2 · Equations, formulae and identities

4MA1 topik 2 (spesifikasi Issue 2, November 2017). Baris Foundation 2.1–2.4, 2.6–2.8 adalah dibagi dengan Higher; proporsi (2.5) hanya Higher, dan Higher memperluas manipulasi hingga indeks pecahan, ekspansi tiga suku, pecahan aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna, pembuktian, pasangan linear–kuadratik dan pertidaksamaan kuadratik. Pada kertas Higher Juni 2024 ini topik ini kembali membawa pembeda A/A*: persamaan indeks, pembuktian desimal berulang, pembagian pecahan aljabar, melengkapkan kuadrat sempurna dengan minimum yang ditransformasi, dan sebuah pertidaksamaan kuadratik.

Wajib tahu untuk topik 2 (Lembar rumus Tingkat Lanjut hanya memberikan rumus kuadrat):

Simbol mewakili angka yang tidak diketahui dalam persamaan atau variabel dalam ekspresi dan rumus; ekspresi aljabar mengikuti aturan umum aritmatika. Sebuah persamaan meminta input mana yang berfungsi; identitas berlaku untuk setiap input yang diperbolehkan. Notasi indeks meliputi pangkat positif, negatif, dan nol: $a^3 = a \times a \times a$, $a^0 = 1$, $a^{-1} = \tfrac1a$, dan Higher menambahkan pangkat pecahan: $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$, $x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2$. Hukum indeks menggabungkannya: $x^m \times x^n = x^{m+n}$, $x^m \div x^n = x^{m-n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ — kalikan artinya tambahkan indeks; bagi artinya kurangi.

Worked example (2HR June 2024 Q7, adapted). $\dfrac{3^{n-2} \times 3^{n+5}}{3^{3n+10}} = 1$. Same base throughout, so the indices combine: $(n-2) + (n+5) - (3n+10) = 0$, yang is $-n - 7 = 0$. Hence $n = -7$. Never multiply the 3s — the bases match, so only the indeks yang berpindah.

Substitusi mengevaluasi ekspresi (termasuk nilai negatif dan pecahan); pengelompokan suku sejenis, mengalikan satu suku di seluruh kurung, mengeluarkan faktor persekutuan (memfaktorkan $x^2 + 10x + 24 = (x+6)(x+4)$) dan memperluas hasil kali dua linear perluasan ke tiga kurung: $(x+8)(x-5) = x^2 + 3x - 40$ — perluasan tiga kurung: $(x+2)(x+3)(x-1) = (x^2+5x+6)(x-1) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ — perluas dua pertama, lalu kalikan ke seluruhnya, dan periksa dengan $x = 0$ (suku konstan $-6$).

turunkan ekspresi dari suatu situasi. Mengubah subjek menerapkan operasi yang sama pada menurunkan ekspresi dari suatu situasi. Mengubah subjek menerapkan operasi yang sama pada kedua ruas hingga huruf yang dipilih berdiri sendiri: dari $A = \pi r^2$, $r = \sqrt{A/\pi}$ (akar positif — panjang); dari $v = u + at$, $t = \tfrac{v-u}{a}$.

Kasus tingkat lanjut menempatkan subjek lebih dalam dalam rumus. Dari $V = \tfrac43 \pi r^3$: kalikan dengan 3, bagi dengan $4\pi$, lalu akar pangkat tiga: $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$. Dari $T = 2\pi\sqrt{l/g}$: kuadratkan terlebih dahulu — $T^2 = \tfrac{4\pi^2 l}{g}$ — sehingga $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2}$. Ketika subjek muncul dua kali, kumpulkan sukunya sebelum pemfaktoran: $4a + 3 = 5(a - r)$ dijabarkan menjadi $4a + 3 = 5a - 5r$, sehingga $a = 5r + 3$. Periksa setiap pengurutan dengan mensubstitusikan angka ke dalam kedua versi.

Proporsi (Tingkat Lanjut): $y \propto x^n$ berarti $y = kx^n$ untuk konstanta $k$; proporsionalitas terbalik $y \propto 1/x^n$ berarti $y = k/x^n$. Jika $y \propto x^3$ dan $y = 24$ ketika $x = 2$, maka $k = 3$, sehingga $y = 3x^3$ dan $y = 81$ ketika $x = 3$. Secara grafik, $y = kx$ merupakan garis melalui titik asal; $y = k/x$ hiperbola — aljabar dan grafik harus saling mendukung cerita yang sama.

Selesaikan persamaan linear dengan variabel di satu atau kedua sisi, koefisien bulat atau pecahan koefisien — langkahnya selalu: jabarkan, kumpulkan, bagi; $7(x+3) = 5x + 8$ memberikan $7x + 21 = 5x + 8$, sehingga $2x = -13$ dan $x = -6.5$; bentuk pecahan $\tfrac45 x + 3 = \tfrac23$ dikalikan dengan 15: $12x + 45 = 10$, sehingga $x = -\tfrac{35}{12}$. Susun persamaan dari data yang diberikan: tiga sudut $a^\circ, (a+10)^\circ, (a+20)^\circ$ dari sebuah segitiga berjumlah 180, sehingga $3a + 30 = 180$ dan $a = 50$. Periksa dengan substitusi, dan pastikan solusi masuk akal untuk konteks (jumlah tidak boleh negatif atau pecahan).

Dua persamaan linear simultan diselesaikan tepat dengan metode eliminasi atau substitusi: untuk $2x + 3y = 17$ dan $3x - 5y = 35$, kalikan tiga kali persamaan pertama dan dua kali persamaan kedua: $6x + 9y = 51$, $6x - 10y = 70$; pengurangan menghasilkan $19y = -19$, sehingga $y = -1$ dan $x = 10$. Periksa pada persamaan lainnya: $3(10) - 5(-1) = 35$. ✓ Secara grafik, setiap persamaan merupakan sebuah garis dan solusi bersama mereka adalah titik potong.

*Solusinya adalah titik potong: x = 7, y = 5 memenuhi kedua persamaan

Ekspresi kuadrat memiliki bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan $a \ne 0$. Fondasi memfaktorkan $x^2 + bx + c$; Higher memfaktorkan apa pun: $6x^2 - 5x - 6 = (3x+2)(2x-3)$ — periksa dengan menjabarkan ($6x^2 - 9x + 4x - 6$ ✓). Selisih dua kuadrat: $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

** Pecahan aljabar**: faktorkan terlebih dahulu, lalu coret faktor penuh, bukan bagian dari suku. Sederhanakan $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ — tidak ada pembatalan di sini (tidak ada faktor persekutuan); tetapi $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3}$. Penjumlahan menggunakan penyebut persekutuan; pembagian berarti mengalikan dengan resiprokal.

Worked example (2HR June 2024 Q26, adapted). Write $4 - (3x-5) \div \dfrac{3x^2 + x - 10}{4x - 1}$ sebagai satu pecahan. Pertama faktorkan kuadratik: $3x^2 + x - 10 = (3x-5)(x+2)$. Membagi dengan pecahan membaliknya, dan $(3x-5)$ dicoret:

Bukti-bukti (Tingkat Lanjut) menggunakan aljabar, bukan contoh. Desimal berulang klasik: misalkan $x = 0.306306\ldots$; kemudian $1000x = 306.306\ldots$, dan pengurangan, $999x = 306$, sehingga $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$. Nyatakan apa yang $x$ sama dengan, kalikan dengan pangkat sepuluh yang menggeser satu blok berulang penuh, kurangkan, sederhanakan (Juni 2024 2HR Q18).

Melengkapi kuadrat menulis ulang $ax^2 + bx + c = a(x + b')^2 + c'$: setengah dari koefisien $x$ memberikan pergeseran, di dalam kurung, dengan tandanya dibalik. Titik puncak bentuk ini mengekspos minimum (untuk $a > 0$) secara langsung: grafik dari $y = a(x+b')^2 + c'$ adalah $y = ax^2$ ditranslasikan oleh $(-b', c')$.

Contoh bersepadu (1 HR Jun 2024 Q20, disesuaikan). (a) Tulis $2x^2 - 11x + 9$ dalam bentuk $a(x+b)^2 + c$: faktor 2 daripada sebutan $x$, separuh daripada $-\tfrac{11}{2}$ ialah $-\tfrac{11}{4}$, sehingga

(b) Graf $y = f(x - 3)$ beralih $f$ tiga unit ke kanan, maka minimum berpindah dari $\left(\tfrac{11}{4}, -\tfrac{49}{8}\right)$ to $\left(\tfrac{23}{4}, -\tfrac{49}{8}\right) = (5.75, -6.125)$. Inside the bracket acts on $x$, dan sebaliknya.

Menyelesaikan persamaan kuadratik: melalui pemfaktoran ($x^2 + x - 30 = (x+6)(x-5) = 0$ memberikan $x = -6$ atau $5$); melalui rumus kuadratik $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ apabila pemfaktoran gagal — untuk $2x^2 + 6x - 1 = 0$, $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36+8}}{4} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{11}}{2}$; atau melalui melengkapkan kuadrat, yang menyelesaikan dan memberikan titik puncak serentak. Bentuk persamaan dari konteks (luas, Pythagoras, gaya peluru $h = at^2 + bt + c$), jaga jawaban eksak kecuali diperintahkan lain, dan tolak akar-akar yang dilarang konteks.

Simbol ketaksamaan $<, >, \le, \ge$ (bentuk dua hujung seperti $1 < x \le 5$ termasuk) menjelaskan interval; lingkaran terbuka dan tertutup pada garis bilangan menandai yang tidak termasuk dan termasuk akhirnya. Menyelesaikan pertidaksamaan linear meniru langkah persamaan — kecuali mengalikan atau membahagi dengan negatif membalikkan arah: $7 - x \le 5$ memberikan $-x \le -2$, jadi $x \ge 2$.

Pertidaksamaan kuadrat (Tingkat Lanjut) memerlukan nilai kritis, lalu tanda dari parabola di antara keduanya: kuadrat positif berada di atas nol di luar akar-akarnya.

Contoh terpecahkan (2 HR Juni 2024 Q20, disesuaikan). Selesaikan $6x^2 - 7x - 20 > 0$. Faktorkan: $(3x + 4)(2x - 5) > 0$, sehingga nilai kritisnya adalah $x = -\tfrac43$ dan $x = \tfrac52$. Parabola terbuka ke atas — positif di luar akar — sehingga $x < -\tfrac43$ atau $x > \tfrac52$, ditandai pada garis bilangan dengan lingkaran kosong (nilai itu sendiri memberikan $0$, bukan $> 0$). Sketsa parabola terlebih dahulu; gambar menentukan dalam vs luar.

Pasangan linear–kuadratik (Tingkat Lanjut): substitusikan persamaan linear ke dalam persamaan kuadrat. Untuk $y = 2x - 11$ dengan $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (2x-11)^2 = 25$ menghasilkan $5x^2 − 44x + 96 = 0$, and by formula $x = \tfrac{44 ± (1936 − 1920)}{10} = \tfrac{44 ± 4}{10} = 4.8$ or $4$, giving $(4.8, -1.4)$ and $(4, -3)$; keduanya memenuhi lingkaran. Untuk $y = 11x - 2$ dengan $y = 5x^2$: $5x^2 - 11x + 2 = (5x - 1)(x - 2) = 0$, sehingga $\left(\tfrac15, 0.2\right)$ dan $(2, 20)$. Pertahankan kedua solusi kecuali konteks menyingkirkan salah satunya.

Daerah (F 2.8 D–E, kasus lebih sulit Tingkat Lanjut): pada grid Kartesius, setiap pertidaksamaan membatasi setengah bidang; uji satu titik per batas (titik asal praktis kecuali pertidaksamaan membatasi setengah bidang; uji satu titik per batas (asal koordinat berguna kecuali terletak pada batas), lalu arsir daerah yang memenuhi setiap kondisi — misalnya $x \ge 0$, $y \ge 1$, $x + y \le 5$ memberikan bagian dalam segitiga dengan titik sudut $(0,1)$, $(0,5)$, $(4,1)$.

• Gunakan simbol, hukum indeks (bilangan bulat, kemudian pecahan/negatif/nol — Tingkat Lanjut) dan gabungkan indeks pada satu basis (F 2.1, H 2.1; Juni 2024 2HR Q7).
• Substitusi, kumpulkan suku, jabarkan kurung tunggal dan ganda — dan Higher, kurung tiga — faktorkan faktor persekutuan dan kuadrat (F 2.2, H 2.2 A–B).
• Turunkan, gunakan, dan atur ulang rumus, termasuk kasus subjek-kedua dan pangkat; susun dan selesaikan proporsi langsung/terbalik (F 2.3, H 2.3, H 2.5).
• Selesaikan persamaan linear dari data dan pasangan simultan eksak melalui eliminasi, menafsirkan pasangan tersebut sebagai garis berpotongan (F 2.4, F/H 2.6).
• Manipulasi pecahan aljabar: faktorisasi, penyederhanaan, penyebut persekutuan, inversi untuk pembagian (H 2.2 C; Juni 2024 2HR Q26).
• Menyusun pembuktian aljabar, termasuk konversi desimal berulang (H 2.2 E; Juni 2024 2HR Q18).
• Melengkapi kuadrat, membaca bentuk titik puncak, dan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, rumus, atau melengkapkan kuadrat—termasuk dari konteks (H 2.2 D, H 2.7 A–C; Juni 2024 1HR Q20).
• Selesaikan pertidaksamaan linear dan kuadrat dengan himpunan penyelesaian garis bilangan; identifikasi daerah terbatas dari pertidaksamaan linear (F 2.8, H 2.8; Juni 2024 2HR Q20).
• Menyelesaikan pasangan simultan linear–kuadrat dengan substitusi, mempertahankan kedua titik (H 2.7 D).

Catatan batas: diskriminan sebagai alat bernama dan teorema faktor berada di luar daftar 4MA1 — penyelesaian menggunakan pemfaktoran, rumus atau melengkapkan kuadrat sempurna; bentuk akar rasionalisasi muncul pada tingkat Tinggi (merasionalkan penyebut gaya $\tfrac{7}{4(2-\sqrt3)}$- dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat, misal untuk $\tfrac{14+7\sqrt3}{4}$). Dasar memenuhi 2.1–2.4, 2.6–2.8 saja. Contoh terpecahkan di atas diadaptasi dari pasangan Higher Juni 2024 (lihat bukti penilaian meta); pertanyaan lembar adalah asli kecuali diberi label.