N · Statistical distributions

AQA A-level Mathematics 7357, bagian N (Distribusi statistik), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: probabilitas dari bagian M.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Sebuah mesin mengisi botol dengan sedikit sebaran di sekitar 500 ml, sementara mesin-hitung cacat selalu bilangan bulat. Satu model menggunakan area di bawah kurva halus; yang lain menghitung probabilitas diskrit. Mana yang cocok untuk mana?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan apa yang membuat hitungan binomial, dan apa yang dibutuhkan model kontinu.

Metode

• Distribusi binomial memerlukan n tetap, uji coba independen, dua hasil, dan p konstan: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, dengan E(X) = np dan Var(X) = np(1 − p). Nilai harapan adalah rata-rata berbobot probabilitas.
• Variabel kontinu mengikuti kurva kepadatan: probabilitas adalah LUAS, dan P(X = x) = 0 untuk nilai eksak apa pun. Distribusi normal menstandarisasi dengan z = (x − μ)/σ sebelum membaca probabilitas ekor. Model Poisson menghitung kejadian pada laju konstan, dengan rata-rata sama dengan varians.
• Distribusi binomial: Jumlah keberhasilan dalam n uji coba dua hasil independen dengan probabilitas konstan p; Nilai harapan: Rata-rata berbobot probabilitas dari variabel acak; Distribusi normal: Model berbentuk lonceng simetris untuk variabel kontinu, dinormalisasi oleh z = (x − μ)/σ.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Periksa syarat-syarat distribusi binomial sebelum menggunakan rumus: pengambilan sampel tanpa pengembalian membuat uji coba bergantung dan mengubah p, sehingga model gagal. Tidak semua jumlah hitungan bersifat binomial.
• Untuk variabel kontinu, jangan pernah bertanya P(X = tepat 130): hitunglah ekor atau interval. Nyatakan peristiwa terlebih dahulu sebelum menghitung, dan gambarlah daerah yang diarsir.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 dan Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Untuk variabel normal dengan μ = 100, σ = 15, nilai 130 memiliki z = (130 − 100)/15 = 2, sehingga terletak dua simpangan baku di atas rata-rata.

Contoh:

Untuk X ~ binomial(5, 0.2), temukan P(X = 1) menggunakan urutan yang sama: pilih model → rumus → substitusi. (Jawaban: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

Batasan dan jebakan

• Momen binomial hanya berlaku jika keempat syarat terpenuhi. Model normal membutuhkan data yang hampir simetris; koreksi kontinuitas penting saat mengaproksimasi distribusi diskrit dengan distribusi normal.

Peringatan:

Setiap jumlah keberhasilan memiliki distribusi binomial terlepas dari ketergantungan. Klaim ini salah: model tersebut memerlukan uji coba independen dengan p konstan — pengambilan sampel tanpa pengembalian atau tingkat keberhasilan yang berubah akan merusaknya, sehingga rumus akan melaporkan presisi palsu.

Kunci:

Distribusi statistik: binomial untuk hitungan independen n tetap (E = np, Var = np(1 − p)); normal untuk variabel kontinu melalui z = (x − μ)/σ; probabilitas adalah luas untuk model kontinu dan suku eksak untuk model diskrit.