3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 topik 3 (spesifikasi Issue 2, November 2017). Baris Dasar 3.1 dan 3.3 adalah bersama dengan Tingkat Tinggi; blok notasi-fungsi 3.2 dan blok kalkulus 3.4 hanya untuk Tingkat Tinggi, dan Tingkat Tinggi 3.3 memperluas kerja grafik ke kubik, resiprokal, kurva trigonometri, transformasi dan potongan. Pada kertas Higher Juni 2024 untaian ini adalah yang paling berat dari enam topik (sekitar sepertiga dari setiap kertas) dan membawa pembeda A/A*: deret aljabar jumlah, fungsi komposit, garis tegak lurus, perpotongan garis–kurva, dan titik stasioner.

Wajib tahu untuk topik 3 (lembar rumus Higher hanya memberikan aturan deret dan trapesium):

Aturan suku ke suku menjelaskan cara mendapatkan suku berikutnya (tambah 4: 5, 9, 13, 17, …; kalikan dengan 2: 1, 2, 4, 8, …); aturan posisi ke suku memberikan suku secara langsung dari posisinya. Untuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda, selisih** $d$, suku ke-$n$ adalah $u_n = a + (n-1)d$: untuk 1, 3, 5, 7, … aturannya adalah $2n - 1$, dan "suku ke-n adalah $4n + 3$" menghasilkan 7, 11, 15, … Periksa aturan yang diusulkan pada dua Tingkat Lanjut menambahkan jumlah deret aritmetika. Mengpasangkan suku pertama dengan terakhir, suku kedua

Tingkat Lanjut menambahkan jumlah deret aritmetika. Mengpasangkan suku pertama dengan terakhir, suku kedua dengan suku kedua terakhir, … menghasilkan $n/2$ jumlah pasangan yang sama sebesar $a + u_n$:

Untuk $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, sehingga $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ dari dua suku menggunakan aturan suku sebagai persamaan simultan: jika $u_2 = 7$ dan $u_5 = 19$, maka $3d = 12$, sehingga $d = 4$ dan $a = 7 - 4 = 3$.

aritmetika adalah 1, 2024 dan 23. Suku berurutan memiliki beda umum, sehingga $4x-14$, menghasilkan $x+2$, sehingga $7x-9$. Suku-sukunya adalah $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, memberikan $-3x + 16 = 6x - 11$, sehingga $x = 3$. Suku-sukunya adalah $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. Maka $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 × 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ simbolik hingga substitusi akhir — aljabar, bukan aritmatika, yang membawa nilai skor.

Sebuah fungsi memetakan setiap input dari satu himpunan ke tepat satu output dari himpunan lain: tulis $f(x) = \ldots$ atau $f{:}\ x \mapsto \ldots$. Domain adalah himpunan nilai input yang diizinkan; range (daerah hasil) adalah himpunan output. Eksklusi input yang melanggar aturan: untuk $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ eksklusi $x = 2$; untuk $f(x) = \sqrt{x}$ pilih $x \ge 0$.

Fungsi komposit $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ menerapkan $g$ terlebih dahulu, lalu $f$ — output dari $g$ harus merupakan input yang diizinkan dari $f$. Fungsi invers $f^{-1}$ membatalkan $f$, dan hanya ada di mana $f$ bersifat satu-satu: untuk $f(x) = \sqrt{x-2}$ (domain $x \ge 2$, range $f \ge 0$), menulis $y = \sqrt{x-2}$ dan mengkuadratkan menghasilkan $x = y^2 + 2$, sehingga $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ pada domain $x \ge 0$. Selalu periksa $f^{-1}(f(x)) = x$.

Contoh dikerjakan (2HR Juni 2024 Q17, disesuaikan). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ dan $g(x) = 3x+1$; temukan $k$ given $\mathrm{fg}(k) = 2$. Pertama $g(k) = 3k+1$, kemudian

sehingga $3k+1 = 12k-4$, menghasilkan $9k = 5$ dan $k = \tfrac59$. (Trik cepat yang perlu diketahui: menyelesaikan $f(x) = 2$ terlebih dahulu menghasilkan $x = 8/3$, sehingga tetapkan $g(k) = 8/3$ — jawaban sama dengan aljabar lebih sedikit.)

Koordinat Kartesius memberi nama titik di keempat kuadran; titik tengah rata-rata dari koordinat akhir: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Gradien garis lurus adalah perubahan $y$ dibagi perubahan $x$: melalui $(1,7)$ dan $(2,9)$ gradiennya adalah $2$. Garis $y = mx+c$ memiliki gradien $m$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,c)$ — untuk $y = 3x+5$, gradien 3 dan intersep $(0,5)$. Kasus khusus: $x = k$ adalah vertikal (gradien tak hingga), $y = c$ horizontal (gradien 0). Grafik konversi Menginterpretasikan grafik nyata adalah bagian dari blok ini: pada grafik jarak–waktu, gradien adalah

kecepatan; pada grafik kecepatan–waktu, gradien adalah percepatan dan area di bawah grafik adalah jarak tempuh. Latihan menggambar mencakup pengisian tabel nilai untuk garis lurus jarak tempuh. Praktik menggambar mencakup mengisi tabel nilai untuk garis lurus (termasuk bentuk $ax + by = c$) dan kuadrat, menggambar kurva halus melalui titik-titik yang dipetakan titik — bukan garis lurus di antaranya.

Garis sejajar memiliki gradien yang sama. Garis tegak lurus memiliki gradien yang jika dikalikan menghasilkan $-1$: tegak lurus terhadap $m$ adalah $-1/m$. Garis melalui $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$ adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$.

Contoh terpecahkan (2HR Juni 2024 Q21, disesuaikan). $ABCD$ adalah persegi dengan $A(-5, 2)$ dan $B(3, 5)$; tentukan persamaan $BC$ dalam bentuk $ax + by + c = 0$. Sisi persegi yang bersebelahan saling tegak lurus. Gradien $AB$ adalah $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, sehingga gradien $BC$ adalah $-\tfrac83$. Melalui $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, sehingga $3y - 15 = -8x + 24$, menghasilkan $8x + 3y - 39 = 0$. Kalikan pada akhir agar $a$, $b$, $c$ menjadi bilangan bulat, seperti yang diminta.

Higher 3.3 mengharapkan pengenalan dan penggambaran tiga keluarga lengkung selain kuadratik: kubik $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (semua tanda; $y = x^3 - 4x$ naik–turun–naik), resiprokal $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (dua dahan, asimtot, tidak pernah memotong paksi) dan graf trigonometri $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ untuk sudut sebarang saiz dalam darjah — sinus dan kosinus berayun antara $-1$ dan $1$ dengan period 360°; tangen berulang setiap 180° dan patah di $90° + 180°n$. Lingkaran berpusat di titik asal memiliki $x^2 + y^2 = r^2$ — bulatan masuk ke dalam kursus ini sebagai lengkung kedua bagi persilangan pertanyaan.

Empat transformasi terhadap $y = f(x)$ diperlukan, untuk fungsi linear, kuadratik, sinus dan fungsi kosinus:

Bagian dalam membentuk "mundur" pada $x$ dan hanya pada $x$. Untuk $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ menggandakan dua nilai $x$, menjadikan parabola lebih sempit, bukan lebih tinggi. Untuk $y = \sin 2x$, periodnya berkurang separuh menjadi 180°. Baca transformasi yang dilukis daripada graf (di mana titik belok pergi?) dan tulis secara aljabar — kedua arah dinilai.

Gradien kurva: gambarlah garis singgung pada titik tersebut dan gunakan gradiennya sebagai naik/lari — yang diukur adalah garis yang digambar, bukan kurvanya. Gradien kurva yang tepat memerlukan kalkulus (bagian berikutnya).

Perpotongan: nilai $x$ di mana garis lurus $y_1$ bertemu dengan kurva tak-linear $y_2$ adalah solusi dari $y_2 - y_1 = 0$. Titik temu antara $y = 2x+1$ dan $y = x^2 + 3x - 2$ memecahkan $x^2 + x - 3 = 0$; antara $y = 5$ dan $y = x^3 - 3x^2 + 7$, selesaikan $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Contoh terpecahkan (2HR Juni 2024 Q22, disesuaikan). Temukan di mana garis $y = 3x - 1$ bertemu kurva $x^2 + y^2 = y + 11$. Substitusikan persamaan garis ke dalam kurva:

sehingga $x = -\tfrac35$ atau $x = \tfrac32$, dengan $y = 3x-1$ menghasilkan $y = -\tfrac{14}{5}$ atau $y = \tfrac72$. Titik-titiknya adalah $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ dan $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — substitusikan kembali ke persamaan lain untuk memverifikasi: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

Gradien kurva bervariasi sepanjang kurva: merupakan laju perubahan variabel. Diferensiasi memberikan nilainya secara eksak: untuk pangkat bilangan bulat dari $x$,

Untuk $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. Titik stasioner memiliki $\dfrac{dy}{dx} = 0$: di sini $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, sehingga $x = -\tfrac23$ atau $x = 6$. Bedakan antara maksimum dan minimum berdasarkan bentuk grafik: sebuah kubik dengan koefisien $x^3$ positif naik–turun–naik... di sini $y \to -\infty$ saat $x \to -\infty$, sehingga titik stasioner kiri $x = -\tfrac23$ adalah maksimum ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

Contoh terpecahkan (1HR Juni 2024 Q19, dimodifikasi). $C$ memiliki persamaan $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ dan tepat dua titik stasioner $A$ dan $B$ dengan $x_A > x_B$; tentukan $A$. Turunkan dan disediakan ke nol: $(3x+2)(x-6) = 0$, dan akar yang lebih besar adalah $x = 6$. Substitusikan ke dalam kurva: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, sehingga $A = (6, -139)$. Skor mengikuti alur — turunkan (setidaknya dua suku benar), samakan dengan nol, selesaikan kuadrat, substitusikan kembali.

Kinematika: dengan perpindahan $s$ dalam meter setelah $t$ detik, kecepatan adalah laju perubahan perpindahan dan percepatan laju perubahan kecepatan: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. Untuk $s = t^3 - 24t$ (meter, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s dan $a = 6t$ m/s². Partikel berhenti sesaat di mana $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 angka penting).

• Buat barisan dari aturan suku-ke-suku dan posisi-ke-suku; temukan aturan barisan bilangan bulat (F 3.1 A–B).
• Gunakan $u_n = a + (n-1)d$ untuk barisan aritmatika; temukan $a$ dan $d$ dari sembarang dua suku (F 3.1 C, H 3.1 A–B).
• Jumlahkan deret aritmatika dengan $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, termasuk suku aljabar (H 3.1 C; Juni 2024 1HR Q23).
• Gunakan notasi $f(x)$ dan $f{:}\,x\mapsto$; nyatakan domain dengan pengecualian dan jangkauan (H 3.2 A–C).
• Bangun $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ pertama — dan temukan $f^{-1}$ pada domain satu-ke-satu (H 3.2 D; Juni 2024 2HR Q17).
• Bacalah, gambarlah, dan interpretasikan grafik di semua kuadran: titik tengah, grafik konversi, grafik jarak/kecepatan–waktu, tabel nilai (F 3.3 A–I).
• Gradien dari dua titik; $y = mx + c$; persamaan garis sejajar dan tegak lurus melalui suatu titik (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; Juni 2024 2HR Q21).
• Kenali dan sketsa kurva kubik, kurva resiprokal, $\sin/\cos/\tan$, dan lingkaran berpusat di titik asal $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• Terapkan dan baca empat transformasi $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• Perkirakan gradien kurva dengan menggambar garis singgung (H 3.3 D).
• Selesaikan irisan linear-nonlinear melalui $y_2 - y_1 = 0$ dan periksa dengan substitusi (H 3.3 E; Juni 2024 2HR Q22).
• Turunkan pangkat bilangan bulat; temukan titik stasioner; klasifikasikan maksimum/minimum dari bentuk grafik (H 3.4 A–D; Juni 2024 1HR Q19).
• Terapkan kalkulus pada gerak: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, dan "diam" berarti $v = 0$ (H 3.4 E).

Catatan batas: deret geometri dan jumlah tak hingga tidak termasuk pada tingkat ini (tidak ada baris geometri dalam 4MA1 3.1); diferensiasi dibatasi hanya pada pangkat bilangan bulat dari $x$ — rantai, aturan perkalian dan pembagian tidak termasuk; ukuran radian tidak termasuk (derajat sepanjang waktu). Kandidat Foundation hanya memenuhi 3.1 dan 3.3. Contoh kerja di atas diadaptasi dari pasangan Higher Juni 2024 yang ditinjau (lihat bukti penilaian meta); semua pertanyaan lain pada lembar adalah asli.