M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, bagian M (Probabilitas), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: Pohon peluang GCSE dan diagram Venn.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Dua penanda diambil dari sebuah tas berisi 3 merah dan 2 biru, satu per satu. Probabilitas pengambilan kedua berbeda dari yang pertama — apakah ini kesalahan atau intinya?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan apa yang "tanpa pengembalian" ubah, dan bagaimana pohon menampilkannya.

Metode

• Kalikan sepanjang cabang pohon dan jumlahkan cabang yang saling lepas untuk satu hasil. Probabilitas bersyarat membatasi ruang sampel: P(A given B) = P(A ∩ B)/P(B) untuk P(B) > 0. Tanpa pengembalian, komposisi berubah untuk pengambilan berikutnya.
• Saling lepas berarti tidak ada tumpang tindih; independen berarti mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lain. Dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak pernah independen: jika A terjadi, P(B) turun menjadi 0.
• probabilitas bersyarat: Probabilitas suatu peristiwa dalam kelompok yang dipilih oleh informasi yang diberikan; saling lepas: Peristiwa yang tidak dapat terjadi bersamaan; independen: Peristiwa di mana mengetahui satu meninggalkan probabilitas lainnya tak 2019 berubah.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Isi diagram Venn dari OVERLAP ke luar: dengan 18 bersepeda, 12 berenang dan 7 melakukan keduanya, wilayah tunggal adalah 11 dan 5, sehingga setidaknya satu adalah 23 dan tidak sama sekali adalah 7 dari 30. Menambahkan 18 + 12 menghitung ganda area 7.
• Probabilitas bersyarat menggunakan total kelompok yang dikondisikan sebagai penyebutnya: P(berenang given bersepeda) = 7/18, bukan 7/30. Membalik kondisi biasanya mengubah nilainya.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: 3 merah dan 2 biru, dua pengambilan tanpa pengembalian. P(dua merah) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(satu masing-masing) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Cabang-kabang mengalikan dan rute yang saling lepas menjumlahkan.

Contoh:

Diberikan P(A ∩ B) = 0.12 dan P(B) = 0.3, temukan P(A given B) menggunakan urutan yang sama: identifikasi kelompok yang dikondisikan → bagi → interpretasikan. (Jawaban: P(A given B) = 0.12/0.3 = 0.4. Penyebutnya adalah probabilitas B, bukan seluruh ruang.)

Batasan dan jebakan

• Independensi dan eksklusivitas menjawab pertanyaan berbeda: peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif selalu bergantung. Jumlah harapan (np) adalah rata-rata jangka panjang, bukan jaminan untuk satu kali percobaan.

Peringatan:

Peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif harus independen. Klaim ini salah: jika A dan B tidak dapat terjadi bersama, maka P(B given A) = 0 ≠ P(B) — mengetahui A terjadi mengubah probabilitas B sepenuhnya, lawan dari independensi.

Kunci:

Probabilitas: kalikan sepanjang cabang, jumlahkan rute yang saling lepas; probabilitas bersyarat membagi dengan kelompok yang dikondisikan; tanpa pengembalian probabilitasnya berkembang; saling lepas dengan probabilitas positif berarti bergantung, tidak pernah independen.