Contextual Applications of Differentiation · ⁨Aplikasi Kontekstual dari Turunan⁩

Setelah Anda dapat menghitung turunan, Anda menggunakannya untuk mendeskripsikan dunia nyata. Turunan $f'(x)$ adalah laju perubahan instan dari $f$ terhadap inputnya. Membaca dan melaporkan laju ini dengan benar adalah keterampilan yang dinilai.

Satuan itu penting. Satuan dari $f'(x)$ adalah satuan dari $f$ dibagi dengan satuan dari $x$. Jika $C(t)$ adalah jumlah acre dan $t$ dalam minggu, maka $C'(t)$ dalam acre per minggu. Dalam ujian, "Menggunakan satuan yang benar, interpretasikan makna dari $g'(140)$" menginginkan kalimat penuh: nilai, kuantitas, kata laju "per", dan saat. Misalnya: "$g'(140)=2.3$ berarti bahwa pada $x=140$, kuantitas meningkat sekitar $2.3$ unit per unit dari $x$."

Untuk partikel yang bergerak pada garis, tiga fungsi waktu terhubung melalui penurunan:

• posisi $s(t)$;
• kecepatan $v(t)=s'(t)$ – bertanda; tandanya memberikan arah;
• percepatan $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Pembacaan kunci (bagian ujian sering):

• Partikel diam ketika $v(t)=0$.
• Ia bergerak kanan/naik ketika $v(t)>0$ dan kiri/turun ketika $v(t)<0$; ia mengubah arah di mana $v$ mengubah tanda.
• Kecepatan adalah $|v(t)|$. Kecepatan meningkat ketika $v$ dan $a$ memiliki tanda yang sama (partikel melaju lebih cepat), dan menurun ketika mereka memiliki tanda berlawanan.

Contoh terpecahkan. Sebuah partikel bergerak dengan $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Kemudian $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, sehingga partikel berada dalam keadaan diam pada $t=1$ dan $t=3$, dan mengubah arah di setiap titik tersebut. Pada $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (bergerak ke kiri) dan $a(2)=6(2)-12=0$; tepat setelahnya, $a>0$ sementara $v<0$, sehingga partikel melambat di sana. Pahami dengan cermat perbedaan antara kecepatan (memiliki arah) dan kelajuan (tidak memiliki) – ujian menguji perbedaan ini secara spesifik.

Ide turunan yang sama memodelkan besaran yang berubah apa pun: tangki yang dikosongkan, populasi yang berkembang, secangkir kopi yang mendingin. Setiap kali sebuah soal menyatakan "laju di mana...", itu sedang mendeskripsikan sebuah turunan. Bacalah satuannya untuk mengetahui laju dari besaran mana yang Anda miliki, lalu interpretasikan dalam konteksnya.

Dalam masalah laju berkaitan, beberapa besaran berubah bersama-sama seiring waktu, dan Anda mengetahui beberapa laju tetapi ingin mencari yang lain. Mesinnya adalah aturan rantai: turunkan sebuah hubungan terhadap waktu $t$. Setiap variabel menjadi fungsi dari $t$, sehingga setiap turunan mendapatkan faktor "$\,/\,dt$". Aturan perkalian dan pembagian juga mungkin diperlukan.

Prosedur yang dapat diandalkan – dan template skor penuh pada ujian:

1. Beri nama variabel dan tuliskan laju yang diberikan serta laju yang tidak diketahui (misalnya "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/hari, cari $\dfrac{dV}{dt}$").
2. Tulis persamaan yang menghubungkan besaran-besaran tersebut (sering berupa rumus geometris atau volume).
3. Turunkan kedua ruas terhadap $t$ (aturan rantai) – sebelum mensubstitusikan angka.
4. Substitusikan nilai-nilai yang diketahui pada saat yang dituju, dan selesaikan untuk laju yang tidak diketahui.
5. Nyatakan jawaban dengan satuan dan tanda yang benar (besaran yang menurun memiliki laju negatif).

Contoh terpecahkan. Udara dipompa ke dalam balon spherical sehingga volumenya bertambah sebesar $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Seberapa cepat jari-jari bertambah ketika $r=5\ \text{cm}$? Mulailah dari $V=\tfrac43\pi r^3$ dan turunkan terhadap $t$ pertama:

Mensubstitusikan $r=5$ terlalu dini adalah kesalahan klasik – turunkan hubungan umum terlebih dahulu, baru masukkan angkanya.

Di dekat titik singgung, kurva yang mulus terlihat seperti garis singgungnya – ini disebut linearitas lokal. Jadi garis singgung memberikan pendekatan linear (linearisasi) dari fungsi di sekitar titik tersebut:

Gunakan ini untuk memperkirakan $f$ pada $x$ yang dekat dengan $a$.

Contoh terpecahkan. Perkirakan $\sqrt{4.1}$. Ambil $f(x)=\sqrt{x}$ dan $a=4$: $f(4)=2$ dan $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sehingga $f'(4)=\dfrac14$. Kemudian $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (nilai sejati adalah $2.0248\ldots$). Karena $\sqrt{x}$ cekung ke bawah, garis singgung berada di atas kurva, sehingga ini adalah sedikit perkiraan berlebih – buktikan over/under dengan tanda $f''$.

Ketika substitusi langsung dalam hasil bagi limit memberikan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$, Anda dapat menggunakan Aturan L'Hospital:

dengan syarat limit kanan ada. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (ini bukan aturan hasil bagi), lalu coba limit lagi. Pertama konfirmasi bahwa bentuknya benar-benar $\tfrac{0}{0}$ atau $\tfrac{\infty}{\infty}$ – menerapkan aturan ini pada bentuk lain adalah kesalahan.

Contoh terpecahkan. Hitung $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substitusi menghasilkan $\tfrac00$, jadi turunkan pembilang dan penyebut: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – mengkonfirmasi limit terkenal dari Unit 1.

• Dalam masalah gerak: kecepatan adalah turunan dari posisi, percepatan adalah turunan dari kecepatan; kecepatan meningkat ketika kecepatan dan percepatan memiliki tanda yang sama.
• Untuk laju berkaitan, turunkan persamaan penghubung terhadap waktu, lalu substitusikan nilai yang diberikan terakhir.
• Gunakan garis singgung untuk pendekatan linear di dekat titik yang diketahui; hal ini akurat hanya di dekatnya.
• Baca tanda laju: positif berarti besaran bergerak bersamaan, negatif berarti berlawanan.
• Selalu nyatakan satuan dan interpretasikan jawaban dalam konteksnya.