תנועה במעגל

הרדיאן הוא הזווית שנוצרת במוקד של מעגל על ידי קשת שאורך שווה למחצית הקוטר. עבור קשת באורך $s$ במעגל בעל מחצית קוטר $r$, הזווית ברדיאנים היא

לרדיאן אין יחידות (יחס בין אורכים). מעגל שלם מכיל $s = 2\pi r$, כלומר $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. חצי מעגל הוא $\pi\ \text{rad}$; רביע הוא $\pi/2\ \text{rad}$.

להמרה: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. הגדר את המחשבון שלך לרדיאנים לנושא זה; מצב "מעלות" יניב תשובות שגויות.

ההגדרה בנקודה אחת. הרדיאן הוא הזווית שנפתחת במוקד של מעגל על ידי קשת ששווה באורכה למחצית הקוטר של המעגל. נתן זאת במילים — $\theta = s/r$ לבדו אינה הגדרה — ושמר את $s = r\theta$ מוכן להמרת מרחב לאורך הקשת לזווית, או להפוך.

גוף נע במעגל ברדיוס $r$ ובמהירות קבועה $v$. הגדרו:

• הזזה זוויתית $\theta$ — הזווית (ברדיאנים) שנסבה הקרן מאנך התחלה נבחר.
• מהירות זוויתית $\omega$ — קצב השינוי של ההזזה הזוויתית.

בתנועה אחידה $\omega$ הוא קבוע ו

יחידה: $\text{rad s}^{-1}$.

מה נשאר קבוע ומה משתנה. בתנועה מעגלית אחידה ה-מהירות, המהירות הזוויתית, התקופה וה-גודל של האיצוח הם קבועים; ה-מהירות הווקטורית, ה-הזזה ממרכז וה-איצוח משתנים ברציפות, מכיוון שה-כיוון שלהם משתנה. כאשר מבקשים ל"פרט שתי כמויות השונות", תנו שתי מהמהירות הווקטורית, האיצוח, ההזזה ותנע — וציינו כי הכיוון הוא מה שמשתנה.

תקופה ותדר

אם הגוף עובר פעם אחת סביב ($2\pi\ \text{rad}$, סיבוב אחד) בזמן $T$ (תקופה), אזי

שבו $f = 1/T$ הוא ה-תדר הסיבוב (Hz).

מהירות ליניארית ומהירות זוויתית

בתוך תקופה אחת $T$ הגוף עובר מרחק $2\pi r$ (היקף) במהירות קבועה, ולכן

משוואה זו מקשרת בין המהירות הליניארית (משיקית) $v$ לבין המהירות הזוויתית $\omega$. ברדיוס גדול יותר (עבור אותו מהירות זוויתית) המהירות הליניארית היא גדולה יותר — ילד בקצה של מסעדת מסתובבת נע מהר יותר מאחד הסמוך למרכז, גם אם שניהם עוברים סיבוב אחד באותו זמן.

דוגמה מוצעת. מסעדת מסתובבת ברדיוס $4.0\ \text{m}$ משלימה סיבוב אחד כל $8.0\ \text{s}$. מצאו את המהירות הזוויתית ואת המהירות הליניארית של רוכב בקצה.

דוגמה מופת. מחוג הדקות של שעון מסתובב פעם אחת בשעה. חתיכת קלויז על המחוג עוברת מרחק כולל של $0.44\ \text{m}$ בזמן של $1400\ \text{s}$. מצאו את המהירות הזוויתית של המחוג, את הזווית שבה הקלויז מסתובבת בזמן זה, ואת המרחק שלו ממרכז השעון.

$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. ההסחה הזוויתית $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. המרחק לאורך הקשת $s = r\theta$, ולכן $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. בדיקה: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ ו-$r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — אותו דבר. תחביב נפוץ בשאלות אלו הוא רדיוס שנמדד מהשפה: גוש $1.2\ \text{cm}$ פנימה מהקצה של דיסק בעל רדיוס $9.3\ \text{cm}$, מתנועע במעגל ברדיוס $8.1\ \text{cm}$.

דוגמה מופת. שרשרת אופניים עוברת סביב גלגל שיניים של הדושים ברדיוס $0.095\ \text{m}$ וגלגל שיניים של הגלגל האחורי ברדיוס $0.038\ \text{m}$. הדושים מסתובבים בקצב של $1.2$ סיבובים לשנייה. מצאו את מהירות השרשרת ואת המהירות הזוויתית של גלגל השיניים האחורי. לאחר מכן מעבירים את השרשרת לגלגל שיניים אחורי קטן יותר בעוד שהמהירות של האופניים נשארת זהה; הסבירו, ללא ביצוע חישובים, מה קורה למהירות הזוויתית של הדושים.

מהירות זוויתית של הדושים $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. כל קישור בשרשרת זז במהירות השפה של גלגל השיניים של הדושים: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. שפה של גלגל השיניים האחורי זזה באותה מהירות, ולכן $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. מכיוון שמכיוון שהמהירות של האופניים נשארה ללא שינוי, הגלגל האחורי שומר על אותה מהירות זוויתית; לכן שפה של גלגל השיניים הקטן יותר נעה איט יותר ($v = r\omega$ עם רדיוס $r$ קטן יותר), ולכן השרשרת נעה איט יותר, וגלגל השיניים של הדושים, המונע על ידי אותה שרשרת, מסתובב במהירות זוויתית נמוכה יותר.

גוף הנע במעגל במהירות קבועה עדיין יש לו מהירות משתנה — הכיוון שלו משתנה באופן רציף, גם אם הגודל שלה נשאר זהה. מהירות משתנה דורשת תאוצה. תאוצה זו מכוונת כלפי המרכז והיא התאוצה הצנטריפטלית.

התיאור לשתי נקודות. בתנועה מעגלית אחידה המהירות היא קבועה אך המהירות משתנה באופן רציף, משום שכיוונה משתנה; התאוצה היא קבועה בגודלה ומכוונת תמיד כלפי מרכז המעגל, מאונך למהירות. "פרט מה נמצא בתוך התאוצה הצנטריפטלית": התאוצה של גוף הנע לאורך מסלול מעגלי, המכוונת כלפי מרכז המעגל.

גודל

שתי הצורות שוות כי $v = r\omega$. בחרו את הצורה עם הכמויות שיש לכם.

התאוצה הצנטריפטלית היא מאונכת למהירות בכל רגע נתון — לעולם לא לאורך כיוון התנועה. (אם חלק ממנה היה לאורך התנועה, המהירות הישתנה.) יחידה: $\text{m s}^{-2}$.

למה המהירות אינה משתנה. הכוח הצנטריפטלי הוא מאונך להזזה בכל רגע נתון, ולכן הוא אינו מבצע עבודה על הגוף; אנרגייתו הקינטית, ולכן גם המהירות שלו, נשארת קבועה. רק כיוון המהירות משתנה — וזה בדיוק מה שמישור תאוצה מאונכת למהירות עושה.

דוגמה מופת. כדור הארץ הוא כדור ברדיוס $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ המסתובב פעם אחת כל $24$ שעות. קמבריד' נמצאת ברוחב גיאוגרפי של $52.2°$ צפון. מצאו את רדיוס המעגל שבו קמבריד' נעה, את מהירותה, ואת התאוצה הצנטריפטלית שלה. תלמיד בעל מסה של $58.6\ \text{kg}$ עומד על משקל אמבטיה שם; ציינו והסבירו את השפעת הסיבה על הקריאה.

המעגל הוא סביב הציר, לכן $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, לכן $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ ו$a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. על התלמיד יש צורך בכוח נטו $ma = 1.2\ \text{N}$ כלפי הציר, שנובע רק מכך שמשקלו גדול מכוח המגע העולמי; לכן המשקלת מראה ערך קטן מהמשקל $mg = 575\ \text{N}$ — ב-כעשר ניוטון (התאוצה בעלת רכיב $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ לאורך האנכי, כלומר $0.7\ \text{N}$ מ$1.2\ \text{N}$). קטן, אך הסימן והסיבה הם הנקודות.

על פי החוק השני של ניוטון, הכוח הנטו הפועל על גוף בתנועה מעגלית במהירות קבועה הוא

זהו הכוח המרכזי. הוא תמיד מצביע אל המרכז — מאונך למהירות.

הכוח המרכזי אינו סוג כוח חדש — הוא התוצאה הסופית של הכוחות האמיתיים הפועלים (מתח, כבידה, חיכוך, משיכה חשמלית, כוח מגע רגיל, …). בבעיה, יש לקבוע אילו כוח אמיתי(ים) מספקים אותו.

דוגמה פתורה. כדור $0.20\ \text{kg}$ על חוט מסובבים במעגל אופקי ברדיוס $0.50\ \text{m}$ במהירות $3.0\ \text{m s}^{-1}$. מצאו את הכוח המרכזי (המתח בחוט).

מאין בא הכוח המרכזי

• כדור על חוט במעגל אופקי: המתח בחוט.
• רכב פונה בפינה שטוחה: החיכוך בין צמיגים לכביש ($F = m v^{2}/r$). אם הרכב נוסע מהר מדי, החיכוך אינו מספיק והוא מחליק החוצה.
• פינה נוטה (ללא חיכוך): הרכיב האופקי של כוח המגע הרגיל; $\tan\theta = v^{2}/(rg)$ לזווית הדורשת אין צורך בחיכוך.
• כוכב לכת או לוויין במסלול: המשיכה הכבידתית, $G M m / r^{2} = m v^{2}/r$.
• אלקטרון במסלול מעגלי (מודל בסגנון בוהר): המשיכה האלקטרוסטטית בין האלקטרון לגרעין החיובי:

כאן $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ ו$Z$ הם מטען הגרעין. פתרו עבור $v$ כדי לקבל את מהירות המסלול; ולאחר מכן $T = 2\pi r/v$.

הכוח המוטה: מטרון קוני, חרוט ומדליה

כדור על חוט המסתובב במעגל אופקי (מטרון קוני), כדור גולש בתוך חרוט חלק, כיסא באמריית משחקים ורכב על מסלול נוטה הם כולם אותה בעיה: כוח אחד (המתח או כוח המגע הרגיל) מוטה בזווית $\theta$ לאנכי. פתחו אותו. הרכיב האנכי שלו מאזן את המשקל; הרכיב האופקי שלו הוא כל הכוח המרכזי:

לעולם אל תוסיפו "כוח מרכזי" נפרד לתרשים: שני הכוחות האמיתיים הם המשקל והכוח המוטה, והתוצרת שלהם אופקית, לכיוון המרכז.

דוגמה מופרשת. כדור פלדה נע במעגל אופקי ברדיוס $0.12\ \text{m}$ על פני השטח החלק הפנימי של חרוט שפני השטח שלו יוצרים זווית $52°$ עם האופק. ציינו את שני הכוחות הפועלים על הכדור, ציינו את כיוון התוצרת שלהם, וחשבו את מהירות הכדור ואת תקופת התנועה שלו.

הכוחות הם משקל (אנכי כלפי מטה) וכוח נורמלי מפני השטח של הקונוס (ניצב למשטח, ולכן בזווית $52°$ אנכית); הסכום שלהם הוא אופקי, לכיוון מרכז המעגל. באנכי $N\cos 52° = mg$; באופקי $N\sin 52° = mv^{2}/r$. בחלוקה: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, ולכן $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, ו$T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. המסה מצטמצמת — המהירות אינה תלויה בה.

דוגמה מופרשת. כדור במסה $0.29\ \text{kg}$ תלוי בקפיץ בעל קשיחות $40\ \text{N m}^{-1}$ ואורך בלתי מתוח $6.0\ \text{cm}$. הוא מונע במעגל אופקי כך שקפיץ יוצר זווית $30°$ עם האנכי. חשבו את המתח, את רדיוס המעגל ואת המהירות.

באנכי $T\cos 30° = mg$, ולכן $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. הארכה היא $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, ולכן אורך הקפיץ הוא $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ ו$r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. באופקי $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. חוק הוק מספק את האורך; המעגל מספק את שאר הדברים.

מעגלים אנכיים

כשהמעגל עומד על צידו, המהירות אינה קבועה (הכבידה עושה עבודה) — אך בכל רגע נתון הכוח הנטו לכיוון המרכז עדיין שווה ל$m v^{2}/r$:

• בתחתית לולאה: מתח כלפי מעלה, משקל כלפי מטה, ולכן $T - mg = m v^{2}/r$ — המתח הוא הגדול ביותר כאן.
• בראש לולאה: מתח ומשקל שניהם מצביעים כלפי מטה (לכיוון המרכז), ולכן $T + mg = m v^{2}/r$ — המתח הוא הקטן ביותר. עבור המהירות המינימלית בראש כאשר החוט רק מתוח, הניחו $T = 0$: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, שמוביל ל$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$.

דוגמה מופרשת. מכונית עוברת סביב לולאה אנכית ברדיוס $2.0\ \text{m}$. חשבו את המהירות המינימלית בראש כדי שהמכונית תשמור על מגע עם המסילה (קבלו $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

עבור המהירות המינימלית כוח המסילה הוא אפס, ולכן הכבידה לבדה מספקת את הכוח המרכזי: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, שמוביל ל$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:

התוצאה למהירות קבועה ($v = r\omega$, $\omega$ קבוע) חלה על מעגלים אופקיים, או במקרים שבהם הכוח רק מעקם את המסלול (מסלולים בכבידה, מטענים בשדה מגנטי).

מעגלים בשדות

דוגמה מופרשת. אטום הליום דגם כגרעין בטעון $+2e$ עם שני אלקטרונים באותו מסלול מעגלי ברדיוס $170\ \text{pm}$, תמיד בצדדים הנגודים לגרעין. חשבו את הכוח החשמלי הנטו על אלקטרון אחד ואת מהירותו.

כל אלקטרון מושך על ידי הגרעין, במרחק $r$, ונדחה על ידי האלקטרון השני, במרחק $2r$, לאורך אותו קו: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. זהו הכוח המרכזי: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.

דוגמה מודגמת. פרוטון (מסה $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) הנע במהירות $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ נכנס לשדה מגנטי אחיד בצפיפות שטף $0.50\ \text{T}$, באופן מאונך לשדה. מצאו את רדיוס המסלול ואת הזמן לסיבוב מלא אחד.

הכוח המגנטי $Bqv$ תמיד מאונך למהירות, ולכן הוא כוח צנטריפטי והמהירות קבועה: $Bqv = mv^{2}/r$ מוביל ל$r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, ו$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — בלתי תלויה במהירות, ולכן פרוטון מהיר יותר עובר במעגל גדול יותר באותו זמן. עבור לוויין, הכוח הכבידתי ממלא אותה תפקיד בדיוק: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, והמהירות האורביטלית והתקופה נובעים ישירות מ$r$ בלבד.

1. מצאו את הרדיוס $r$ ובחרו ב$v$ או ב$\omega$. השתמשו ב$v = r\omega$ כדי לעבור ביניהם.
2. מצאו את התאוצה המרכזית עם $a = v^{2}/r$ או $r\omega^{2}$.
3. פרטו את הכוחות האמיתיים וכתבו את חוק השני של ניוטון בכיוון רדיאלי (כלפי המרכז חיובי). שוו את הסכום הפנימי ל$m v^{2}/r$.
4. עבור תקופה או תדר: השתמשו ב$\omega = 2\pi/T$, או ב$T = 2\pi r / v$.
5. בדקו את הכיוונים: הכוח הצנטריפטי והתאוצה מצביעים כלפי המרכז; המהירות לאורך המשיק.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• עבדו ברדיאנים; מהירות זוויתית $\omega = 2\pi/T = v/r$, ואורך קשת $s = r\theta$ ממיר מרחק לאורך המעגל לזווית.
• תאוצה מרכזית $a = v^2/r = \omega^2 r$; הסכום הכוחות פועל כלפי המרכז — הוא מסופק על ידי מתח/כבידה/חיכוך/כוח מגע, ולא כוח נוסף.
• תמיד ציינו מה מספק את הכוח המרכזי במצב נתון, ועבור כוח משופע פיצרו אותו: רכיב אנכי $= mg$, רכיב אופקי $= mv^{2}/r$.
• קראו את הרדיוס בקפידה: נקודה הנמדדת מקצה נעה במעגל קטן יותר; נקודה על כדור הארץ המסתובב נעה במעגל סביב ציר, רדיוס $R\cos\lambda$.
• שני גלגלי שיניים בשלשרת משותפתpartage the chain's speed; שתי נקודות על גלגל קשיח אחדpartage its angular speed.

טעויות נפוצות

• הגדרת הרדיאן כ"$180/\pi$ מעלות" או כ-$\theta = s/r$. הסימון דורש ששטח הקשת יהיה שווה באורך לרדיוס.
• ציון שהמהירות קבועה בתנועה עגלית אחידה. המהירות הגדולה היא קבועה; הכיוון של המהירות משתנה, ולכן ישנן תאוצה.
• ציור חץ "כוח מרכזי" ככוח נוסף לצד כוח המתיחה או כוח המגע. זהו התוצרת שלהם, ולא כוח שלישי.
• שימוש במעלות ב-$\omega t$ או ב-$v = r\omega$. כל נוסחה בנושא זה מחייבת רדיאנים.
• לשכוח שאין עבודה על ידי הכוח: כוח אנכי לתנועה משנה כיוון אך לא מהירות, ולכן האנרגיה הקינטית נשארת קבועה.
• לקיחת $r$ כרדיוס כדור הארץ לנקודה בקו רוחב $\lambda$. המעגל הוא סביב הציר, ולכן $r = R\cos\lambda$.