Perhatikan fungsi ini dengan saksama: sinus dari x kuadrat. Ini sebenarnya dua fungsi, satu di dalam yang lain. Pertama, kuadratkan inputnya. Kemudian ambil sinus dari…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
3.1
The Chain Rule · Aturan Rantai
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.C: Menghitung turunan dari komposisi fungsi-fungsi yang terdiferensiasi.
FUN-3.C.1 Aturan rantai menyediakan cara untuk men-diferensiasikan fungsi komposit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$", the inner is $2x^2+1$:
Unit 2 menurunkan fungsi tunggal. Unit 3 menurunkan fungsi yang dibangun di dalam fungsi lain. Aturan rantai menurunkan fungsi komposit$f\big(g(x)\big)$:
"Turunan fungsi luar (meninggalkan bagian dalam tetap), dikali turunan bagian dalam." Turunan dalam $g'(x)$ adalah bagian yang sering dilupakan siswa, jadi selalu tanyakan "apa bagian dalamnya, dan berapa turunannya?" Contoh:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
Dalam notasi Leibniz, dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, aturannya tertulis $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – $du$ perantara seolah "saling menghilangkan." Soal ujian sering memberikan tabel untuk $f$, $g$, $f'$, $g'$ dan meminta $h'(a)$ di mana $h(x)=f\big(g(x)\big)$; hitung $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ dengan membaca nilai-nilainya.
Contoh dikerjakan. Turunkan $h(x)=(2x^2+1)^5$. Fungsi luarnya adalah "(sesuatu)$^5$", bagian dalamnya adalah $2x^2+1$:
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.D: Menghitung turunan dari fungsi yang didefinisikan secara implisit.
FUN-3.D.1 Aturan rantai merupakan dasar bagi diferensiasi implisit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent line to the circle $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$. From above $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ there, so the tangent is
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Notice the tangent is perpendicular to the radius, as geometry promises – a good sanity check.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Bahasa Indonesia
“Beberapa kurva didefinisikan secara implisit – melalui persamaan dalam $x$ dan $y$ yang tidak diselesaikan untuk $y$, seperti $x^2+y^2=25$. Turunan implisit menemukan $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa harus menyelesaikan untuk $y$ terlebih dahulu. Ini hanyalah aturan rantai, dengan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$.”
Metodenya: turunkan kedua ruas terhadap $x$; setiap kali Anda menurunkan suku $y$, kalikan dengan $\dfrac{dy}{dx}$ (aturan rantai); kemudian selesaikan secara aljabar untuk $\dfrac{dy}{dx}$. Untuk $x^2+y^2=25$:
Contoh terpecahkan. Temukan garis singgung ke lingkaran $x^2+y^2=25$ pada titik $(3,4)$. Dari sebelumnya $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ di sana, sehingga garis singgungnya adalah
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Perhatikan bahwa garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari, sebagaimana geometri menjanjikan – ini merupakan pemeriksaan kesesuaian yang baik.
Turunan implisit memberikan garis singgung pada lingkaran, tegak lurus terhadap jari-jari
Keterampilan ujian – "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Perintah ini muncul setiap tahun (misalnya "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Karena targetnya sudah diberikan, Anda harus menunjukkan setiap langkah aljabar dengan jelas: turunkan kedua ruas, gunakan aturan perkalian/rantai pada suku campuran $xy$, kumpulkan semua suku $\dfrac{dy}{dx}$ di satu sisi, faktorkan, lalu bagi. Baris akhir yang benar tetapi melewatkan aljabar akan mendapat nilai rendah. Bagian lanjutan kemudian meminta garis singgung, atau di mana garis singgung horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, sehingga pembilangnya $0$) atau vertikal (penyebutnya $0$).
3.3
Differentiating Inverse Functions · Menurunkan Fungsi Invers
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.
FUN-3.E.1 Aturan rantai dan definisi fungsi invers dapat digunakan untuk mencari turunan dari fungsi invers, asalkan turunannya ada.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. Suppose $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$. Because $(2,5)$ lies on $f$, the point $(5,2)$ lies on $g$, and
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
The graphs of $f$ and $g$ are mirror images across $y=x$, so their slopes at matching points are reciprocals.
Bahasa Indonesia
Jika $g$ adalah fungsi invers dari $f$ (sehingga $f(g(x))=x$), aturan rantai menghubungkan turunan keduanya:
Secara lisan: turunan fungsi invers pada suatu titik adalah resiprokal dari turunan fungsi asli pada titik yang sesuai. Pengaturan ujian umum menyediakan tabel dan titik $(a,b)$ pada $f$ (sehingga $(b,a)$ berada pada $g$), lalu meminta $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Fungsi invers adalah bayangan cermin dari fungsi tersebut pada garis y = x
Contoh terpecahkan. Misalkan $f(2)=5$ dan $f'(2)=3$, serta $g$ adalah invers dari $f$. Karena $(2,5)$ terletak pada $f$, titik $(5,2)$ terletak pada $g$, dan
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Grafik $f$ dan $g$ adalah bayangan cermin melintasi $y=x$, sehingga kemiringan mereka pada titik-titik yang sesuai adalah resiprokal.
Explore · Jelajahi
An exponential and its inverse the logarithm · Fungsi eksponensial dan inversnya, logaritma
y = a·e^(bx) + c
Inverse functions are mirror images across $y=x$, and their slopes are reciprocals: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Where one is steep, its inverse is shallow. · Fungsi invers adalah cerminan melintasi $y=x$, dan kemiringannya saling berkebalikan: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Di mana satu fungsi curam, inversnya landai.
3.4
Differentiating Inverse Trigonometric Functions · Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.
FUN-3.E.2 Aturan rantai yang diterapkan dengan definisi fungsi invers, atau rumus turunan dari fungsi invers, dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi trigonometri invers.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Bahasa Indonesia
Ide yang sama menghasilkan turunan dari fungsi trigonometri invers. Tiga yang harus Anda ketahui:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Gabungkan ini dengan aturan rantai ketika inputnya sendiri merupakan fungsi, mis. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Memilih Prosedur untuk Menghitung Turunan
Syllabus · Silabus
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Bahasa Indonesia
Topik ini bertujuan untuk berfokus pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk menghitung turunan. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berlatih kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan perhitungan turunan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Bahasa Indonesia
Topik keterampilan: turunan nyata mencampur beberapa aturan, jadi bacalah struktur ekspresi terlebih dahulu, dari luar ke dalam.
Apakah itu jumlah? Turunkan suku demi suku.
Perkalian atau pembagian? Terapkan aturan itu, dan siap-siap menggunakan aturan rantai di dalamnya.
Komposit (sesuatu di dalam sesuatu lain)? Aturan rantai.
Diberikan secara implisit? Turunan implisit.
Sebutkan operasi terluar, terapkan aturannya, dan rekursif masuk ke dalam. Kerapian mencegah kesalahan tanda dan pencatatan yang memakan nilai.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Menghitung Turunan Orde Tinggi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.F: Menentukan turunan orde lebih tinggi dari suatu fungsi.
FUN-3.F.1 Mendifferensiasikan $f'$ menghasilkan turunan kedua $f''$, dengan syarat turunan dari $f'$ ada; mengulangi proses ini menghasilkan turunanorde lebih tinggi dari $f$.
FUN-3.F.2 Turunan orde lebih tinggi direpresentasikan dengan berbagai notasi. Untuk $y = f(x)$, notasi untuk turunan kedua meliputi $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, dan $y''$. Turunan orde lebih tinggi dapat disimbolkan $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ atau $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Bahasa Indonesia
Menurunkan $f'$ menghasilkan turunan kedua$f''$; pengulangan menghasilkan turunan orde lebih tinggi. Notasinya:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
Turunan kedua mengukur bagaimana kemiringan berubah; ia menggerakkan kelengkungan dan percepatan dalam unit-unit selanjutnya. Untuk menemukan $f''$ secara implisit, turunkan lagi ekspresi untuk $\dfrac{dy}{dx}$ (dengan aturan hasil bagi dan rantai), lalu substitusikan $\dfrac{dy}{dx}$ kembali.
Explore · Jelajahi
Slope of the slope: the second derivative · Kemiringan dari kemiringan: turunan kedua
y = ax³ + bx² + cx + d
Differentiating again gives the second derivative — the rate at which the slope changes. Where the tangent's slope is itself increasing, the curve bends upward (concave up). · Mendiferensiasikan lagi menghasilkan turunan kedua — laju perubahan kemiringan. Di mana kemiringan garis singgung itu sendiri meningkat, kurva membengkok ke atas (cekung ke atas).
3.6
Exam tips · Tips ujian
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Bahasa Indonesia
Gunakan aturan rantai untuk fungsi komposit – turunkan bagian luar, lalu kalikan dengan turunan bagian dalam (faktor yang paling sering dilupakan).
Untuk turunan implisit, turunkan kedua ruas terhadap $x$ dan lampirkan $\tfrac{dy}{dx}$ setiap kali $y$ diturunkan, kemudian selesaikan.
Dapatkan turunan kedua dengan menurunkan dua kali (kecepatan → percepatan).
Gabungkan aturan dengan hati-hati dalam ekspresi berlapis (rantai di dalam perkalian, dll.).
Grafik fungsi invers adalah refleksi pada $y=x$; kemiringannya adalah resiprokal dari yang asli pada titik yang sesuai.
Interactive lessons on this topic · Pelajaran interaktif untuk topik ini
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Pilih satu dan situs mengikuti Anda — catatan, kertas, video, dan latihan semua terbuka di sana.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Ketik untuk mencari catatan, pelajaran, kode, kosakata, dan pertanyaan soal lama di setiap mata pelajaran.
