Polinomial dan perluasan bidang
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| irreducible polynomial/ɪrɪˈdjuːsɪbl ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | Polinomial Tak Tereduksi |
| extension degree/ekˈstenʃn dɪˈɡriː/ | Derajat Ekspansi |
Keputusan sebelum jawaban
- Field dengan empat elemen tidak menggunakan aritmetika modulo 4. Ia memerlukan elemen baru yang memenuhi suatu relasi polinomial.
- Tujuan Anda: Uji irreduksibilitas polinomial di lapangan yang ditentukan.
Bacalah hubungannya
- Sebuah polinomial disebut irreducible (tak tereduksi) atas suatu lapangan jika memiliki derajat positif dan tidak dapat difaktorkan menjadi perkalian polinomial dengan derajat positif yang lebih kecil. Polinomial kuadratik atau kubik adalah irreducible tepat ketika tidak memiliki akar di lapangan tersebut. Tes akar saja gagal untuk derajat empat atau lebih; misalnya, (x²+1)(x²+2) tidak memiliki akar real tetapi dapat direduksi di R. Selalu sebutkan nama lapangan dasar.
- Bangun lapangan hingga kecil dari polinomial irreducible.
Which polynomial is irreducible over F2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The quadratic x²+x+1 has no root among 0 and 1. The others factor as x·x, (x+1)², x(x+1) and x²(x+1), respectively, over F2.
Gunakan aturan penentu
- Hasil bagi F[x]/(p) adalah sebuah lapangan ketika p irreducible. Sederhanakan pangkat menggunakan p(alpha)=0, di mana alpha adalah kelas residu dari x. Jika F memiliki q elemen dan p memiliki derajat d, maka hasil baginya memiliki q^d elemen yang direpresentasikan oleh polinomial berderajat di bawah d. Z/4Z memiliki empat elemen tetapi memiliki pembagi nol, sehingga bukan merupakan lapangan dengan empat elemen.
- Gunakan derajat perluasan dan hukum menara.
If [L:K]=3 and [M:L]=2, what is [M:K]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The tower law multiplies finite degrees, giving 2 times 3=6.
Periksa syarat-syaratnya
- Di atas F2, p(x)=x²+x+1 bernilai 1 pada kedua titik 0 dan 1 serta bersifat irreducible. Di dalam hasil baginya, alpha²=alpha+1 karena pengurangan sama dengan penjumlahan dalam karakteristik dua. Keempat elemennya adalah 0,1, alpha, dan alpha+1. Ketiga elemen tak nol haruslah unit; hitunglah perkalian mereka daripada memperlakukan alpha sebagai bilangan real biasa.
- Gunakan akar siklotomik dan hubungan koefisien untuk menghitung jumlah dan hasil kali.
Dalam F2[alpha] dengan alpha²+alpha+1=0, kalikan alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Maka alpha^−1=alpha+1. Juga alpha³=1 dan alpha bukan 1, sehingga orde multiplikatifnya adalah 3. Hal ini menghasilkan bidang empat elemen. Sebaliknya, 2·2=0 dalam Z/4Z, membuktikan bahwa hasil bagi tersebut bukan sebuah bidang.
In the field F2[alpha] above, alpha³ equals ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
alpha²=alpha+1 gives alpha³=alpha²+alpha=1.
Terapkan format tugas
- Untuk lapangan bertingkat K di dalam L di dalam M, hukum menara memberikan [M:K]=[M:L][L:K]. Derajat suatu elemen aljabar adalah derajat polinomial minimalnya. Perluasan hingga berderajat dua tidak mengandung elemen berderajat tiga atas lapangan dasar. Di atas Q, sqrt(2) memiliki derajat dua; menambahkan sqrt(3) juga menghasilkan perluasan berderajat empat, karena sqrt(3) tidak berada di dalam Q(sqrt(2))). Di atas C, akar primitif ke-n dari kesatuan memiliki urutan tepat n dan merupakan akar dari polinomial siklotomik Φ_n. Untuk n=10, bagi x⁵+1 dengan x+1 untuk mengecualikan akar urutan dua −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. Rumus Vieta memberikan jumlah 1 dan hasil kali 1 dari keempat akarnya yang primitif. Jangan menjumlahkan semua akar kesepuluh, atau asumsikan setiap akar kesepuluh tak trivial adalah primitif; urutan suatu akar harus dicek. Untuk polinomial monik berderajat d, hasil kali akarnya adalah (−1)^d dikalikan dengan koefisien konstanta.
- Gunakan akar siklotomik dan hubungan koefisien untuk menghitung jumlah dan hasil kali.
Reduksibilitas polinomial berubah sesuai dengan lapangan koefisiennya. Polinomial x²−2 adalah irreducible di atas Q tetapi terpecah (split) di atas R.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Uji ketakberfaktoran polinomial atas bidang yang ditentukan
A degree-four polynomial without real roots is necessarily irreducible over R.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x²+1)(x²+2) has no real roots and is explicitly reducible.
Jaga pembedaan
- polinomial irreducible — Polinomial berderajat positif tanpa faktorisasi ke dalam derajat positif yang lebih kecil di atas lapangan yang disebutkan.
- derajat perluasan — Dimensi dari lapangan perluasan sebagai ruang vektor di atas lapangan dasarnya.
- Uji irreduksibilitas polinomial di lapangan yang ditentukan.
- Bangun lapangan hingga kecil dari polinomial irreducible.
- Gunakan derajat perluasan dan hukum menara.
- Gunakan akar siklotomik dan hubungan koefisien untuk menghitung jumlah dan hasil kali.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.