יישומים אנליטיים של נגזרת

משפט הערך הממוצע (MVT) מקשר בין קצב שינוי ממוצע לקצב שינוי מיידי:

אם $f$ רציפה על $[a,b]$ ו-נגזרת על $(a,b)$, אזי קיים לפחות נקודה אחת $c$ בתוך $(a,b)$ שבה

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

בלשון פשוטה: במשהו בתוך הקטע, הקצב המיידי שווה לקצב הממוצע. גיאומטרית, קו משיק כלשהו מקביל לקו המחבר את הקצוות.

מיומנות לבחינה. כמו IVT, MVT הוא משפט קיום, ושאלות דורשות ממך להסביר. קבלת ציון מלא דורשת: (1) לציין כי $f$ רציף על $[a,b]$ ונגזיר על $(a,b)$; (2) לחשב את הקצב הממוצע $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) לסיים "לפי MVT קיים $c$ ב-$(a,b)$ שבו $f'(c)$ שווה לערך זה". שתי ההנחות חייבות להיות מצוין.

דוגמה פותרת. ודא את MVT עבור $f(x)=x^2$ על $[1,3]$. זו פולינום, ולכן רציפה ונגזירה בכל מקום. הקצב הממוצע הוא $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. שיווי $f'(c)=2c=4$ נותן $c=2$, שנמצא באמת ב-$(1,3)$ – הנקודה המובטחת.

משפט הערך הקיצוני (EVT) מבטיח שקיימים ערכים קיצוניים: פונקציה רציפה על קטע סגור $[a,b]$ מקבלת גם מקסימום מוחלט וגם מינימום מוחלט עליו.

נקודת קריטית היא נקודה פנימית שבה $f'(x)=0$ או $f'(x)$ אינה מוגדרת. כל אקסטרומים מקומיים (יחסיים) מתרחשים בנקודות קריטיות – אך לא כל נקודה קריטית היא אקסטרום. לכן, נקודות קריטיות הן המועמדים; עליך לבדוק כל אחת מהן.

הנגזרת הראשונה מציינת היכן $f$ עולה או יורדת:

• $f'(x) > 0$ על מרווח $\Rightarrow$ $f$ היא בעלייה שם;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ היא ירידה.

במבחן, "מצוא את המרווחים שבהם $f$ בעלייה" פירושו: למצוא את הנקודות הקריטיות, ולאחר מכן לבדוק את סימן $f'$ ביניהן, ולנמק עם סימן $f'$ (נימוח כתוב, לא רק המרווח).

כדי לסווג נקודה קריטית $x=c$ כמקסימום מקומי, מינימום מקומי או שאין, בדוק כיצד $f'$ משנה סימן שם:

• $f'$ משנה $+$ ל-$-$ ב-$c$ $\Rightarrow$ מקסימום מקומי;
• $f'$ משנה $-$ ל-$+$ ב-$c$ $\Rightarrow$ מינימום מקומי;
• $f'$ אינו משנה סימן $\Rightarrow$ שאין.

תמיד ציין שינוי סימן כנימוק שלך.

דוגמה מפורטת. סווג את הנקודות הקריטיות של $f(x)=x^3-3x^2$. כאן $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, אפס ב-$x=0$ וב-$x=2$. בבדיקת סימנים: $f'>0$ עבור $x<0$, $f'<0$ על $(0,2)$, ו-$f'>0$ עבור $x>2$. לכן, $f'$ הופך $+\to-$ ב-$x=0$ (זה מקסימום מקומי, $f(0)=0$) ו-$-\to+$ ב-$x=2$ (זה מינימום מקומי, $f(2)=-4$).

על מרווח סגור, אקסטרומים מוחלטים (גלובליים) מתרחשים רק ב-נקודות קריטיות או בקצוות. מבחן המועמדים:

1. רשום את כל הנקודות הקריטיות ב-$[a,b]$ וגם את שני הקצוות.
2. חשב את $f$ בכל מועמד.
3. הערך הגדול ביותר הוא המקסימום המוחלט; הקטן ביותר הוא המינימום המוחלט.

הציג את טבלת הערכים – ההשוואה היא הארגומנט.

הנגזרת השנייה מתארת כיפוף:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ היא קעורה כלפי מעלה (כמו כוס; $f'$ עולה);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ היא קעורה כלפי מטה ($f'$ יורדת).

נקודת קעירות היא הנקודה שבה הקעירות מתחלפת, כלומר שבו $f''$ משנה סימן (ולא רק שבו $f''=0$). דווח על הקואורדינטה $x$-של נקודה זו והסבר באמצעות שינוי הסימן של $f''$.

דרך חלופית למייון נקודה קריטית $c$ שבה $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ קעורה כלפי מעלה $\Rightarrow$ מינימום מקומי;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ קעורה כלפי מטה $\Rightarrow$ מקסימום מקומי;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ המבחן אינו מחליט – יש להסתמך על מבחן הנגזרת הראשונה.

מקרה מיוחד: אם פונקציה רציפה יש לה רק נקודה אחת קריטית בקטע והיא מקסימום או מינימום מקומיים, הנקודה הזו היא גם המקסימום/מינימום המוחלט בקטע זה.

תכונות מרכזיות של $f$, $f'$ ו-$f''$ משקפות זו את זו. כדי לשרטט או לקרוא גרפים:

• $f$ עולה $\Leftrightarrow$ $f'$ מעל ציר ה-x; $f$ יש מקסימום מקומי $\Leftrightarrow$ $f'$ חוצה מאזור $+$ לאזור $-$.
• $f$ קעורה כלפי מעלה $\Leftrightarrow$ $f'$ עולה $\Leftrightarrow$ $f''$ מעל ציר ה-x; $f$ יש נקודת מעבר $\Leftrightarrow$ $f'$ יש מקסימום או מינימום מקומי $\Leftrightarrow$ $f''$ חוצה אפס.

זוהי מיומנות לקרוא גרף אחד כדי לתאר גרף אחר. עיצוב מבחן נפוץ מאוד מספק את הגרף של $f'$ ושואל על $f$: היכן $f$ עולה (היכן $f'>0$), היכן נמצאים הקיצונים של $f$ (היכן $f'$ חוצה אפס, עם שינוי סימן), היכן $f$ קעור כלפי מעלה (היכן $f'$ עולה). ענה שאלות על $f$ באמצעות הגובה והשיפוע של גרף ה$f'$.

אופטימיזציה משתמשת בנגזרת כדי למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של כמות כלשהי בתחום נתון. זוהי יישום מכונת המועמדים/מבחן הנגזרה ליעד אמיתי.

שלב אמין:

1. כתוב את הכמות שיש לאופטימיזם כפונקציה של משתנה אחת (השתמש במשוואת ההגבלה כדי לבטל משתנים עודפים).
2. ציין את תחום הערכים האפשריים.
3. מצוא נקודות קריטיות ($f'=0$ או שאינה מוגדרת) ובדוק אותן (מבחן הנגזרה הראשונה או השנייה, או מבחן המועמדים אם התחום סגור).
4. ענה על השאלה שנשאלה, עם יחידות ופרשנות בהקשר – המקסימום של השטח, המינימום של העלות וכו'.

דוגמה מפורטת. לחווה יש $100\ \text{m}$ של גדר לגדר רחבה מלבנית נגד קיר, כך שרק שלוש הצדדים זקוקים לגדר. מקסם את השטח. נסמן את שני הקצוות ב-$x$ ואת הצד המקביל לקיר ב-$y$; ההגבלה היא $2x+y=100$, ולכן $y=100-2x$. השטח הוא

כל הדברים הללו נשלים גם לקשרים המוגדרים אינפלציונית. נקודה קריטית בקשר אינפלציונית היא שם ש$\dfrac{dy}{dx}=0$ (מגע אופקי) או שאינה מוגדרת (מגע אנכי). מכיוון ש$\dfrac{dy}{dx}$ הוא לרוב קשר ב$x$ וגם ב$y$, והנגזרת השנייה כוללת $x$, $y$ ו-$\dfrac{dy}{dx}$, הצב את הביטוי של הנגזרת הראשונה שלך בחזרה כאשר מחשבים $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, ולאחר מכן החלט לגבי הקעירות לפי הסימן.

• $f'>0$ פירושה עולה, $f'<0$ יורדת; מועמדים ל-קיצונים הם שם ש$f'=0$ או שאינה מוגדרת.
• סווג נקודה קריטית באמצעות שינוי סימן של הנגזרה הראשונה או מבחן הנגזרת השנייה ($f''>0$ מינימום, $f''<0$ מקסימום).
• $f''>0$ קעור כלפי מעלה, $f''<0$ קעור כלפי מטה; נקודת inflection היא שם שהקעירות משתנה ($f''$ משנה סימן).
• עבור אקסטרום מוחלט על קטע סגור, יש לבדוק גם את הקצוות.
• נמקו כל מסקנה על ידי ציון סימן $f'$ או $f''$ — הבחינה דורשת הוכחה, לא רק תשובה.