, sehingga $(2)$ maksimal dan prima. Evaluasi pada nol memetakan $\mathbb Q[x]$ ke atas $\mathbb Q$ dengan kernel $(x)$; hasil baginya juga merupakan bidang. Kedua argumen menggunakan ideal yang tepat dalam cincin komutatif dengan identitas.