הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרת לימוד FUN-3.C: לחשב נגזרות של הרכבות של פונקציות הניתנות לגזירה.
- FUN-3.C.1 חוק השרשרת מספק דרך לגזור פונקציות מורכבות.
גזירה: פונקציות מורכבות, איplcit ופונקציות הפוכות
קלקולוס AB - AP · נושא 3
6:49
חוקק השרשרת
הסתכלו היטב על הפונקציה הזו: סינוס של x בריבוע. מדובר למעשה בשתי פונקציות, אחת בתוך השנייה. תחילה ריבאו את הקלט. ואז חשבו את הסינוס של…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
3.1
כלל השרשרת
סיילבוס
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
יחידה 2 גזרה פונקציות יחידות. יחידה 3 גזרה פונקציות בנויות בתוך פונקציות אחרות. כלל השרשרת גוזר פונקציה מורכבת $f\big(g(x)\big)$:
$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
"נגזרת הפונקציה החיצונית (בהשארת הפנים ללא שינוי), כפול נגזרת הפנים." הנגזרת הפנימית $g'(x)$ היא החלק ש学生 forgets, ולכן תמיד שאלו "מה הפנים, ומה הנגזרת שלה?" דוגמה:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
בסימון ליבניץ', עם $y=f(u)$ ו-$u=g(x)$, הכלל נקרא $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – הביניים $du$ נראה כמו "מסתר." שאלות במבחן לעיתים נותנות טבלה עבור $f$, $g$, $f'$, $g'$ ושואלות על $h'(a)$ כאשר $h(x)=f\big(g(x)\big)$; הערכו $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ על ידי קריאת ערכים.
דוגמה מופרדת. גזרו את $h(x)=(2x^2+1)^5$. הפונקציה החיצונית היא "(משהו)$^5$", הפנימית היא $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל שרשרת |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
| Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה איזומית |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופכי |
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | פונקציות טריגונומטריות הפוכות |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה שנייה |
| concavity/kənˈkævɪti/ | קעירות |
3.2
גזירה אי-מפורשת
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרת לימוד FUN-3.D: לחשב נגזרות של פונקציות המוגדרות אינפליסיטית.
- FUN-3.D.1 חוק השרשרת הוא הבסיס לגזירה אינפליסיטית.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
חלק מעקומות מוגדרות אינפורמלית – על ידי משוואה ב-$x$ ו-$y$ שלא פותרה לגבי $y$, כמו $x^2+y^2=25$. נגזרות אינפורמליות מוצאות את $\dfrac{dy}{dx}$ מבלי לפתור קודם לכן עבור $y$. זהו פשוט כלל השרשרת, כאשר מתייחסים ל-$y$ כפונקציה של $x$.
השיטה: נגזור שני האגפים ביחס ל-$x$; בכל פעם שנגזור איבר המכיל $y$, נכפול ב-$\dfrac{dy}{dx}$ (כלל השרשרת); ולאחר מכן נפתור אלגברית עבור $\dfrac{dy}{dx}$. עבור $x^2+y^2=25$:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$
דוגמה מופרדת. מצאו את המשיק למעגל $x^2+y^2=25$ בנקודה $(3,4)$. מהמעלה, ערך הנגזרה שם הוא $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$, ולכן המשיק הוא
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
שים לב שהמשיק מאונך לקרן, כפי שמבטיחה הגיאומטריה – בדק הגיון טוב.
מיומנות אמחן – "הראו כי $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". הניסוח המדויק הזה מופיע בשנת אמחן רוב השנים (למשל "הראו כי $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). מכיוון שהיעד נתון, עליכם להראות כל שלב אלגברי בצורה ברורה: נגזרו שני אגפים, השתמשו בכלל הכפלה/שרשרת על איברים מעורבים של $xy$, אספו את כל האיברים עם $\dfrac{dy}{dx}$ בצד אחד, פקטרו, וחלקו. שורה סופית נכונה שעוברת על האלגברה תזכה בנקודות מעטות. חלקים המשלימים יבקשו לאחר מכן משיק, או מיקום שבו המשיק אופקי ($\tfrac{dy}{dx}=0$, ולכן המונה הוא $0$) או אנכי (המכנה הוא $0$).
3.3
גזירת פונקציות הפוך
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.
- FUN-3.E.1 ניתן להשתמש בכלל השרשרת ובהגדרה של פונקציה הפוכה כדי לחשב את הנגזרת של פונקציה הפוכה, בתנאי שהנגזרת קיימת.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
אם $g$ היא הפונקציה ההפוכה של $f$ (כלומר $f(g(x))=x$), כלל השרשרת מקשר בין הנגזרות שלהן:
$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$
במילים: הנגזרת של ההפוכה בנקודה היא ה-הפוך לנגזרת של הפונקציה המקורית בנקודה המתואמת. סידור מבחן נפוץ נותן טבלה ונקודה $(a,b)$ ב-$f$ (ולכן $(b,a)$ נמצאת ב-$g$), ולאחר מכן מבקשים לחשב $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
דוגמה מופרדת. תנו that $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$. Because $(2,5)$ lies on $f$, the point $(5,2)$ lies on $g$, and
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
הגרפים של $f$ ו-$g$ הם תמונות מראה זה של זה ביחס ל-$y=x$, ולכן השיפועים שלהם בנקודות מתאימות הם הפוכים זה לזה.
חקור
פונקציה אקספוננציאלית וההפך שלה, הלוגריתם
y = a·e^(bx) + c
פונקציות הפוכות הן תמונות ראי של זה בזה לאורך $y=x$, ושיפועיהן הם ההפוכים: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. כאשר אחת תלולה, ההפכה שלה שטוחה.
3.4
גזירת פונקציות טריגונומטריות הפוך
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.
- FUN-3.E.2 ניתן להשתמש בכלל השרשרת בשילוב עם הגדרת פונקציה הפוכה, או בנוסחה לנגזרת של פונקציה הפוכה, כדי לחשב את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
אותה רעיון נותן את הגזירות של פונקציות הטריגונומטריות ההפוך. השלושה שחובה לדעת:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
שלב אלו עם כלל השרשרת כאשר הקלט הוא בפני עצמו פונקציה, לדוגמה $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
בחירת הליכים לחישוב גזירות
סיילבוס
נושא זה מיועד להתמקד במיומנות בחירת הליך מתאים לחישוב נגזרות. יש לתת לסטודנטים הזדמנויות לאמן את המועד והדרך ליישום כל מטרות הלמידה הקשורות לחישוב נגזרות.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
נושא מיומנות: נגזרות ממשיות משלבות כללים שונים, ולכן קרא תחילה את מבנה הביטוי, מהחוץ לפנים.
- האם זה סכום? גזור איבר איבר.
- מכפלה או מנה? יישם את הכלל הזה, ותצפה להשתמש בכלל השרשרת בתוך כך.
- פונקציה מורכבת (דבר בתוך דבר)? כלל השרשרת.
- נתון באופן סתום? נגזרה סתומה.
שם את הפעולה החיצונית ביותר, יישם את הכלל שלה, והתחבר פנימה. סדר ונקיאות מונעים טעויות סימן ורישום שגורמות לאובדן נקודות.
3.6
חישוב נגזרות של סדר גבוה
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.F: קבעו נגזרות של דרגה גבוהה לפונקציה.
- FUN-3.F.1 גזירה $f'$ מניבה את הנגזרה השנייה $f''$, בתנאי שהנגזרת של $f'$ קיימת; חזרה על תהליך זה מניבה נגזרות של דרגה גבוהה יותר של $f$.
- FUN-3.F.2 נגזרות של דרגה גבוהה מיוצגות באמצעות מגוון סימונים. עבור $y = f(x)$, הסימונים לנגזרה השנייה כוללים $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ ו-$y''$. נגזרות של דרגה גבוהה יותר יכולות להיות מסומנות ב-$\dfrac{d^n y}{dx^n}$ או $f^{(n)}(x)$.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
נגזירת $f'$ מייצרת את ה-נגזרת השנייה $f''$; חזרה על כך נותנת נגזרות בעלות סדר גבוה יותר. הסימונים:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
הנגזרת השנייהמדדת כיצד השיפוע משתנה; היא קובעת את הכימור והאצה בפרקים מאוחרים. כדי למצוא $f''$ באופן סתום, גזור שוב את הביטוי עבור $\dfrac{dy}{dx}$ (עם כללי המנה והשרשרת), ואז הצב את $\dfrac{dy}{dx}$ בחזרה.
חקור
שיפוע של שיפוע: הנגזרת השנייה
y = ax³ + bx² + cx + d
גזירה שוב נותנת את הנגזרת השנייה — הקצב בו השיפוע משתנה. כאשר שיפוע המשיק עצמו גדל, הכיפה מתכופפת כלפי מעלה (קעורה כלפי מעלה).
3.6
טיפים לבחינות
- השתמש בכלל השרשרת לפונקציות מורכבות — גזור את החלק החיצוני, ואז כפל בנגזרת של החלק הפנימי (הגורם הנשכח ביותר).
- עבור נגזירה סתומה, גזור את שני האגפים ביחס ל-$x$ וחבר את $\tfrac{dy}{dx}$ בכל פעם ש-$y$ מוגזר, ואז פתר.
- קבל את ה-נגזרת השנייה על ידי גזירה פי שתיים (מהירות → אצה).
- שלב כללים בקפידה בביטויים שכבתיים (שרשרת בתוך מכפלה, וכדומה).
- הגרף של הפונקציה ההופכת הוא היקפיפות ביחס ל-$y=x$; השיפוע שלו הוא ההופכי של המקורי בנקודה המתאימה.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.