משוואות דיפרנציאליות

קלקולוס AB - AP · נושא 7

הצגת שקפים אימון

שיעור וידאו לנושא זה פתח את עמוד הוידאו

7.1

דגמי מצבים באמצעות משוואות דיפרנציאליות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.A: לפרש ניסוחים מילוליים של בעיות כמשוואות דיפרנציאליות הכוללות ביטוי נגזרת.

FUN-7.A.1 משוואות דיפרנציאליות מקשרות בין פונקציה של משתנה עצמאי לבין הנגזרות שלה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת פונקציה לגזרות שלה. היא מתארת מצב באמצעות קצב השינוי שלה. לדוגמה, "קצב השינוי של גודל נתון פרופורציונלי לגודלו" הופך ל-

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

למידת התרגום של משפט על קצב למשוואה דיפרנציאלית היא המיומנות הראשונה ביעד זה.

7.2

בדיקת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרה ללמידה FUN-7.B: לבדוק פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.B.1 ניתן להשתמש בנגזרות כדי לבדוק האם פונקציה היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית נתונה.
FUN-7.B.2 עשויה להיות אינסוף פתרונות כלליים למשוואה דיפרנציאלית.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

פתרון של משוואה דיפרנציאלית הוא פונקציה שהופכת אותה לנכונה. ניתן לבדוק פתרון מוצע על ידי גזירתו והצבתו במשוואה: אם שני האגפים תואמים, מדובר בפתרון. שימו לב שמשוואה דיפרנציאלית בדרך כלל יש לה אינסוף פתרונות – משפחה שלמה – הנבדלים בקבוע.

7.3

ציור שדות שיפועים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.1 שדה שיפועים הוא ייצוג גרפי של משוואה דיפרנציאלית על ערכה סופית של נקודות במישור.
FUN-7.C.2 שדות שיפועים מספקים מידע על התנהגות הפתרונות למשוואות דיפרנציאליות מהדרגה הראשונה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

שדות שיפוע ומשוואות פתרון

שדה שיפועים מצייר את המשוואה הדיפרנציאלית כרשת של מקטעים קצרים: בכל נקודה $(x,y)$ המקטע בעל שיפוע $\dfrac{dy}{dx}$ שנמדד שם. כדי לצייר אותו, הצב מספר נקודות בצד ימין של המשוואה וצייר מקטע קטן עם השיפוע ההוא בכל נקודה. התמונה מראה את צורת פתרונות המשוואה ללא פתרון מעשי.

שדה שיפועים מציג את dy/dx בכל נקודה; פתרון המשוואה עוקב אחר המקטעים — לכל מקטע קצר יש שיפוע $\dfrac{dy}{dx}$ בנקודה זו; פתרון המשוואה עובר דרכו, תוך שמירה על מגע עם השדה.

מיומנות מבחן. חלק נפוץ במבחנים נותן חלק משדה שיפועים ומבקש לצייר את הפתרון הספציפי העובר דרך נקודה נתונה – התחל בנקודה ועקוב אחר המקטעים, תוך שמירה על מגע איתם.

חקור

קריאת משוואה דיפרנציאלית כשדה שיפועים

שדה שיפועים מצייר את השיפוע $dy/dx$ בכל נקודה. עקומת פתרון חודרת דרךיו, תמיד משיקה למקטעים הקטנים — ניתן לשער אותה על ידי מעקב אחר הזרימה.

מילון מונחים אימון

English	עברית
slope field/sləʊp fiːld/	שדה שיפועים
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	הפרדת משתנים
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	פתרון כללי
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	תנאי התחלה
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	פתרון פרטי
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	מגבלות תחום הגדרה
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	גידול ודעיכה אקספוננציאליים

7.4

הסקה באמצעות שדות שיפועים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.C: הערכה פתרונות למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.C.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות הם פונקציות או משפחות פונקציות.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

פתרונות למשוואה דיפרנציאלית הם פונקציות או משפחות פונקציות. קרא שדה שיפועים כדי להסיק התנהגות: במקום שבו המקטעים שטוחים ($\tfrac{dy}{dx}=0$) הפתרון רגעי בשקיפות; כאשר הם מתחדים הפתרון עולה או יורד מהר יותר; שורות אופקיים בעלות אותו שיפוע מעידות על כך שקצב השינוי תלוי רק ב$y$ (או רק ב$x$).

7.6

מציאת פתרונות כלליים באמצעות הפרדת משתנים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.D: קביעת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.D.1 חלק ממשוואות הדיפרנציאליות ניתן לפתור באמצעות הפרדת משתנים.
FUN-7.D.2 אנטי-אינטגרציה יכולה לשמש למציאת פתרונות כלליים למשוואות דיפרנציאליות.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מספר משוואות דיפרנציאליות במבחנים פתורות באמצעות הפרדת משתנים. אם $\dfrac{dy}{dx}$ ניתן לפירוק כפונקציה של $x$ כפול פונקציה של $y$, העבר את כל ה$y$ צד אחד ואת כל ה$x$ לצד השני, ואז אינטגרל את שני האגפים:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

הוסף את קבוע האינטגרציה פעם אחת (בצד ה$x$). זה נותן את הפתרון הכללי.

דוגמה מופעלת. פתור $\dfrac{dy}{dx}=xy$ עם תנאי ההתחלה $y(0)=2$. הפרד ואינטגרל:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

השבת $y(0)=2$ נותנת $A=2$, ולכן הפתרון הפרטי הוא $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

מציאת פתרונות פרטיים באמצעות תנאי התחלה והפרדת משתנים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.E: קביעת פתרונות פרטיים למשוואות דיפרנציאליות.

FUN-7.E.1 פתרון כללי עשוי לתאר אינסוף פתרונות למשוואה דיפרנציאלית. קיים רק פתרון פרטי אחד העובר דרך נקודה נתונה.
FUN-7.E.2 הפונקציה $F$ המוגדרת על ידי $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ היא פתרון פרטי למשוואה הדיפרנציאלית $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, המקיימת $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 פתרונות למשוואות דיפרנציאליות עשויים להיות מוגבלים בתחום ההגדרה שלהם.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

תנאי התחלה – נקודה ידועה $(x_0,y_0)$ – קובעת עקומה אחת ממשפחה. הצב אותה כדי לפתור עבור הקבוע $C$; התוצאה היא הפתרון הפרטי. יש בדיוק פתרון אחד דרך נקודה נתונה. שימו לב למגבלות תחום: שמרו על הענף הכולל את נקודת ההתחלה (למשל, סימן נכון של שורש ריבועי).

הקבוע נותן משפחה של עקומות; תנאי התחתי בוחר אחת מהן

מילון מונחים אימון

English	עברית
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	משוואה דיפרנציאלית
solution/səˈluːʃn/	פתרון

7.8

מודלים מעריכים במשוואות דיפרנציאליות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-7): פתרון משוואות דיפרנציאליות מאפשר לנו לקבוע פונקציות ולפתח מודלים.

מטרות למידה FUN-7.F: פרשנות המשמעות של משוואה דיפרנציאלית ושתניה בהקשר.

FUN-7.F.1 יישומים ספציפיים למציאת פתרונות כלליים ופרטיים למשוואות דיפרנציאליות כוללים תנועה לאורך קו וגדילה ואפיון אקספוננציאליים.
FUN-7.F.2 המודל לגדילה ואפיון אקספוננציאליים הנובע מהניסוח "קצב השינוי של כמות הוא פרופורציונלי לגודלה" הוא $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

מטרות למידה FUN-7.G: קביעת פתרונות כלליים ופרטיים לבעיות המכילות משוואות דיפרנציאליות בהקשר.

FUN-7.G.1 המודל לצמיחה ודעיכה מעריכית, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, עם תנאי התחלתי $y = y_0$ כאשר $t = 0$, בעל פתרונות מהצורה $y = y_0 e^{kt}$.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

א. קולי תחת מיקרוסקופ: משוואות דיפרנציאליות מדגמות צמיחה מעריכית של אוכלוסיות

המודל החשוב ביותר הוא צמיחה ודעיכה מעריכית. המשוואה $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (קצב פרופורציונלי לגודל) בעלת הפתרון:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

כאן $y_0$ הוא הערך ב$t=0$. כאן $k>0$ מספק צמיחה ו$k<0$ מספק דעיכה. ניתן להסיק זאת באמצעות הפרדת משתנים ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), והוא מדגם תהליכים כמו צמיחת אוכלוסייה, דעיכה רדיואקטיבית וחוק הקירור של ניוטון. חלק המשך עשוי לבקש $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: לגזור את $\dfrac{dy}{dt}=ky$ שוב (בעזרת $\dfrac{dy}{dt}=ky$) כדי לביטא אותו באמצעות $y$.

דוגמה מופעלת. דגימה דועכת ב-$\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (בשנים) מ-$y_0=50\ \text{g}$. הפתרון הוא $y=50e^{-0.10t}$, ולכן לאחר $10$ שנים נותרה כמות של $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. חצי החיים שלה פותר על ידי $25=50e^{-0.10t}$, כלומר $e^{-0.10t}=\tfrac12$, ומניב $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – בלתי תלויה בכמות ההתחלתית.

כוס קפה מתקררת: חוק קירור ניוטון הוא מודל קלאסי למשוואות דיפרנציאליות

חקור

מודל גידול/דעיכה אקספוננציאלי

y = a·e^(bx) + c

המשוואה $dy/dt=ky$ יש לה פתרונות אקספוננציאליים: הכמות משתנה בקצב פרופורציונלי לעצמה, מה שמוביל לגידול בלתי מוגבל ($k>0$) או לדעיכה לאפס ($k<0$).

7.8

טיפים לבחינות

פתרו משוואה ניתנת להפרדה על ידי הוצאת כל ה-$y$ לצד אחד ואת כל ה-$x$ לצד השני, ולאחר מכן אינטגרציה בשני האגפים (הוסיפו $+C$ פעם אחת).
השתמשו בתנאי ההתחלה כדי למצוא את $C$ (פתרון פרטי).
שרטטו או קראו שדה ניסוחים: המקטעים הקטנים מייצגים את $\tfrac{dy}{dx}$ בכל נקודה, ועקומת פתרון עוקבת אחריהם.
זיהו מודלים מעריכיים $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (צמיחה/דעיכה).
משוואה דיפרנציאלית נותנת את השיפוע – עליכם לאינטגרל כדי לשחזר את הפונקציה.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

מבחני עבר

נושאים נוספים בקלקולוס AB - AP