6 · Statistics and probability

4MA1 topik 6 (isi spesifikasi Issue 2, November 2017). Level dasar 6.1–6.3 mencakup penyajian data, rata-rata dengan estimasi berkelompok, dan seluruh paket alat probabilitas (skala, ruang sampel, diagram Venn, komplemen); Higher menambahkan histogram dengan kelas tidak sama kelas, frekuensi kumulatif bekerja dengan median dan jangkauan antar-kuartil, dan pohon diagrams for independent and conditional events. On the June 2024 papers this strand supplied an unequal-class histogram (1HR Q16), a cumulative-frequency graph with pembaca kuartil (2HR Q11) dan soal aljabra-heavy tanpa penggantian (1HR Q21).

Yang harus diketahui untuk topik 6:

lalu pilih diagram — diagram batang (kategori diskrit), diagram pie (proporsi), piktogram, atau poligon frekuensi untuk data berkelompok. Interpretasi berjalan dua arah: piktogram, atau poligon frekuensi untuk data berkelompok. Interpretasi berjalan dua arah: membaca nilai dari grafik yang diberikan dan membandingkan distribusi (dua kelompok pada sumbu yang sama; sumbu terpotong yang menyesatkan juga merupakan komentar yang wajar).

Tingkat Lanjut menggambar histogram dengan lebar kelas tidak sama: tinggi batang adalah densitas frekuensi $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{lebar kelas}}$, sehingga LUAS mewakili frekuensi. Kelas dengan lebar sama adalah kasus khusus di mana tinggi saja sudah cukup. kasus di mana tinggi saja cukup.

Contoh terarah: 1HR Juni 2024 Q16, diadaptasi. Kelas lebar 2, 3, 5, 10, 15 mencakup frekuensi 5, 12, 18, 14, 9. Kepadatan: $\tfrac52 = 2.5$, $\tfrac{12}3 = 4$, $\tfrac{18}5 = 3.6$, $\tfrac{14}{10} = 1.4$, $\tfrac9{15} = 0.6$ — skor kertas ujian menerima batang dengan lebar benar yang tingginya dalam rasio ini. Cek sendiri: batang terakhir bar looks tall only because its width is 15; its area is $0.6 \times 15 = 9$. ✓

Rata-rata menjumlahkan dan membagi; median mengurutkan dan mengambil nilai tengah; mod adalah yang paling sering muncul. Untuk 3, 7, 8, 10, 12: rata-rata 8, nilai tengah 8, range $12 - 3 = 9$. Untuk data berkelompok, estimasi mean menggunakan titik tengah: kalikan setiap Tingkat Lanjut mengukur sebaran menggunakan kuartil: urutkan data, (kelas dengan kepadatan frekuensi tertinggi ketika lebar berbeda).

Contoh terarah: rata-rata berkelompok. Waktu $t$ (menit) untuk 25 siswa:

$\sum fm = 20 + 105 + 225 + 175 = 525$ dan $\sum f = 25$, sehingga rata-ratanya sekitar $525 \div 25 = 21$ menit. Ini hanya perkiraan, karena setiap siswa diperlakukan seolah berada pada titik tengah. Kelas modus adalah $20 < t \le 30$. Membagi dengan 4 (jumlah kelas) alih-alih 25 merupakan kesalahan umum.

Kuartil lebih tinggi mengukur sebaran dengan kuartil: urutkan data, ambil median, lalu median dari setengah bawah dan atas menghasilkan $Q_1$ dan $Q_3$; jangkauan antar kuartil adalah $Q_3 - Q_1$ (tahan terhadap pencilan, berbeda dengan jangkauan). Untuk 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15: median adalah 9.5, setengah bawah 4, 6, 7, 9 menghasilkan $Q_1 = 6.5$, setengah atas 10, 12, 14, 15 menghasilkan $Q_3 = 13$, sehingga JAK adalah $13 - 6.5 = 6.5$.

Tabel frekuensi kumulatif menjumlahkan frekuensi saat kelas berlanjut; plot setiap total terhadap BATAS ATAS kelasnya dan hubungkan dengan kurva naik yang halus — yaitu ogive. Membaca: median adalah nilai pada $\tfrac n2$ di kurva; kuartil pada $\tfrac n4$ dan $\tfrac{3n}4$; JAK adalah selisihnya; persentil bekerja dengan cara yang sama demikian, dan "berapa banyak di atas X" membaca total pada X dan kurangkan dari $n$.

Contoh terarah: 2HR Juni 2024 Q11 keluarga, diadaptasi. Waktu PR 60 pekerja (jam per minggu): frekuensi kumulatif 6, 17, 27, 42, 60 pada batas atas 10, 15, 20, 25, 30. Median berada pada pekerja ke-30: antara 20 (27 pekerja) dan 25 (42), sehingga $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ jam. Kuartil: pekerja ke-15 menghasilkan $Q_1 = 10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$; pekerja ke-45 menghasilkan $Q_3 = 25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$; IQR $\approx 11.7$. Gambarlah garis baca pada grafik — tanda tersebut adalah untuk proses bacaan, bukan sekadar jawaban.

Probabilitas mengukur kemungkinan pada skala 0 (mustahil) hingga 1 (pasti). A model teoritis menghitung hasil yang sama kemungkinannya; percobaan mengestimasi dari frekuensi: $P(\text{event}) \approx \tfrac{\text{times it happened}}{\text{trials}}$ (estimasi dari data yang telah dikumpulkan sebelumnya termasuk). Ruang sampel mencantumkan semua hasil — untuk dua peristiwa berturut-turut, menggunakan tabel atau daftar sistematis; probabilitas suatu peristiwa menghitung sel-sel yang menguntungkan. Aturan komplemen: probabilitas menghitung sel yang menguntungkan. Aturan komplemen: $P(A') = 1 - P(A)$ — seringkali merupakan cara cepat (pertanyaan "setidaknya satu").

Diagram Venn: wilayah untuk setiap himpunan dan irisan; probabilitas mengisi wilayah dan berjumlah 1, dengan $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Contoh: 30 siswa, 18 menyukai cricket ($C$), 15 tenis ($T$), 7 keduanya: $P(C \cup T) = \tfrac{18 + 15 - 7}{30} = \tfrac{26}{30}$, and $P(\text{neither}) = 1 - \tfrac{26}{30} = \tfrac{2}{15}$.

pengembalian, cabang berulang — peristiwa-peristiwa tersebut independen: pengembalian, cabang berulang — kejadiannya independen: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. TANPA pengembalian, penyebut cabang kedua perhitungan menunjukkan pecahan yang berubah-ubah. menunjukkan pecahan yang berubah-ubah.

Contoh terarah: 1HR Juni 2024 Q21 keluarga, diadaptasi. Sebuah tas berisi 5 merah, 6 biru dan 9 permen hijau; dua diambil tanpa pengembalian. $P(\text{satu merah dan satu biru, dalam atau urutan) = \tfrac{5}{20} \times \tfrac{6}{19} + \tfrac{6}{20} \times \tfrac{5}{19} = \tfrac{60}{380} = \tfrac{3}{19}$. Versi makalah tersebut menerapkan mekanisme yang sama dengan $x$ tak diketahui dan menyelesaikan kuadrat yang dihasilkan (hasil terverifikasinya: $x = 11$, probabilitas akhir $\tfrac7{75}$): samakan ekspresi dua-rute dengan probabilitas yang diberikan, probabilitas, jabarkan, selesaikan, dan tolak akar yang dilarang konteks.

Contoh terarah: total yang tidak diketahui. Sebuah tas berisi $n$ permen, dari mana 6 berwarna oranye. Dua diambil tanpa pengembalian, dan $P(\text{both orange}) = \tfrac13$. Temukan $n$.

Jumlah permen tidak bisa negatif, jadi $n = 10$. Periksa: $\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac13$. ✓

Probabilitas bersyarat mempersempit ruang: $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — pada pohon, cabang kedua setelah cabang pertama terjadi. Dengan kantong di atas, $P(\text{blue second} \mid \text{red first}) = \tfrac{6}{19}$ terbaca langsung dari cabang.

• Tabulasi dan penyajian data; interpretasi grafik dan perbandingan distribusi (F 6.1 A–C).
• Menggambar histogram dengan lebar tidak sama melalui kepadatan frekuensi; area adalah frekuensi (H 6.1 A; Juni 2024 1HR Q16).
• Rata-rata, nilai tengah, modus, jangkauan; rata-rata kelompok melalui titik tengah; kelas modus (F 6.2 B–D).
• Kuartil dan IQR untuk data diskrit berdasarkan posisi (H 6.2 B–C).
• Membangun kurva frekuensi kumulatif dari tabel; membaca median, kuartil, IQR, dan persentil dengan garis bacaan yang digambar (H 6.1 B–C, H 6.2 A, D; Juni 2024 2HR Q11).
• Skala probabilitas; estimasi teoritis vs eksperimental; ruang sampel dan daftar sistematis untuk dua peristiwa; diagram Venn dengan aturan penjumlahan; komplemen (F 6.3 A–H).
• Diagram pohon: kalikan sepanjang, jumlahkan di antara; dengan pengembalian (independen) vs tanpa; probabilitas bersyarat dibaca dari cabang; pengaturan aljabar yang berakhir dalam persamaan kuadrat (H 6.3 A–D; Juni 2024 1HR Q21 keluarga).

Catatan batas: histogram menggunakan kepadatan frekuensi (bukan frekuensi) setiap kali lebarnya berbeda; konvensi kuartil di sini bersifat posisi (median dari separuh bawah dan separuh atas); nilai harapan dan notasi himpunan formal termasuk studi lanjutan. Kandidat Fundamental hanya memenuhi baris Fundamental 6.1–6.3. Contoh worked disesuaikan dari kertas 2024 yang ditinjau atau asli; soal lembar adalah asli kecuali diberi label.