Differential Equations · ⁨Persamaan Diferensial⁩

AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩ · Topic 7 · ⁨Topik 7⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Memodelkan Situasi dengan Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.A: Interpretasikan pernyataan verbal masalah sebagai persamaan diferensial yang melibatkan ekspresi turunan.

FUN-7.A.1 Persamaan diferensial menghubungkan fungsi dari variabel bebas dan turunan-turunan dari fungsi tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 is an equation that relates a function to its own derivatives. It describes a situation by its rate of change. For example, "the rate of change of a quantity is proportional to its size" becomes

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Learning to translate a sentence about a rate into a differential equation is the first skill of this unit.

Bahasa Indonesia

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan sebuah fungsi dengan turunannya sendiri. Ini menggambarkan situasi melalui laju perubahannya. Misalnya, "laju perubahan suatu kuantitas sebanding dengan ukurannya" menjadi

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Belajar menerjemahkan kalimat tentang laju menjadi persamaan diferensial adalah keterampilan pertama unit ini.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Memverifikasi Solusi untuk Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.B: Verifikasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.B.1 Turunan dapat digunakan untuk memverifikasi bahwa suatu fungsi adalah solusi dari persamaan diferensial yang diberikan.
FUN-7.B.2 Mungkin terdapat tak hingga banyak solusi umum untuk sebuah persamaan diferensial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A solution 解 of a differential equation is a function that makes it true. You can verify a proposed solution by differentiating it and substituting into the equation: if both sides match, it is a solution. Note a differential equation usually has infinitely many solutions – a whole family – differing by a constant.

Bahasa Indonesia

Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi yang membuatnya benar. Anda dapat memverifikasi solusi yang diusulkan dengan menurunkannya dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan: jika kedua sisi cocok, itu adalah solusi. Perhatikan persamaan diferensial biasanya memiliki tak hingga banyak solusi – keseluruhan keluarga – berbeda oleh konstanta.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Menggambar Medan Kemiringan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.C.1 Medan kemiringan adalah representasi grafik dari persamaan diferensial pada himpunan titik terbatas di bidang.
FUN-7.C.2 Medan kemiringan memberikan informasi tentang perilaku solusi persamaan diferensial orde pertama.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws the differential equation as a grid of short segments: at each point $(x,y)$ the segment has slope $\dfrac{dy}{dx}$ evaluated there. To sketch one, plug several points into the right-hand side and draw a small segment with that slope at each. The picture shows the shape of the solution curves without solving.

Exam skill. A common part gives a portion of a slope field and asks you to sketch the particular solution through a given point – start at the point and follow the segments, staying tangent to them.

Bahasa Indonesia

Bidang kemiringan & kurva solusi

Medan kemiringan menggambar persamaan diferensial sebagai grid segmen pendek: di setiap titik $(x,y)$ segmen tersebut memiliki kemiringan $\dfrac{dy}{dx}$ yang dievaluasi di sana. Untuk menggambar salah satu, masukkan beberapa titik ke sisi kanan dan gambar segmen kecil dengan kemiringan itu di setiap titik. Gambar menunjukkan bentuk kurva solusi tanpa menyelesaikannya.

Medan kemiringan menunjukkan dy/dx di setiap titik; kurva solusi mengikuti segmen-segmen tersebut — Setiap segmen pendek memiliki kemiringan $\dfrac{dy}{dx}$ di titik tersebut; kurva solusi menjalin melaluinya, tetap singgung terhadap medan.

Keterampilan ujian. Bagian umum memberikan sebagian medan kemiringan dan meminta Anda untuk menggambar solusi khusus melalui titik yang diberikan – mulai dari titik dan ikuti segmen-segmen tersebut, tetap singgung dengannya.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Baca persamaan diferensial sebagai medan kemiringan⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Medan kemiringan menggambar kemiringan $dy/dx$ di setiap titik. Kurva solusi melintasi melalui sana, selalu bersinggungan dengan segmen-segmen kecil — Anda dapat menggambarnya dengan mengikuti aliran.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
slope field/sləʊp fiːld/	bidang kemiringan
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	pemisahan variabel
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	solusi umum
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	syarat awal
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	solusi khusus
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	pembatasan domain
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	pertumbuhan dan peluruhan eksponensial

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Penalaran Menggunakan Medan Kemiringan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.C.3 Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Solutions to a differential equation are functions or families of functions. Read a slope field to reason about behavior: where the segments are flat ($\tfrac{dy}{dx}=0$) the solution is momentarily level; where they steepen the solution rises or falls faster; horizontal rows of equal slope suggest the rate depends only on $y$ (or only on $x$).

Bahasa Indonesia

Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi. Bacalah medan kemiringan untuk bernalar tentang perilaku: di mana segmen datar ($\tfrac{dy}{dx}=0$) solusinya sementara mendatar; di mana mereka makin curam solusi naik atau turun lebih cepat; baris horizontal kemiringan sama menunjukkan laju hanya bergantung pada $y$ (atau hanya pada $x$).

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Menemukan Solusi Umum Menggunakan Pemisahan Variabel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.D: Tentukan solusi umum untuk persamaan diferensial.

FUN-7.D.1 Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.
FUN-7.D.2 Antidiferensiasi dapat digunakan untuk menemukan solusi umum persamaan diferensial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Many exam differential equations are solved by separation of variables 分离变量法. If $\dfrac{dy}{dx}$ factors into a function of $x$ times a function of $y$, move all $y$'s to one side and all $x$'s to the other, then integrate both sides:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Add the constant of integration once (on the $x$-side). This gives the general solution 通解.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with the initial condition $y(0)=2$. Separate and integrate:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Applying $y(0)=2$ gives $A=2$, so the particular solution is $y=2e^{x^2/2}$.

Bahasa Indonesia

Banyak persamaan diferensial ujian diselesaikan dengan pemisahan variabel. Jika $\dfrac{dy}{dx}$ difaktorkan menjadi fungsi dari $x$ dikali fungsi dari $y$, pindahkan semua $y$ ke satu sisi dan semua $x$ ke sisi lain, lalu integralkan kedua sisi:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Tambahkan konstanta integrasi sekali (di sisi $x$). Ini memberikan solusi umum.

Contoh terpecahkan. Selesaikan $\dfrac{dy}{dx}=xy$ dengan syarat awal $y(0)=2$. Pisahkan dan integralkan:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Menerapkan $y(0)=2$ menghasilkan $A=2$, sehingga solusi khusus adalah $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · ⁨Menemukan Solusi Khusus Menggunakan Syarat Awal dan Pemisahan Variabel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.E: Tentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial.

FUN-7.E.1 Solusi umum mungkin menggambarkan tak hingga banyak solusi untuk persamaan diferensial. Hanya ada satu solusi khusus yang melewati titik tertentu.
FUN-7.E.2 Fungsi $F$ yang didefinisikan oleh $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ adalah solusi khusus untuk persamaan diferensial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, memenuhi $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solusi persamaan diferensial mungkin tunduk pada pembatasan domain.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 – a known point $(x_0,y_0)$ – pins down one curve from the family. Substitute it to solve for the constant $C$; the result is the particular solution 特解. There is exactly one solution through a given point. Watch for domain restrictions 定义域限制: keep the branch that contains the initial point (for example, the correct sign of a square root).

Bahasa Indonesia

Syarat awal – sebuah titik yang diketahui $(x_0,y_0)$ – menentukan satu kurva dari keluarga kurva tersebut. Substitusikan untuk menyelesaikan konstanta $C$; hasilnya adalah solusi khusus. Tepat ada satu solusi melalui suatu titik yang diberikan. Perhatikan pembatasan domain: pertahankan cabang yang memuat titik awal (misalnya, tanda yang benar untuk akar kuadrat).

Konstanta memberikan keluarga kurva; kondisi awal memilih satu di antaranya

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	persamaan diferensial
solution/səˈluːʃn/	larutan

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Model Eksponensial dengan Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.F: Interpretasikan makna persamaan diferensial dan variabelnya dalam konteks.

FUN-7.F.1 Aplikasi spesifik dari menemukan solusi umum dan khusus persamaan diferensial meliputi gerakan sepanjang garis dan pertumbuhan serta peluruhan eksponensial.
FUN-7.F.2 Model untuk pertumbuhan dan peluruhan eksponensial yang muncul dari pernyataan "Laju perubahan suatu besaran sebanding dengan ukuran besaran tersebut" adalah $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.G: Tentukan solusi umum dan khusus untuk masalah yang melibatkan persamaan diferensial dalam konteks.

FUN-7.G.1 Model pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, dengan kondisi awal $y = y_0$ ketika $t = 0$, memiliki solusi berbentuk $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The most important model is exponential growth and decay 指数增长与衰减. The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to size) has the solution:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

where $y_0$ is the value at $t=0$. Here $k>0$ gives growth and $k<0$ gives decay. You can derive this by separation of variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), and it models processes like population growth, radioactive decay, and Newton's law of cooling. A follow-up part may ask for $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: differentiate $\dfrac{dy}{dt}=ky$ again (using $\dfrac{dy}{dt}=ky$) to express it in terms of $y$.

Worked example. A sample decays by $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (in years) from $y_0=50\ \text{g}$. The solution is $y=50e^{-0.10t}$, so after $10$ years $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Its half-life solves $25=50e^{-0.10t}$, i.e. $e^{-0.10t}=\tfrac12$, giving $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independent of the starting amount.

Bahasa Indonesia

E. coli di bawah mikroskop: persamaan diferensial memodelkan pertumbuhan eksponensial populasi

Model paling penting adalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. Persamaan $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (laju sebanding dengan ukuran) memiliki solusi:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

di mana $y_0$ adalah nilai pada $t=0$. Di sini $k>0$ memberikan pertumbuhan dan $k<0$ memberikan peluruhan. Anda dapat menurunkan ini dengan pemisahan variabel ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), dan ini memodelkan proses seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan hukum pendinginan Newton. Bagian lanjutan mungkin meminta $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: turunkan $\dfrac{dy}{dt}=ky$ lagi (menggunakan $\dfrac{dy}{dt}=ky$) untuk mengekspresikannya dalam bentuk $y$.

Contoh terpecahkan. Sebuah sampel meluruh sebesar $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (dalam tahun) dari $y_0=50\ \text{g}$. Solusinya adalah $y=50e^{-0.10t}$, sehingga setelah $10$ tahun $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Waktu paruh-nya diselesaikan oleh $25=50e^{-0.10t}$, yaitu $e^{-0.10t}=\tfrac12$, menghasilkan $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independen dari jumlah awal.

Cangkir kopi yang mendingin: hukum pendinginan Newton adalah model persamaan diferensial klasik

Explore · ⁨Jelajahi⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Model pertumbuhan/peluruhan eksponensial⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Persamaan $dy/dt=ky$ memiliki solusi eksponensial: kuantitas berubah pada laju yang berbanding lurus dengan dirinya sendiri, memberikan pertumbuhan tak terbatas ($k>0$) atau peluruhan menuju nol ($k<0$).⁩

7.8

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Bahasa Indonesia

Selesaikan persamaan dapat dipisahkan dengan mendapatkan semua $y$ di satu sisi dan semua $x$ di sisi lain, lalu integralkan kedua ruas (tambahkan $+C$ sekali).
Gunakan syarat awal untuk menemukan $C$ (solusi khusus).
Sketsa atau baca bidang kemiringan: segmen-segmen kecil menunjukkan $\tfrac{dy}{dx}$ di setiap titik, dan kurva solusi mengikutinya.
Kenali model eksponensial $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (pertumbuhan/peluruhan).
Persamaan diferensial memberikan kemiringan – Anda harus mengintegralkan untuk mengembalikan fungsi.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩⁩