1 · Numbers and the number system

4MA1 topik 1 (spesifikasi Issue 2, November 2017) adalah inti dari kualifikasi: Baris Fondasi 1.1–1.11 berjalan dari bilangan bulat dan empat aturan melalui pecahan, desimal, indeks, himpunan, persentase, rasio, batas, dan notasi ilmiah hingga pekerjaan numerasi sehari-hari; Tingkat Lanjut menambahkan konversi desimal berulang, bentuk akar, himpunan aljabar, perubahan persentase berulang dan masalah batas. Pada kertas Juni 2024, strand ini menyediakan persentase terbalik (2HR Q8), notasi ilmiah (2HR Q9), pembuktian desimal berulang bukti (2HR Q18), perkalian batas atas (2HR Q19), rasionalisasi surd (1HR Q17 keluarga) dan faktor prima dengan wilayah Venn (1HR Q11 keluarga).

Harus tahu untuk topik 1:

Bilangan bulat mencakup positif, negatif, dan nol; tempat nilai menamakan bobot setiap digit. Bilangan berarah muncul dalam situasi praktis (suhu, utang, muka air laut); pengurutan menempatkannya pada garis bilang. Empat aturan dengan bilangan negatif: tanda sama tambahkan, tanda berbeda kurangkan, dua negatif menjadi positif. Kurung, lalu pangkat, kemudian bagi/kali, lalu tambah/kurang (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, sementara $(3 + 4) \times 2 = 14$. Ganjil, genap, bilangan prima (tepat dua faktor), faktor dan kelipatan mengklasifikasikan bilangan bulat; faktor persekutuan dan kelipatan persekutuan mengarah ke FPB dan KPK.

Pecahan senilai disederhanakan atau diperluas: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Campuran dan pecahan biasa dikonversi melalui pembagian bersisa. Penyebut sekutu memungkinkan pecahan diurutkan, dibandingkan, ditambah, dan dikurangkan: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. Sebuah pecahan DARI suatu kuantitas dikalikan: $\tfrac34$ dari 48 adalah 36; menyatakan satu bilangan sebagai pecahan dari bilangan lain dibagi ($7$ sebagai pecahan dari $28$ adalah $\tfrac14$). Perkalian pecahan mengalikan pembilang dan penyebut; pembagian mengalikan dengan resiprokal — pecahan satuan sebagai invers perkalian ($\tfrac13$ membatalkan $3$). Pecahan dikonversi ke desimal (dibagi) dan persentase (dikali dengan 100).

Desimal berulang (Tingkat Lanjut) ubah dengan aljabar: misalkan $x = 0.306306\ldots$; maka $1000x = 306.306\ldots$; dikurangkan, $999x = 306$, sehingga $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (Juni 2024 2HR Q18). Desimal berhenti adalah pecahan dengan penyebut berupa pangkat dari sepuluh.

Nilai tempat desimal meliputi kesepuluh, seratusan, seribu; pengurutan membandingkan digit bernilai tertinggi terlebih dahulu. Bilangan kuadrat ($1, 4, 9, \ldots$), bilangan pangkat tiga ($1, 8, 27, \ldots$), akar-akarnya, dan notasi indeks dengan hukum perkalian dan pembagian untuk pangkat bilangan bulat positif: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; Juni 2024 1HR Q11 faktor keluarga memecah bilangan besar menjadi prima dan membaca produk daerah dari diagram Venn ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). Yang FPB mengambil pangkat terendah dari setiap prima bersama; **KPK mengambil pangkat tertinggi dari setiap prima: untuk $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ dan $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, FPB $= 2^2 \cdot 3 = 12$ dan KPK $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

Akar bentuk adalah akar irasional eksak seperti $\sqrt2$. Sederhanakan dengan mengeluarkan kuadrat: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, menggunakan $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ tidak dapat disederhanakan.

Merasionalkan penyebut menghilangkan akar dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawannya — selisih dua kuadrat membersihkannya secara tepat. Contoh terpecahkan: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. Juni 2024 1HR Q17 keluarga merasionalkan penyebut yang dibangun dari $2 - \sqrt3$ menjadi jawaban keluarga $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — karena $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, pengali $(2 + \sqrt3)$ membersihkan surd secara tepat.

Sebuah himpunan adalah kumpulan elemen: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. Notasi: $\cup$ (gabungan, di salah satu himpunan), $\cap$ (irisan, di keduanya), $\in$ dan $\notin$ (keanggotaan). Himpunan semesta $\mathcal{E}$ memuat semua hal yang dibahas; himpunan kosong $\emptyset$ tidak memiliki elemen; yang komplemen $A'$ berisi semua elemen dalam $\mathcal{E}$ di luar $A$. Diagram Venn diagram menggambarkan wilayah — pada Tingkat Tinggi dengan himpunan aljabar, subhimpunan ($B \subset A$: setiap elemen $B$ terletak di dalam $A$), jumlah elemen $n(A)$, dan kegunaan praktis (jurnali, faktor prima). Juni 2024 1HR Q11 keluarga menempatkan faktor prima dari dua bilangan dalam diagram Venn dua himpunan dan membaca hasil kali seperti $AB$, $A^2$ dan $B^2$ dari daerah gabungan — FPB adalah hasil kali irisan, KPK hasil kali seluruhnya.

Persentase berarti bagian per 100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. Persentase berfungsi sebagai pengali: naik sebesar $12\%$ berarti $\times 1.12$; turun sebesar $20\%$ berarti $\times 0.8$. Persentase terbalik membagi nilai akhir dengan pengali — Juni 2024 2HR Q8: kulkas seharga 6225 rupiah setelah penurunan $17\%$ sebelumnya berharga $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ rupiah. Bunga majemuk dan penyusutan berlaku pengali berulang kali: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 pada 3% kompaun selama 4 tahun menjadi $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; sebuah mobil bernilai £12000 menyusut 15% per tahun selama 3 tahun menjadi $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Rasio membandingkan bagian: sederhanakan dengan membagi ($45 : 60 = 3 : 4$); bagi dengan $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 dibagi sesuai rasio $2 : 5$ menghasilkan $\tfrac27 \times 350 = £100$ dan $\tfrac57 \times 350 = £250$. Proporsi skala dalam atau antar kuantitas: metode satuan menemukan satu unit terlebih dulu (7 pena costing £4.20, jadi satu pena costing £0.60 dan 12 pena costing £7.20); kuantitas dalam proporsi langsung berskala sama ($y = kx$). Soal cerita mencampur rasio dengan pecahan dan persentase — pastikan satuan eksplisit dan periksa apakah jawabannya masuk akal.

Bulatkan bilangan bulat ke pangkat sepuluh dan desimal ke angka penting atau desimal tempat: $3.4617 \to 3.5$ (2 t.s.) dan $3.46$ (2 d.p.). Nilai yang akurat memiliki batas — 19 ke bilangan bulat terdekat berarti $18.5 \le v < 19.5$ — batas atas atas** 19.5 dan batas bawah 18.5. Perkiraan membulatkan setiap angka menjadi 1 t.s. terlebih dahulu: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. Soal batas (Tingkat Lanjut) memilih nilai ekstrem yang diperlukan soal — Juni 2024 2HR Q19: jarak $=$ kecepatan $\times$ waktu dengan kecepatan $19$ km/jam ke bilangan bulat terdekat (sehingga UB $19.5$) dan waktu $1.5$ jam ke 1 d.p. (sehingga UB $1.55$): batas atas dari jarak adalah $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 t.s.).

Bentuk baku menulis $a \times 10^n$ dengan $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (Juni 2024 2HR Q9). Eksponen dijumlahkan dan dikurangkan selama perkalian dan pembagian bilangan bentuk baku, dan tombol $\times 10^{\wedge}$ kalkulator menjaga hasil kerja tetap eksak.

Angka sehari-hari — uang, jadwal, pembacaan — menggunakan aritmatika yang sama dengan satuan terlampir. Satuan standar: massa (kg, g), panjang (km, m, cm, mm), luas, volume, waktu (detik hingga tahun, jam 12- dan 24-jam), serta konversi di antaranya ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A kalkulator ilmiah menerapkan urutan operasi dengan benar — namun pembulatan dini menghilangkan akurasi: pertahankan presensi penuh selama proses perhitungan dan bulatkan hanya hasil akhir jawaban, sesuai dengan tingkat akurasi yang diminta.

• Bilangan bulat, pengurutan, bilangan berarah, empat aturan dasar, BIDMAS, ganjil, genap, prima, faktor dan kelipatan (F 1.1 A–H).
• Pecahan setara, pecahan campuran, penyebut sama, pecahan dari suatu kuantitas, resiprokal, konversi FDP (F 1.2 A–H).
• Desimal berulang ke pecalan melalui aljabar (H 1.3 A; Juni 2024 2HR Q18).
• Desimal: tempat nilai, pengurutan, desimal berhenti sebagai pecahan (F 1.3 A–E).
• Kuadrat, kubus, akar, hukum indeks, faktorisasi prima, FPB dan KPK (F 1.4 A–E; Juni 2024 1HR Q11 keluarga).
• Akar: penyederhanaan, penjumlahan akar sejenis, rasionalisasi dengan sekawan (H 1.4 A–B; Juni 2024 1HR Q17 keluarga).
• Himpunan: notasi, universal/kosong/komplemen, diagram Venn; himpunan bagian tingkat lanjut, n(A), himpunan aljabar dan praktis (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• Persentase: pengali, persentase dari, kenaikan/penurunan, kebalikan, bunga majemuk dan depresiasi (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; Juni 2024 2HR Q8).
• Rasio dalam bentuk termudah, pembagian, perbandingan langsung, soal cerita (F 1.7 A–E).
• Pembulatan ke pangkat sepuluh, s.f. dan d.p.; identifikasi batas dan masalah batas memilih ekstrem yang tepat; estimasi dengan 1 s.f. (F 1.8 A–D, H 1.8 A; Juni 2024 2HR Q19).
• Konversi dan aritmatika notasi ilmiah (F 1.9 A, H 1.9 A; Juni 2024 2HR Q9).
• Angka sehari-hari, satuan standar dan konversi, perhitungan waktu, disiplin kalkulator (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

Catatan batas: indeks pecahan, negatif, dan nol di luar aturan perkalian dan hukum pembagian termasuk topik 2; grafik proporsional termasuk topik 2 dan 4; kompaun berkelompok (kecepatan, densitas, tekanan) termasuk topik 4. Kandidat Foundation memenuhi baris Foundation saja. Contoh terpecahkan diadaptasi dari kertas Juni 2024 yang ditinjau atau asli; pertanyaan lembar kerja adalah asli kecuali diberi label.